Transcription de la vidéo
Dans la leçon d’aujourd’hui, nous allons voir les inéquations sur une droite
graduée.
Et une inéquation est quelque chose qui n’égale pas une autre chose. Nous les traitons donc souvent de la même manière que nous traitons une équation. C’est juste que nous utilisons une notation différente. Nous pouvons en voir quelques-unes ici car, comme vous pouvez le voir, il y a
beaucoup de notations étranges sur cette page. Je pense donc que la première chose à faire est de déterminer ce que veulent dire
certains de ces symboles.
Tout d’abord, nous avons la notation d’inéquation. Nous allons donc commencer par le fait que 𝑥 est strictement supérieur à 𝑦. Et nous savons que 𝑥 est plus grand que 𝑦 parce que nous avons le grand côté de
notre signe d’inéquation vers le 𝑥 et le côté pointu vers le 𝑦. Et puis, nous avons 𝑥 est strictement inférieur à 𝑦, et nous pouvons le voir parce
que nous avons le signe d’inéquation inversé. Ainsi, nous avons le côté pointu vers le 𝑥 et le grand côté vers le 𝑦. Et puis, nous avons 𝑥 est supérieur ou égal à 𝑦. Et nous pouvons voir ici que le signe d’inéquation est le même, mais nous avons cette
barre en dessous. Et c’est cette barre qui nous dit que c’est égal à. Ainsi, en plus d’être supérieur à 𝑦, 𝑥 pourrait être aussi égal à 𝑦. Et puis, de la même façon, nous avons 𝑥 est inférieur ou égal à 𝑦.
Ok, super. Donc, voici nos notations d’inéquations. Voyons donc ce qu’elles signifient en pratique et, en particulier, quelle est la
différence entre strictement inférieur, strictement supérieur, supérieur ou égal à
ou inférieur ou égal à.
Voyons si 𝑥 est strictement supérieur à trois et si 𝑥 est supérieur ou égal à
trois. Or, si nous avons 𝑥 est strictement supérieur à trois, cela signifie que 𝑥 peut
prendre n’importe quelle valeur strictement supérieure à trois, quelle que soit
cette valeur. Cela signifie donc qu’il peut s’agir de n’importe quel nombre même décimal ou
fractionnaire supérieur à trois. Cependant, dans les questions où nous avons des inéquations, il nous est souvent
demandé de traiter des valeurs entières. Ainsi, si on nous demandait de trouver toutes les valeurs entières que 𝑥 pourrait
représenter, alors 𝑥 pourrait représenter n’importe quelle valeur à partir de
quatre, cinq, six, sept, parce que c’est n’importe quelle valeur de plus de trois,
mais sans inclure trois.
Maintenant, si nous passons à 𝑥 est supérieur ou égal à trois. Une fois de plus, cela signifie que 𝑥 pourrait être supérieur à trois. Donc, il peut s’agir de n’importe quelle valeur, même décimale ou fractionnaire,
supérieure à trois. Mais il peut aussi être lui-même égal à trois. Mais encore une fois, si nous avions une question qui demandait toutes les valeurs
entières de 𝑥. Alors cette fois-ci, 𝑥 pourrait être égal à trois, quatre, cinq, six, etc., à la
différence que cette fois-ci, 𝑥 pourrait représenter trois lui-même. Très bien. Donc, c’est notre notation d’inéquation. Mais il y a une autre partie de la notation que nous devons également envisager. Et c’est la notation de la droite graduée.
Donc, tout d’abord, ce que nous pouvons voir est un cercle ouvert avec une droite
pointant vers la droite, et ce que cela signifie c’est plus grand que. Et c’est parce que si nous nous déplaçons vers la droite ou vers le haut d’une droite
graduée, nous obtenons alors des valeurs plus grandes. Et puis, ce que nous avons, c’est un cercle ouvert ici, avec la droite vers la gauche
ou une flèche vers la gauche, et cela signifie inférieur à. Et c’est parce que si vous avez une droite graduée et que vous allez vers la gauche
ou vers le bas, alors cela signifie que les valeurs vont être inférieures.
Ensuite, nous avons un cercle coloré et une droite qui va vers la droite, et voici
une flèche qui va vers la droite. Ce que cela signifie c’est supérieur ou égal à. Et ce qui le rend égal ou supérieur à est le fait que notre cercle est coloré. Et puis, nous avons un cercle coloré et une flèche qui va vers la gauche. Et cela signifie inférieur ou égal à, suivant la même raison précédente.
Parfait, maintenant que nous avons la notation et que nous avons vu ce qu’elle
signifie, ce que nous pouvons faire, c’est passer à quelques exemples pour voir
comment nous pourrions l’utiliser en pratique.
Quelle partie de la droite montrée représente l’ensemble solution de l’inéquation 𝑥
est strictement inférieur à 27 ?
Donc, comme dans la question, on peut voir que nous avons 𝑥 et ensuite nous avons un
signe d’inéquation. Ensuite, nous avons 27. Et ce signe d’inéquation a le bout pointu vers le 𝑥 et le grand bout vers le 27. Donc, cela signifie strictement inférieur à. On pourrait donc dire que 𝑥 est strictement inférieur à 27. Donc, ce que nous cherchons, c’est la zone à gauche du 27. Parce que si nous avons une droite graduée, nous savons que tout ce qui est à gauche
est en bas de la droite graduée. Donc, ce sera moins que la valeur que nous avons.
Nous pouvons voir que les valeurs possibles de 𝑥 vont être représentées par A. Donc, nous pouvons dire que la partie de la droite graduée qui représente l’ensemble
solution de l’inéquation 𝑥 est strictement inférieur à 27 est la partie A. Parce que, en fait, la partie B représenterait 𝑥 est strictement supérieur à 27. Et c’est parce qu’elle est à droite du 27. Donc, ce sont toutes les valeurs qui sont supérieures à 27 ou plus grandes que
27.
Très bien. Donc, notre premier exemple nous a permis d’interpréter certaines inéquations. Maintenant, ce que nous allons voir c’est un deuxième exemple, où nous allons
commencer à utiliser une partie de notre notation de droite graduée.
Quelle inéquation est représentée sur cette droite graduée ?
Tout d’abord, ce que nous pouvons voir sur notre droite graduée, c’est que nous avons
une flèche pointant vers la droite. Cela signifie donc que nous allons impliquer « supérieur à ». C’est parce que tout ce qui se trouve à droite d’une valeur sur une droite graduée
est plus grand que cette valeur. Ensuite, nous nous rappelons la notation de la droite graduée. Et avec cette notation, si nous avons un cercle ouvert et une flèche vers la droite,
c’est supérieur à. Mais si nous avons un cercle fermé ou coloré et une flèche vers la droite, alors
c’est supérieur ou égal à. Et nous pouvons voir sur notre diagramme qu’il est coloré. Donc, ça sera supérieur ou égal à.
Cela signifie donc que si nous avons le point coloré, comme celui que nous avons ici,
ça sera supérieur ou égal à. Cela signifie donc qu’il peut prendre la valeur, dans ce cas la valeur de moins un,
car si c’était un cercle ouvert, il ne prendrait pas cette valeur. Donc, sous forme de mots, nous pouvons dire que 𝑥 est supérieur ou égal à moins
un.
Cependant, nous voulons représenter cela en utilisant la notation d’inéquation. Alors, comment ferions-nous ? Ainsi, en utilisant la notation d’inéquation, nous avons 𝑥 est supérieur ou égal à
moins un. Et nous savons qu’elle est supérieure parce que nous avons le côté ouvert à côté de
𝑥 et le côté pointu à côté du moins un. Donc, c’est 𝑥 est plus grand que moins un. Et nous savons qu’il est supérieur ou égal grâce à cette barre sous notre signe
d’inéquation. Donc, nous avons 𝑥 est supérieur ou égal à moins un.
Ok, super. Nous avons maintenant examiné la notation d’inéquation, la notation de la droite
graduée et la façon dont nous les utilisons. Nous allons maintenant voir un peu plus de notations qui regroupent la notation
d’inéquation et celle de la droite graduée, mais d’une manière légèrement
différente.
Ce que nous allons examiner ici, tout d’abord, c’est l’encadrement. Donc, comme vous pouvez le voir, nous avons deux signes d’inéquation. Et nous avons 𝑥 au milieu. Et cela nous indique que 𝑥 est strictement supérieur à 𝑦, mais strictement
inférieur à 𝑧. Cela nous indique donc que 𝑥 se situe entre 𝑦 et 𝑧, mais n’inclut ni 𝑦 ni 𝑧. Et, en fait, notre encadrement n’est qu’une combinaison de deux inéquations
simples. C’est la combinaison de 𝑥 est strictement supérieur à 𝑦 et 𝑥 est strictement
inférieur 𝑧.
Nous avons donc ici deux conditions que nous avons représentées dans une seule
inéquation. Et si nous devions représenter cela sur une droite graduée, alors la notation que
nous utiliserions pour notre droite graduée serait un cercle ouvert à chaque
extrémité de notre droite, donc un cercle ouvert en 𝑦 et un cercle ouvert en
𝑧. Et puis, nous aurions une ligne entre eux qui les rejoindrait. Et cela nous indiquerait que notre 𝑥 pourrait prendre n’importe quelle valeur entre
𝑦 et 𝑧, mais sans inclure 𝑦 et 𝑧, parce que nous n’avons pas coloré les
cercles.
Et comme pour la notation de l’inéquation que nous avons utilisée précédemment, nous
pourrions également inclure la notation de l’inéquation qui pourrait également
signifier « ou égal à ». Ainsi, cela signifierait que 𝑥 est supérieur ou égal à 𝑦, mais inférieur ou égal à
𝑧. Et encore une fois, il s’agit simplement d’une combinaison de deux inéquations
simples. Ainsi, par exemple, 𝑥 est supérieur ou égal à 𝑦 et 𝑥 est inférieur ou égal à
𝑧. Et une fois de plus, si nous voulons démontrer notre notation sur la droite graduée,
nous aurions cette fois-ci un point coloré en 𝑦, puis une droite, et enfin un point
coloré en 𝑧. Et tout cela est relié par la droite. Nous pouvons voir ici que ce serait toutes les valeurs que 𝑥 pourrait prendre, et ce
seraient toutes les valeurs entre 𝑦 et 𝑧, mais aussi 𝑦 et 𝑧. Et c’est parce que les cercles sont colorés.
Ok, super. Donc, nous avons vu cette autre notation. Passons à un exemple où nous pouvons aussi voir comment l’utiliser.
Parmi les inéquations suivantes, lesquelles ont été représentées sur la droite
graduée ? Nous avons (A) 𝑥 est inférieur ou égal à moins un ou 𝑥 est strictement supérieur à
deux. (B) 𝑥 est strictement inférieur à moins un ou 𝑥 est strictement supérieur à
deux. (C) 𝑥 est inférieur ou égal à moins un et 𝑥 est strictement supérieur à deux. Ou (D) 𝑥 est supérieur ou égal à moins un mais strictement inférieur à deux. Ou (E) 𝑥 est strictement supérieur à moins un mais strictement inférieur à deux.
Donc, tout d’abord, ce que nous pouvons voir, c’est que notre inéquation sur une
droite graduée a deux zones. Ainsi, nous avons la zone de gauche et la zone de droite. Donc, tout d’abord, nous allons regarder la zone de gauche. Eh bien, la zone de gauche, nous pouvons voir que nous avons une flèche pointant vers
la gauche. Et cela signifie inférieur à cela, car cela signifie tout ce qui est inférieur à une
valeur, car elle se déplace vers le bas de la droite des nombres. Et puis, nous pouvons rapidement nous rappeler de la notation de la droite graduée
parce que nous avons un point coloré. Cela signifie qu’il va être supérieur, inférieur ou égal à, parce qu’un point ouvert
signifierait juste supérieur ou inférieur à.
Nous pouvons donc dire que la partie gauche de notre inéquation sur la droite graduée
est représentée par 𝑥 est inférieure ou égale à moins un. C’est parce que notre cercle ou point coloré est sur moins un, et que nous avons une
flèche pointant vers la gauche. Et si nous regardons le côté droit, nous avons un cercle ouvert. Cela signifie que ça sera plus grand ou plus petit que, mais pas ou égal à. Et puis, nous avons une flèche vers la droite, ce qui signifie supérieur à. Donc, le côté droit de notre inéquation sur la droite graduée est représenté par 𝑥
est strictement supérieur à deux.
Très bien. Alors maintenant, donnons notre réponse finale, où nous pouvons dire que 𝑥 est
inférieur ou égal à moins un ou que 𝑥 est strictement supérieur à deux. Et c’est ce mot « ou » qui est essentiel car il nous dit que 𝑥 peut être inférieur
ou égal à moins un ou que 𝑥 peut être strictement supérieur à deux. Ça ne peut pas être « et » parce que vous ne pouvez pas avoir une valeur qui soit
inférieure ou égale à moins un et strictement supérieure à deux. C’est pourquoi la réponse (C) serait exclue. Parce qu’ici vous pouvez voir clairement qu’on utilise le mot « et » ; cependant, ce
que nous voulons, c’est utiliser le mot « ou ». Ainsi, la bonne réponse serait la réponse (A), car c’est l’inéquation qui a été
représentée sur notre droite graduée.
Bon, très bien. Alors, maintenant, regardons rapidement les autres réponses qui nous ont été données
et pourquoi elles sont incorrectes. Eh bien, si nous regardons la réponse (B), la raison pour laquelle la réponse (B) est
incorrecte — et c’est une erreur courante — est que si nous regardons la première
notation de l’inéquation, nous n’avons pas de barre sous notre symbole
inéquation. Cela signifie donc que 𝑥 est strictement inférieur à moins un. Eh bien, si 𝑥 est strictement inférieur à moins un, nous aurions un cercle ouvert
sur moins un. Mais, en fait, nous avons un cercle coloré ou fermé là. Donc, c’est inférieur ou égal à.
Et si nous regardons (D) et (E), elles sont toutes deux incorrectes, parce que (D) et
(E) sont toutes deux - nous avons ici des encadrements. Et cela signifierait que nous aurions en fait une zone entre deux valeurs. Et la façon dont nous les représenterions sur une droite graduée est d’utiliser deux
autres notations. Ainsi, par exemple, si nous avions (D), ce serait un point coloré au-dessus de moins
un ou sur moins un. Et puis, nous aurions un cercle ou un point ouvert sur deux. Et puis, nous aurions une droite les reliant. Cela signifie que 𝑥 peut prendre n’importe quelle valeur comprise entre moins un et
deux, y compris moins un, mais sans deux. Et pour (E), nous aurions juste un cercle ouvert sur moins un et un cercle ouvert sur
deux et ensuite une droite les reliant.
Très bien. Donc, nous avons répondu à la question qui a montré où nous avons deux conditions
différentes à remplir. Et aussi, encore une fois, nous avons examiné un peu les encadrements. Mais maintenant, nous allons nous pencher sur une question qui se concentre
définitivement sur cet encadrement.
Lequel des diagrammes suivants représente l’inéquation 𝑥 est supérieur ou égal à
moins deux mais strictement inférieur à un ?
Donc, si nous regardons l’inéquation que nous avons dans cette question, nous pouvons
voir qu’il s’agit d’un encadrement parce que nous avons deux signes
d’inéquation. Et c’est-à-dire qu’il s’agit d’une combinaison des deux inéquations qui sont 𝑥 est
supérieur ou égal à moins deux et 𝑥 est strictement inférieur à un. Et ce que cela va montrer, c’est une zone entre deux valeurs. Donc, si nous voulons représenter cela sur une droite graduée, alors nous devons nous
rappeler de certaines des notations que nous utilisons.
Ainsi, si nous regardons le premier signe d’inéquation, nous avons 𝑥 est supérieur
ou égal à moins deux. Donc, parce qu’il est supérieur ou égal à, nous allons avoir un cercle ou un point
coloré surla droite de droite, parce que le cercle ou le point coloré signifie « ou
égal à » plutôt que juste cette valeur. Et puis, la droite de droite signifie « supérieur à ». Ensuite, pour la deuxième partie de notre inéquation, nous aurons un cercle
ouvert. Et c’est parce que 𝑥 est strictement inférieur à un. Ce n’est pas 𝑥 est inférieur ou égal à un. Et puis nous allons avoir une droite qui va vers la gauche parce que c’est moins
que. Comme nous l’avons déjà dit, c’est un encadrement. Elle représente donc une zone entre deux valeurs. Donc, nous allons joindre les droites entre nos deux points ou cercles.
Donc, maintenant, nous avons quelque chose qui ressemble à ce que nous voulons. Nous allons représenter notre inéquation sur une droite graduée. Et nous pouvons aussi voir que notre cercle coloré sera sur le moins deux. Et le cercle ouvert sera sur le un. Donc, si nous regardons nos réponses possibles, nous pouvons voir que c’est la même
chose que la réponse (A). Parce que dans la réponse (A), nous avons un cercle coloré sur le moins deux et un
cercle ouvert sur le un. Cela montre donc que 𝑥 peut être n’importe quelle valeur entre moins deux et un, y
compris moins deux, mais pas un.
On peut donc dire que le diagramme qui représente l’inéquation 𝑥 est supérieur ou
égal à moins deux mais strictement inférieur à un est le diagramme (A). Et les autres sont incorrects pour diverses raisons liées à la notation des droites
graduées. Ainsi, (B) a le faux point coloré et le faux point ouvert. Dans (C), ils sont tous deux colorés et dans (D), ils sont tous deux ouverts, ce qui
est incorrect.
Très bien. Nous avons vu un problème qui présente un encadrement. Maintenant, nous allons passer à notre dernier exemple. Et dans celui-ci, on utilise un peu de résolution de problèmes.
La situation dans laquelle 𝑥 doit être éloigné d’au moins deux places de un peut
être exprimée par l’inéquation composée 𝑥 moins un est strictement inférieur à
moins deux ou 𝑥 moins un est strictement supérieur à deux. Laquelle des droites graduées suivantes représente cette inéquation ?
Eh bien, la première chose que nous devons examiner avec cette question est cette
formulation, l’inéquation composée. Qu’est-ce qu’une inéquation composée ? Il s’agit d’une inéquation qui comporte deux inéquations ou plus, reliées par un
« et » ou un « ou », comme dans cette question. Ainsi, dans ce problème, notre inéquation composée comporte deux parties. Ainsi, nous traitons d’abord la partie de gauche, qui est 𝑥 moins un est strictement
inférieur à moins deux.
Ce que nous voulons faire, c’est résoudre ce problème de la même manière que nous
résoudrions une équation. Nous allons donc ajouter un de chaque côté de notre inéquation. Ainsi, cela va nous donner 𝑥 est strictement inférieur à mois un. Ok, donc, c’est la première partie de notre inéquation composée qui est résolue. Donc, nous savons ce que notre valeur 𝑥 ou notre zone 𝑥 va être en premier, et
c’est 𝑥 est strictement inférieur à moins un. Donc, pour la deuxième partie de notre inéquation composée, nous avons 𝑥 moins un
est strictement supérieur à deux.
Donc, encore une fois, ce que nous faisons, c’est que nous ajoutons un de chaque côté
de l’inéquation à résoudre. Ainsi, nous obtenons 𝑥 est strictement supérieur à trois. Donc, si nous mettons tout cela ensemble, ce que nous obtenons c’est 𝑥 est inférieur
à moins un ou 𝑥 est supérieur à trois. Il ne s’agit pas d’un encadrement, car nous ne cherchons pas une zone entre deux
valeurs. Nous avons donc en fait deux parties distinctes dans notre inéquation composée. Et si nous envisageons notre inéquation sur la droite graduée, nous allons avoir deux
cercles ouverts, l’un avec une flèche vers la gauche et l’autre avec une flèche vers
la droite. Et ce, parce que nous n’avons pas « ou pas égal à ».
Donc, si nous examinons nos réponses possibles, nous pouvons voir que la réponse (D)
sera la bonne. Parce que nous avons un cercle ouvert vers la gauche en moins un. Et nous avons un cercle ouvert vers la droite en trois. Et nous excluons la réponse (A) parce qu’elle a deux cercles fermés et les réponses
(B) et (C) parce qu’elles représentent des zones entre deux valeurs.
Très bien. Nous avons répondu à notre dernier problème. Résumons rapidement de ce que nous avons fait dans cette leçon. Donc, les points clés que nous avons sont les notations. Voici donc nos notations d’inéquation. Si une extrémité ouverte pointe vers elle, alors celle-ci est strictement supérieure
à. Si l’extrémité est pointue, alors elle est strictement inférieure à. Et si nous avons une barre en dessous, cela signifie qu’elle peut être égale à, donc
elle peut aussi inclure cette valeur. Avec notre notation de droite graduée, si c’est un point coloré, cela signifie
qu’elle peut être égale, supérieure ou inférieure à.
Et enfin, si nous avons des encadrements, ceux-ci montrent une zone comprise entre
deux valeurs différentes. Et, enfin, nous pouvons dire qu’une inéquation composée est une inéquation comprenant
deux ou plusieurs inéquations avec un « et » ou un « ou » entre elles.