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Vidéo de question : Étude de deux forces coplanaires agissant en un point pour produire une résultante Mathématiques

Deux forces d’intensité 6𝐹 et 12𝐹 agissent en un même point. L’intensité de leur résultante vaut 9𝐹. Déterminez la mesure de l’angle qu’elles forment en donnant le résultat à la minute d’arc près.

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Transcription de vidéo

Deux forces d’intensité six 𝐹 et 12𝐹 agissent en un même point. L’intensité de leur résultante vaut neuf 𝐹. Déterminez la mesure de l’angle qu’elles forment en donnant votre réponse à la minute d’arc près.

Commençons par imaginer à quoi peut ressembler ces deux forces. Elles agissent à un certain point 𝑃. Supposons donc que la force d’intensité six 𝐹 agit dans la direction horizontale comme indiqué. La force d’intensité 12𝐹 agit au même point, mais elle doit agir dans une direction différente. Nous pouvons supposer qu’elle agit approximativement dans la direction indiquée. Nous essayons de trouver la mesure de l’angle entre ces deux forces. Appelons cela 𝜃. Maintenant, afin de trouver la valeur de 𝜃, nous devons utiliser le fait que l’intensité de la résultante de ces deux forces est de neuf 𝐹.

Rappelons-nous, la résultante des deux forces est simplement leur somme vectorielle. Mais cela ne signifie pas que nous ajoutons six 𝐹 et 12𝐹. Ce sont leurs intensités. Nous allons donc plutôt redessiner notre diagramme comme un triangle de forces. Pour ce faire, nous commençons avec la force six 𝐹 comme précédemment. Nous mettons ensuite la force d’intensité 12𝐹 de sorte qu’elle commence à l’extrémité de la force d’intensité six 𝐹. Puisque la résultante est la somme des forces, la résultante peut être écrite comme commençant à l’origine de la force de six 𝐹 et terminant à l’extrémité de la force d’intensité 12 newtons comme indiqué.

Nous remarquons qu’il s’agit d’un triangle non droit et nous connaissons les longueurs, qui sont les intensités de chaque force des trois côtés. Nous pouvons donc trouver la mesure de l’angle entre la force de six 𝐹 et la force de 12𝐹 dans ce triangle. Appelons cela 𝛼. Ensuite nous pouvons utiliser les informations sur les angles dans les droites parallèles pour trouver la valeur de 𝜃. Alors comment peut-on trouver la valeur de 𝛼 ? Eh bien, étiquetons notre triangle comme indiqué. Puisque nous connaissons les trois côtés et que nous essayons de trouver un angle, nous pouvons utiliser la loi des cosinus. Nous pouvons écrire que comme cosinus 𝐴 est égal à 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré moins 𝑎 au carré sur deux 𝑏𝑐. Puisque 𝐴 majuscule est l’angle 𝛼, le membre gauche est simplement cosinus 𝛼.

Ensuite, nous substituons tout ce que nous savons sur chaque côté de notre triangle. Sur le côté droit, nous obtenons 12𝐹 au carré plus six 𝐹 au carré moins neuf 𝐹 au carré sur deux fois 12𝐹 fois six 𝐹. Ceci devient 144𝐹 carré plus 36𝐹 carré moins 81𝐹 carré sur 144𝐹 carré, ce qui simplifie encore davantage à 99𝐹 carré sur 144𝐹 carré. Et bien sûr, 𝐹 fait partie de l’intensité de la force, donc nous savons qu’elle ne peut pas être égale à zéro. Ceci signifie que nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur de notre fraction par 𝐹 au carré. Donc le cosinus de notre angle 𝛼 doit être égal à 99 sur 144.

Pour trouver alors la mesure de l’angle 𝛼, prenons la réciproque ou l’arc cos des deux membres. Le réciproque de cosinus de 99 sur 144 est 46,567 etcetera. Et cela étant bien sûr en degrés. Ensuite, nous n’arrondissons pas cela pour le moment parce que nous cherchons à trouver 𝜃, et pas 𝛼. Alors, si nous revenons à nos diagrammes précédents et nous comparons les deux, nous voyons que l’angle 𝜃 et l’angle 𝛼 peuvent être liés par une paire de droites parallèles. En fait, ce sont des angles supplémentaires. Ceci signifie que 𝜃 plus 𝛼 doit être égal à 180 degrés. Donc 𝜃 vaut 180 moins 𝛼. Et bien sûr, nous avons calculé 𝛼. Donc 𝜃 doit être égal à 180 moins cette valeur exacte de 46,567 etcetera. Cela nous donne 133,432.

Finalement, la question nous demande de donner notre réponse à la minute près. Pour ce faire, nous devons extraire la partie décimale de notre réponse et la multiplier par 60. 0,432 etcetera multiplié par 60 est 25,95. Eh bien, nous arrondissons par le nombre entier le plus proche, qui sera 26. Ainsi nous avons trouvé la mesure de l’angle entre nos deux forces. À la minute près, c’est 133 degrés et 26 minutes.

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