Vidéo : Dérivée seconde des équations paramétriques

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment trouver des dérivées secondes et des dérivées d’ordre supérieur d’équations paramétriques en appliquant la règle de chaîne.

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Transcription de vidéo

Dérivées secondes des équations paramétriques. Dans cette vidéo, nous apprendrons comment trouver les dérivées secondes et les dérivées d’ordre supérieur des équations paramétriques en appliquant la règle de chaîne. Et nous couvririons également une variété d’exemples. Maintenant, disons que nous avons reçu une paire d’équations paramétriques. 𝑥, qui est égal à une fonction 𝑓 de 𝑡, et 𝑦, qui est égal à une fonction 𝑔 de 𝑡. Nous savons que nous pouvons trouver d𝑦 sur d𝑥 avec l’équation suivante. Nous avons que d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑡 sur d𝑥 sur d𝑡. Voyons maintenant comment nous trouverions la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. C’est donc d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré. Et nous pouvons en fait le trouver en prenant la dérivée première de d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝑥.

Maintenant, il y a un léger problème ici. Et nous pouvons voir ce qu’est ce problème en regardant l’équation de d𝑦 sur d𝑥. d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑡 sur d𝑥 sur d𝑡. Maintenant, d𝑦 sur d𝑡 et d𝑥 sur d𝑡 sont des équations en fonction de 𝑡. Par conséquent, d𝑦 sur d𝑥 sera également une équation en fonction de 𝑡. Par conséquent, nous ne pourrons pas la dériver directement par rapport à 𝑥. Nous pouvons cependant contourner ce problème en utilisant la règle de chaîne.

La règle de chaîne nous dit que si nous avons une dérivée d𝑓 sur d𝑥, alors cela est égal à d𝑓 sur d𝑡 multiplié sur d𝑡 sur d𝑥, où 𝑡 est une autre variable. Et nous pouvons l’appliquer à notre dérivée. On obtient que d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est égal à d sur d𝑡 de d𝑦 sur d𝑥 multiplié sur d𝑡 sur d𝑥. Maintenant, nous pourrions trouver d𝑡 sur d𝑥 en réarrangeant 𝑥 est égal à 𝑓 de 𝑡 à 𝑡 est égal à 𝑓 réciproque de 𝑥 puis en le dérivant par rapport à 𝑥. Cependant, ce serait en fonction de 𝑥. Et l’autre terme de notre équation d sur d𝑡 de d𝑦 sur d𝑥 est en fonction de 𝑡. Donc, idéalement, nous voudrions que ce deuxième terme soit également en fonction de 𝑡.

Nous pouvons le trouver en fonction de 𝑡 en utilisant une règle différentielle pour les fonctions réciproques. Cette règle différentielle nous dit que d𝑡 sur d𝑥 est égal à un sur d𝑥 sur d𝑡. Et nous pouvons substituer cela à notre équation. Cela nous donnera notre formule pour trouver la dérivée seconde des équations paramétriques. Ce qui nous dit que d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est égal à d sur d𝑡 de d𝑦 sur d𝑥 sur d𝑥 sur d𝑡. Et cela, bien sûr, ne fonctionne que lorsque d𝑥 sur d𝑡 est différent de zéro. Nous sommes maintenant prêts à utiliser cette formule pour nous aider à trouver des dérivées secondes d’équations paramétriques. Notons rapidement qu’il ne faut pas oublier l’équation de la dérivée première des équations paramétriques car elle est utilisée dans l’équation de la dérivée seconde.

Étant donné que 𝑥 est égal à trois 𝑡 au carré plus un et que 𝑦 est égal à trois 𝑡 au carré plus cinq 𝑡, trouvez d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré.

Dans cette question, nous avons reçu une paire d’équations paramétriques. Et on nous a demandé de trouver d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré, qui est la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. Maintenant, nous avons en fait une équation pour nous aider à trouver la dérivée seconde des équations paramétriques. L’équation nous dit que d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est égal à d sur d𝑡 de d𝑦 sur d𝑥 sur d𝑥 sur d𝑡. Pour utiliser cette équation, nous devons également trouver d𝑦 sur d𝑥. Et nous avons également une équation pour trouver d𝑦 sur d𝑥 lorsque des équations paramétriques sont données. Cette équation nous dit que d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑡 sur d𝑥 sur d𝑡.

Nous pouvons commencer notre solution en trouvant d𝑦 sur d𝑡 et d𝑥 sur d𝑡. Nous avons que 𝑥 est égal à trois 𝑡 au carré plus un. En utilisant la règle de puissance pour la dérivation, nous multiplions par la puissance et diminuons la puissance une unité. Et donc, en dérivant le terme trois 𝑡 au carré, nous obtenons six 𝑡. Puisque l’un est une constante et que nous le dérivons, il ira à zéro. Par conséquent, nous avons que d𝑥 sur d𝑡 est égal à six 𝑡. On nous a également donné que 𝑦 est égal à trois 𝑡 au carré plus cinq 𝑡. Cela peut à nouveau être dérivé en utilisant la règle de puissance. En dérivant le premier terme, nous obtenons à nouveau six 𝑡. Et lorsque nous dérivons les cinq 𝑡, nous obtenons simplement cinq. Par conséquent, nous avons que d𝑦 sur d𝑡 est égal à six 𝑡 plus cinq.

Nous avons maintenant trouvé toutes les composantes afin de trouver d𝑦 sur d𝑥. On obtient que d𝑦 sur d𝑥 est égal à six 𝑡 plus cinq sur six 𝑡. Lorsque nous regardons notre formule pour la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥, nous constatons que nous devons trouver d sur d𝑡 de d𝑦 sur d𝑥. C’est donc d sur d𝑡 de six 𝑡 plus cinq sur six 𝑡, ce qui est un quotient. Par conséquent, nous pouvons utiliser la règle du quotient pour nous aider à nous dériver ici. Nous constatons que la dérivée d’un quotient de certaines fonctions, 𝑢 sur 𝑣, est égale à 𝑣 multipliée par d𝑢 sur d𝑥 moins 𝑢 multipliée par d𝑣 sur d𝑥 le tout sur 𝑣 au carré.

Maintenant, dans notre cas, notre numérateur est égal à six 𝑡 plus cinq. Par conséquent, c’est égal à 𝑢. Et notre dénominateur est six 𝑡. Et donc c’est égal à 𝑣. On peut dériver six 𝑡 plus cinq par rapport à 𝑡 pour trouver que d𝑢 sur d𝑡 est égal à six. Et en dérivant six 𝑡 par rapport à 𝑡, nous constatons que d𝑣 sur d𝑡 est également égal à six. Maintenant, nous sommes prêts à remplacer 𝑢, 𝑣, d𝑢 sur d𝑡 et d𝑣 sur d𝑡 dans la formule qui nous est donnée par la règle du quotient. Ce que nous obtenons est six 𝑡 fois moins six six 𝑡 plus cinq fois six sur tout six 𝑡 au carré. En multipliant, nous obtenons 36𝑡 moins 36𝑡 moins 30 sur 36𝑡 au carré. Par conséquent, nous pouvons annuler le 36𝑡 avec le moins 36𝑡. Et nous pouvons annuler grâce à notre facteur de cinq pour obtenir que d sur d𝑡 de d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins cinq sur six 𝑡 au carré.

Donc, si nous regardons en arrière notre formule pour d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré, nous avons maintenant trouvé d sur d𝑡 de d𝑦 sur d𝑥. Et c’est égal à moins cinq sur six 𝑡 au carré. Nous avons également trouvé d𝑥 sur d𝑡 plus tôt. Et c’est égal à six 𝑡. En utilisant notre formule, nous avons que d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est égal à moins cinq sur six 𝑡 au carré sur six 𝑡, ce qui simplifie pour nous donner une solution que d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est égal à moins cinq sur 36𝑡 au cube.

Cette méthode peut être utile pour nous aider à trouver la concavité des équations paramétriques, comme nous le verrons dans l’exemple suivant.

Considérons que la courbe paramétrique 𝑥 est égale à cos 𝜃 et 𝑦 est égale à sin 𝜃. Déterminez si cette courbe est concave vers le haut, vers le bas ou si ni à 𝜃 est égal à 𝜋 sur six.

Ici, nous avons été interrogés sur la concavité d’une courbe. Nous savons que, pour déterminer la concavité d’une courbe, nous devons considérer la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. Nous savons que lorsque d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est supérieur à zéro, notre courbe est concave vers le bas. Et quand il est inférieur à zéro, notre courbe est concave vers le haut. De cela, nous pouvons voir que, pour considérer la concavité de notre courbe, nous devons d’abord trouver d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré. Maintenant, on nous a donné notre courbe en termes d’équations paramétriques. Par conséquent, nous pouvons utiliser la formule suivante pour trouver d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré. Cette formule nous dit que d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est égal à d sur d𝜃 de d𝑦 sur d𝑥 sur d𝑥 par d𝜃. Pour l’utiliser, nous devons d’abord trouver d𝑦 sur d𝑥, dont nous connaissons également une formule. Nous avons que d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝜃 sur d𝑥 par d𝜃. Par conséquent, nous pouvons commencer par trouver d𝑦 sur d𝜃 et d𝑥 par d𝜃.

On nous a dit que 𝑥 est égal à cos 𝜃. Et 𝑦 est égal au sin 𝜃. En dérivant cos 𝜃 par rapport à 𝜃, on obtient que d𝑥 par d𝜃 est égal à moins sin 𝜃. Et en dérivant sin 𝜃 par rapport à 𝜃, on obtient que d𝑦 sur d𝜃 est égal à cos 𝜃. Et en les substituant dans notre équation pour d𝑦 sur d𝑥, nous obtenons que d𝑦 sur d𝑥 est égal à cos moins 𝜃 sur sin 𝜃 ou cot moins 𝜃. Ensuite, nous devons dériver d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝜃, ce qui équivaut à d sur d𝜃 de cot moins 𝜃. Maintenant, nous savons que cot 𝜃 dérive pour donner moins csc au carré 𝜃. Et nous pouvons donc voir que le cot moins 𝜃 se dérivera en csc au carré 𝜃. Maintenant, nous avons trouvé d sur d𝜃 de d𝑦 sur d𝑥 et d𝑥 par d𝜃. Et donc nous obtenons que d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré soit égal à csc au carré 𝜃 sur le moins sin 𝜃. Puisque csc 𝜃 est égal à un sur sin 𝜃, nous avons que d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est égal à moins csc au cube 𝜃.

À ce stade, nous avons trouvé d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré. Nous avons juste besoin de l’évaluer à 𝜃 est égal à 𝜋 sur six. À 𝜃 est égal à 𝜋 sur six, nous avons qu’il est égal à moins csc au cube de 𝜋 sur six. Et nous pouvons utiliser le fait que csc est égal à un sur le sin, ce qui nous donne qu’il est égal à moins un sur le sin au cube de 𝜋 sur six. Nous savons que le sin de 𝜋 sur six est égal à un demi. Le dénominateur de notre fraction est donc égal à un demi-cube. Maintenant, un demi-cube est un huitième. Et un sur un huitième est tout simplement huit. Nous avons donc évalué d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré à 𝜃 est égal à 𝜋 sur six pour être égal à moins huit. Puisque le moins huit est inférieur à zéro, cela nous indique que, à 𝜃 est égal à 𝜋 sur six, notre courbe est concave vers le haut.

Voyons maintenant ce qui se passe lorsque nous essayons de trouver des dérivées d’ordre supérieur d’équations paramétriques. Commençons par d trois 𝑦 sur d𝑥 au cube. On peut dire que ceci est égal à d sur d𝑥 de d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré. Et nous savons déjà comment trouver d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré car il est donné par cette équation. Cependant, cela nous donne en fonction de 𝑡. Et donc quand nous essayons de le dériver par rapport à 𝑥, il sera plus facile d’appliquer simplement la règle de chaîne. Cela nous donne que d trois 𝑦 sur d𝑥 au cube est égal à d sur d𝑡 de d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré multiplié sur d𝑡 sur d𝑥. Comme précédemment, nous pouvons appliquer le fait que d𝑡 sur d𝑥 est égal à un sur d𝑥 sur d𝑡. Et donc on obtient que d trois 𝑦 sur d𝑥 au cube est égal à d sur d𝑡 de d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré sur d𝑥 sur d𝑡.

En regardant les formules de la dérivée troisième de 𝑦 par rapport à 𝑥 et de la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥, nous pouvons remarquer qu’un modèle commence à émerger. Et si nous continuons en fait à dériver ces dérivées pour trouver des dérivées d’ordre supérieur, nous remarquerions que ce modèle se poursuit. Par conséquent, nous pouvons écrire une équation pour la 𝑛 ième dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. On peut dire que d𝑛𝑦 sur d𝑥 au 𝑛 est égal à d sur d𝑡 de d𝑛 moins un 𝑦 sur d𝑥 au 𝑛 moins un sur d𝑥 sur d𝑡. Et cette formule peut être utilisée pour trouver toute dérivée d’ordre supérieur d’équations paramétriques.

Passons maintenant à notre dernier exemple.

Si 𝑥 est égal à quatre 𝑡 plus trois et 𝑦 est égal à deux 𝑒 de 𝑡 moins 𝑡 au cube, trouvez d trois 𝑦 sur d𝑥 au cube.

Nous avons donc reçu des équations paramétriques. Et on nous a demandé de trouver la troisième dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Nous avons une formule pour trouver la 𝑛 ième dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Et il nous dit qu’il est égal à d sur d𝑡 de d𝑛 moins un 𝑦 sur d𝑥 au 𝑛 moins un sur d𝑥 sur d𝑡. Dans notre cas, 𝑛 est égal à trois. On peut donc le remplacer. On obtient que d trois 𝑦 sur d𝑥 au cube est égal à d sur d𝑡 de d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré sur d𝑥 sur d𝑡. Maintenant, nous avons également une formule pour d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré, car cela est requis dans la formule pour la troisième dérivée. Et il y aura une formule finale dont nous aurons besoin, qui est pour la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑥. Nous aurons besoin de ces trois formules pour trouver la dérivée troisième. On va commencer par trouver d𝑦 sur d𝑥. Par conséquent, nous aurons besoin de d𝑦 sur d𝑡 et d𝑥 sur d𝑡.

On nous a donné 𝑥 et 𝑦 en fonction de 𝑡 dans la question. Nous pouvons les dériver. Et on obtient que d𝑥 sur d𝑡 est égal à quatre. Et d𝑦 sur d𝑡 est égal à deux 𝑒 de 𝑡 moins trois 𝑡 au carré. Nous pouvons combiner ces deux pour dire que d𝑦 sur d𝑥 est égal à deux 𝑒 de 𝑡 moins trois 𝑡 au carré sur quatre. On peut alors dériver ceci par rapport à 𝑡 pour obtenir que d sur d𝑡 de d𝑦 sur d𝑥 soit égal à deux 𝑒 de 𝑡 moins six 𝑡 sur quatre. Ici, nous remarquons que nous pouvons effacer un facteur deux, simplifiant notre résultat à 𝑒 en 𝑡 moins trois 𝑡 sur deux. Afin de trouver la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥, nous devons diviser ce résultat sur d𝑥 sur d𝑡, qui est égal à quatre. On obtient que d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est égal à 𝑒 de 𝑡 moins trois 𝑡 sur huit.

Pour le numérateur de notre formule pour la dérivée troisième, nous devons dériver cela par rapport à 𝑡. En dérivant d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré par rapport à 𝑡, nous obtenons qu’il est égal à 𝑒 de 𝑡 moins trois sur huit. Et pour notre dernière étape dans la recherche de la dérivée troisième de 𝑦 par rapport à 𝑥, il faut simplement diviser sur d𝑥 sur d𝑡, qui est égal à nouveau à quatre. C’est là que nous arrivons à notre solution, qui est que d trois 𝑦 sur d𝑥 au cube est égal à 𝑒 de 𝑡 moins trois sur 32.

Nous avons maintenant vu comment trouver des dérivées du second ordre et des équations paramétriques. Récapitulons quelques points clés de cette vidéo. Points clés, nous pouvons trouver la dérivée seconde des équations paramétriques avec la formule d deux 𝑦 sur d𝑥 au carré est égal à d sur d𝑡 de d𝑦 sur d𝑥 sur d𝑥 sur d𝑡, où d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑡 sur d𝑥 sur d𝑡. Et d𝑥 sur d𝑡 est différent de zéro. Cette formule peut être utile pour trouver la concavité d’une fonction définie par des équations paramétriques. Nous pouvons trouver des dérivées d’ordre supérieur d’équations paramétriques en utilisant la formule suivante. La 𝑛 ième dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à d sur d𝑡 de d𝑛 moins un 𝑦 sur d𝑥 au 𝑛 moins un sur d𝑥 sur d𝑡, où d𝑥 sur d𝑡 est différent de zéro.

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