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Vidéo de la leçon : Proportions

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les propriétés des proportions pour déterminer une valeur inconnue dans une relation proportionnelle et prouver des assertions algébriques.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons étudier des relations de proportionnalité et déterminer la valeur d’inconnues. Une autre façon de dire cela est que nous allons essayer de trouver des fractions équivalentes.

Sachant que 39 sur 𝑥 égale 13 sur sept. Déterminez la valeur de 𝑥. Nous avons donc deux fractions : 39 sur quelque chose égale 13 sur sept. Si nous pouvons trouver une fraction équivalente à 13 sur sept avec 39 au numérateur ici, alors nous pourrons en déduire immédiatement que le dénominateur est égal à 𝑥. Observons donc ces fractions. Si je calcule 13 fois trois, j’obtiens 39. Donc, si je multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction par trois, j’obtiendrai une fraction équivalente.

Donc, si je multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction par trois, j’obtiendrai une fraction équivalente. Je multiplie alors 13 sur sept par un, ce qui me donne exactement la même valeur, 13 sur sept. Mais j’obtiens une version légèrement différente de ce nombre, car 13 fois trois font 39 et sept fois trois font 21. Cette fraction est donc équivalente à cette fraction. Ce qui signifie que leurs valeurs sont égales. Mais regardez, nous avons maintenant 39 sur 𝑥 égale 39 sur 21. Donc 𝑥 doit être égal à 21. Et il s’agit de notre réponse.

Sachant que 𝑥 sur 25 égale 18 sur 150. Déterminez la valeur de 𝑥. Dans cette question, l’inconnue est au numérateur. Donc si je peux trouver une fraction équivalente à 18 sur 150 avec 25 au dénominateur, je pourrai en déduire immédiatement la valeur de 𝑥.

Et si j’observe attentivement, je vois que 25 fois six est égal à 150. Je recherche donc une fraction équivalente à 18 sur 150 en divisant le numérateur et le dénominateur par six ; 150 divisé par six égale 25, ce qui était le but recherché, et 18 divisé par six égale trois ; j’obtiens ainsi deux fractions qui sont égales. Et qui ont le même dénominateur. Donc 𝑥 doit être égal à trois.

Maintenant, une autre façon de répondre à cette question aurait été d’essayer d’isoler 𝑥 et 𝑥 est déjà au numérateur de la fraction. Donc, si je multiplie ce membre par 25 sur un, je peux diviser par 25 au dénominateur et au numérateur, ce qui revient à l’annuler. Sur le membre gauche, il me reste donc un fois 𝑥 sur un fois un, soit 𝑥.

Mais le problème est que cela n’est plus égal à 18 sur 150 car nous avons multiplié le membre gauche par 25. Je dois donc faire la même chose sur le membre droit : le multiplier lui aussi par 25 sur un. Et je peux maintenant diviser 25 par 25 pour obtenir un et 150 par 25 pour obtenir six. Donc 𝑥 égale 18 sur six. Je peux alors diviser six par six, ce qui donne un, et 18 par six, ce qui donne trois. Donc 𝑥 égale trois sur un. C’est-à-dire simplement trois.

Il y a donc deux méthodes différentes et vous pouvez choisir celle que vous préférez : trouver la fraction équivalente puis lire la réponse ou faire un peu d’algèbre et isoler 𝑥 pour obtenir la même réponse.

Maintenant, voici une question un peu originale.

Sachant que 15 sur 𝑥 est égal à 2,5 sur sept. Déterminez la valeur de 𝑥. Nous n’aimons généralement pas trop avoir des nombres décimaux dans les fractions, c’est pourquoi je dis que cette question est un peu originale. Mais nous pouvons tout de même appliquer les mêmes méthodes pour résoudre ce problème.

En observant maintenant le numérateur, si je multiplie 2,5 par deux, j’obtiens cinq. Et si je multiplie cinq par trois, j’obtiens 15. Donc, 2,5 fois six égale 15. En multipliant le numérateur et le dénominateur de cette fraction par six, on rappelle que six sur six égale un donc cela donnera une fraction équivalente à 2,5 sur sept. Le numérateur sera de 15 au lieu de 2,5. Et comme nous l’avons vu, 2,5 fois six égale 15 et sept fois six égale 42. Donc, cette fraction et cette fraction sont équivalentes. Nous voyons à présent que les deux fractions ont le même numérateur. Donc 𝑥 doit être égal à 42.

Mais si vous n’aimez pas vraiment travailler avec des nombres décimaux, une autre approche aurait pu être de commencer par multiplier le numérateur et le dénominateur du membre droit par deux afin de trouver une fraction équivalente à 2,5 sur sept mais sans nombres décimaux. Et tout ce que je dois maintenant faire est de multiplier le cinq par trois pour obtenir 15. Si je multiplie ensuite 14 par trois, j’obtiens 𝑥. Donc 𝑥 est égal à 42.

Voyons encore une autre façon de le faire en utilisant le produit en croix. Si je multiplie les deux membres par 𝑥 sur un, alors les deux membres sont toujours égaux. Sur le membre gauche, je peux diviser le numérateur par 𝑥 et le dénominateur par 𝑥. Ce qui donne un fois 15 sur un fois un, ce qui est simplement 15. Donc, 15 égale 2,5 𝑥 sur sept. Je multiplie maintenant les deux membres par sept. Comme le membre droit est une fraction, je le multiplie par sept sur un, qui est l’équivalent en fraction de sept. Le membre gauche n’est pas une fraction donc je vais simplement le multiplier par sept.

Sept fois 15 égale 105. Et sur le membre droit, je peux annuler le facteur commun sept pour éliminer le dénominateur. Cela donne 2,5 fois 𝑥. Je vais à présent diviser les deux membres par 2,5 pour pouvoir l’annuler sur le membre droit, qui devient juste 𝑥. J’ai ainsi 𝑥 égale 105 sur 2,5. Si vous ne vous sentez pas à l’aise pour faire cette division, vous pouvez multiplier 105 sur 2,5 par un. Bien sûr, multiplier par un ne changera pas sa valeur, mais la version de un que nous allons utiliser dans ce cas est deux sur deux. Et l’avantage de faire cela est que nous obtenons un dénominateur entier.

J’ai donc 210 sur cinq. Et 100 divisé par cinq égale 20, donc 200 divisé par cinq égale 40. Puis 10 divisé par cinq égale deux, donc le résultat est 42. Cette méthode est plus longue que l’autre, mais avec la première méthode, il n’est pas toujours évident de trouver un multiple facile. Donc, la première méthode ne fonctionne pas toujours très bien. Vous n’aurez ainsi parfois pas d’autre choix que de recourir à l’algèbre et de reformuler cette équation pour résoudre le problème.

Sachant que 𝑥 sur trois égale cinq sur quatre. Déterminez la valeur de 𝑥. Dans cet exemple, il n’y a pas de multiple évident entre les deux membres. Nous allons donc utiliser la technique du produit en croix. Je souhaite alors isoler 𝑥. Je vais donc multiplier ce membre par trois sur un. Et si je le fais sur un membre, je dois faire la même chose sur l’autre membre. L’égalité est ainsi toujours vraie. Sur le membre gauche, en divisant le dénominateur par trois, j’obtiens un. Et si je divise le numérateur par trois, j’obtiens un. J’ai maintenant un fois 𝑥 divisé par un fois un, soit 𝑥. Et sur le membre droit, cinq fois trois, donc 15 sur quatre. Par conséquent, 𝑥 est égal à 15 sur quatre. Bien sûr, selon la question, vous devrez peut-être l’exprimer sous forme fractionnaire ou décimale.

Voici un autre exemple. Nous avons une fraction dans une fraction. Nous essayons normalement de les éviter mais répondons quand même à la question.

Déterminez le nombre manquant : sept sur cinq égale quelque chose sur neuf et quatre cinquièmes. Encore une fois, il n’y a pas de multiple évident pour créer une fraction équivalente et nous n’avons encore jamais rencontré de nombre fractionnaire au dénominateur. Je vais donc commencer par simplifier le dénominateur en une seule fraction.

Neuf et quatre cinquièmes est égal à neuf plus quatre cinquièmes. Pour créer un dénominateur commun, je rappelle que neuf est égal à 45 sur cinq. J’ai donc 45 sur cinq plus quatre sur cinq, ce qui fait 49 sur cinq. Donc, neuf et quatre cinquièmes égale 49 sur cinq. Et je vais utiliser cette fraction.

J’ai alors sept sur cinq égale quelque chose divisé par 49 sur cinq. Nous obtenons un nombre divisé par une fraction. Et diviser par une fraction revient à inverser la fraction et à multiplier par cette nouvelle fraction. Cela signifie que le membre droit est égal à quelque chose fois cinq sur 49. On change donc la division en une multiplication et on inverse le numérateur et le dénominateur. Je cherche maintenant à simplifier le membre droit, et 49 divisé par 49 égale un et cinq divisé par cinq égale un. Ce qui donne quelque chose fois un. Et au dénominateur de l’autre membre, cinq fois cinq égale 25 et 49 fois sept égale 343. Vous voyez donc que les nombres ne sont pas toujours simples mais qu’il suffit d’avancer pas à pas pour trouver la réponse.

Voici maintenant une nouvelle question avec des nombres décimaux dans les fractions.

Complétez : 1,1 sur 0,6 égale quelque chose sur 15. Je vais ici utiliser le produit en croix pour essayer de résoudre ce problème. Je multiplie donc les deux membres par 15 sur un pour pouvoir isoler la valeur inconnue sur le membre droit. Sur le membre droit, en divisant le numérateur et le dénominateur par 15, j’obtiens un sur un. Il ne reste donc que la valeur inconnue. Et sur le membre gauche, j’obtiens 15 fois 1,1 sur 0,6. Et je vais maintenant trouver une fraction équivalente à 1,1 sur 0,6, qui ne contient pas de nombres décimaux. Il suffit pour cela de multiplier le numérateur et le dénominateur par 10.

Car multiplier par 10 sur 10 revient à multiplier par un. Je ne change donc pas la valeur de ce nombre. J’obtiens par contre une fraction équivalente sans nombres décimaux. La valeur inconnue est donc égale à 15 fois 11 sur six. 15 est divisible par trois et six est divisible par trois. Avec 15 divisé par trois égale cinq et six divisé par trois égale deux. J’ai alors cinq fois 11 sur deux. La valeur que nous recherchons est donc égale à 55 sur deux. Ou selon la question, nous pourrions dire qu’elle est égale à 27 et un demi ou à 27,5.

Voici maintenant une question où trois fractions sont égales entre elles. Et nous devons déterminer deux inconnues.

Complétez : 12 sur sept égale 60 sur quelque chose égale autre chose sur 30 et un tiers. Nous allons donc les traiter deux par deux. Nous commençons par les deux premières fractions, puis nous nous pencherons sur la première et la troisième fraction.

En observant les deux premières fractions, 12 sur sept égale 60 sur quelque chose, je vois tout de suite que si je calcule 12 fois cinq, j’obtiens 60. Je peux donc trouver une fraction équivalente en multipliant le numérateur et le dénominateur par cinq pour trouver ce dénominateur inconnu.

En multipliant 12 et sept par cinq, j’obtiens 60 sur 35. Donc, 12 sur sept égale 60 sur 35. Le nombre inconnu ici doit donc être égal à 35. Je me penche maintenant sur la première et la troisième fraction, 12 sur sept égale quelque chose sur 30 et un tiers.

J’aurais également pu considérer 60 sur 35 égale quelque chose sur 30 et un tiers. Mais si j’ai fait une erreur dans la première partie de la question, je la reporterai dans la deuxième partie. Donc, ce n’est probablement pas une bonne idée. Je commence alors par convertir 30 et un tiers en une seule fraction. 30 et un tiers est égal à 30 plus un tiers. Et 30 est égal à 90 sur trois. Cela est donc égal à 90 sur trois plus un sur trois, soit 91 sur trois.

12 sur sept est donc égal à quelque chose sur 91 sur trois. Si je multiplie à présent les deux membres par 91 sur trois, ils s’annulent sur le membre droit, me laissant juste avec la valeur inconnue. J’ai donc 91 sur trois fois 12 sur sept sur le membre gauche. Et je peux simplifier un peu. 12 et trois sont tous les deux divisibles par trois, et sept et 91 sont divisibles par sept car sept fois 13 égale 91. La valeur inconnue est donc égale à 13 fois quatre sur un fois un. Ce qui fait 52. Je peux donc compléter cette deuxième partie.

Nous avons vu dans cette vidéo une série de questions dont certaines étaient assez délicates, ainsi que quelques techniques pour les résoudre. Il est parfois simplement possible de trouver des fractions équivalentes et d’en déduire la réponse. Dans d’autres cas, nous avons dû faire un produit en croix, utiliser un peu d’algèbre, faire quelques réarrangements ou effectuer des calculs assez compliqués afin de trouver les réponses. J’espère que cela vous permettra de choisir vos méthodes préférées parmi celles que nous avons vues et de les appliquer à vos questions de recherche d’inconnues dans des relations de proportionnalité.

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