Vidéo de la leçon: Probabilité conditionnelle

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Dans cette leçon, nous apprendrons à calculer la probabilité conditionnelle à l'aide de la formule et des diagrammes de Venn. Il existe de nombreuses situations où nous pourrions vouloir appliquer les règles de probabilité conditionnelle. Ainsi, un exemple est que les yeux d'une personne sont d'une couleur particulière affectée ou conditionnée par la couleur des yeux des parents. Ou même si nous regardons un paquet de cartes, la valeur de votre deuxième carte d'un paquet si vous ne remplacez pas la première est également conditionnelle à la valeur de la première. Ce sont donc toutes des situations où la probabilité conditionnelle peut être appliquée.

Et nous pouvons définir mathématiquement la probabilité conditionnelle comme suit. Donc, si nous voulons regarder la définition d'une probabilité conditionnelle, nous pouvons dire que si la probabilité d'un évènement 𝐵 est affectée par la réalisation d'un évènement 𝐴, alors nous disons que la probabilité de 𝐵 est conditionnelle à la réalisation de 𝐴. Et la notation que nous utilisons pour la probabilité conditionnelle est écrite ici. Et c'est 𝑃, et nous avons des parenthèses, puis 𝐵 puis une ligne verticale et ensuite 𝐴. Et cela se lit comme la probabilité de 𝐵 sachant 𝐴.

Ainsi, selon la forme du problème, il existe différentes méthodes que nous pouvons utiliser pour nous aider à calculer les probabilités conditionnelles. Celles-ci incluent des diagrammes de Venn, des arbres pondérés, puis également la formule de probabilité conditionnelle. Donc, en plus de celles-ci, nous devrons également utiliser certaines de nos règles de probabilité. Alors, récapitulons rapidement et examinons certaines d'entre elles maintenant.

Donc, si nous regardons notre notation, nous pouvons voir que cela signifie ici que l'évènement de probabilité 𝐴 se produit. Notre première règle est donc que l'évènement de probabilité 𝐴 se produisant est supérieur ou égal à zéro mais inférieur ou égal à un. Et puis pour notre deuxième règle, ce que nous avons, c'est que la somme des probabilités de tous les résultats possibles est égale à un. Ainsi, notre troisième règle stipule que la probabilité du complémentaire de l'évènement 𝐴 ou non 𝐴 est donnée par la probabilité du complémentaire de 𝐴 égal à un moins la probabilité de l'évènement 𝐴.

Il convient donc de noter que, dans la notation ici, nous avons 𝐴 bar ou 𝐴 avec une ligne horizontale au-dessus. Et cela signifie le complémentaire de 𝐴. Il convient également de noter que nous pourrions avoir 𝐴 prime, et cela signifierait exactement la même chose. Cela signifie donc non 𝐴. Donc, plus tard, nous allons également examiner d'autres règles ou formules liées à la probabilité conditionnelle.

Voyons maintenant quelques exemples. Dans notre premier exemple, nous calculerons la probabilité du complémentaire d'un évènement. Cette question n'est donc pas une probabilité conditionnelle, mais elle nous montre certaines des compétences utiles que nous devrons utiliser plus tard.

Dans un refuge pour animaux, 42 % des occupants actuels sont des chats et 38 % sont des chiens. Calculez la probabilité qu'un animal choisi au hasard ne soit pas un chat. Trouvez ensuite la probabilité qu'un animal choisi au hasard ne soit ni un chat ni un chien.

Donc, la première partie de ce problème est de regarder les chats parce que ce que nous voulons faire, c'est déterminer la probabilité qu'un animal choisi au hasard ne soit pas un chat. Donc, tout d'abord, on nous dit que 42 % des habitants actuels sont des chats. Donc, la probabilité qu’un chat soit choisi est de 0.42. Et nous obtenons cela parce que 42 % signifie 42 sur 100. Donc, si nous divisons 42 par 100, cela équivaut à 0.42. Et c'est parce que si nous divisons par 100, nous déplaçons chacun de nos chiffres de deux positions vers la droite.

Eh bien, dans ce problème, ce que nous recherchons en fait, c'est la probabilité qu'un animal choisi au hasard ne soit pas un chat. Donc, ce que nous devons utiliser, c'est une règle ou une formule. Et c'est la probabilité qu'un évènement ne se produise pas ou le complémentaire d'un évènement, comme il est également connu, est égal à un moins la probabilité que cet évènement se produise. Et cela vaut également la peine de nous rappeler à ce stade que nous avons ici 𝑃, puis nous avons à l'intérieur de nos parenthèses 𝐴 avec une ligne horizontale au-dessus. Et nous pourrions également écrire ceci comme 𝑃 puis entre parenthèses 𝐴 avec un nombre premier. Et cela nous donnerait la même chose parce que c'est juste une notation différente pour signifier le complémentaire de 𝐴 ou la probabilité du complémentaire de 𝐴.

Donc, si nous appliquons cette règle à notre problème, nous aurons alors que la probabilité que l'animal choisi au hasard ne soit pas un chat soit égale à un moins 0.42, ce qui est égal à 0.58. Donc donc, on peut dire que c'est la probabilité qu'un animal choisi au hasard ne soit pas un chat.

D'accord, passons maintenant à la deuxième partie de la question. Eh bien, pour la deuxième partie, nous savons déjà que la probabilité qu'un chat soit choisi est égale à 0.42. Et par conséquent, nous avons également la probabilité qu'un chien soit choisi est égal à 0.38. Et nous obtenons cela parce que 38 % des habitants sont des chiens. Donc 38 divisé par 100 nous donne notre 0.38.

Maintenant, pour la deuxième partie du problème, nous pourrions simplement le résoudre en utilisant une règle que nous connaissons. Mais il est toujours utile de voir quelles différentes notations peuvent être utilisées. Nous examinons donc la probabilité qu'un animal choisi au hasard ne soit ni un chat ni un chien. Nous pouvons écrire ceci comme nous l'avons fait ici parce que nous avons cette forme en U entre nos compléments. Et cela signifie tout ou l'union.

Eh bien, nous savons que toutes les probabilités de l'un des résultats qui peuvent se produire pour un certain évènement doivent s'additionner à un. Donc, donc, nous pouvons dire que la probabilité qu'un animal choisi au hasard ne soit ni un chat ni un chien va être égale à un moins, puis si nous additionnons la probabilité qu'un chat soit choisi et la probabilité qu'un chien soit choisi. Donc, cela va être un moins 0.42 plus 0.38, ce qui nous donnera la probabilité qu'un animal choisi au hasard ne soit ni un chat ni un chien de 0.2.

Donc, dans cet exemple, nous avons regardé des évènements incompatibles parce que si nous regardons un animal de l'abri de sauvetage, nous ne pouvons pas avoir de chat et de chien. Cependant, tous les évènements ne sont pas tous incompatibles. Par exemple, si vous regardez le type d'animaux que les gens aiment, quelqu'un pourrait aimer un chat et un chien. Par conséquent, ils ne seraient pas incompatibles.

Donc, en gardant cela à l'esprit, ce que nous allons examiner maintenant, ce sont d'autres règles que nous pouvons ajouter à celles que nous avons examinées plus tôt. Donc, tout d'abord, si nous avons deux évènements 𝐴 et 𝐵 qui ne peuvent pas se produire en même temps, ils sont incompatibles. Et dans ce cas, la probabilité de 𝐴 et 𝐵 est un bon zéro. Et nous pouvons écrire cela comme la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵 est égale à zéro.

Eh bien, à la suite de cela, si les évènements 𝐴 et 𝐵 sont incompatibles, alors la probabilité que 𝐴 ou 𝐵 se produise est la somme de leurs probabilités. Et la façon dont nous écrivons cela est la suivante. Nous aurions donc la probabilité que 𝐴 union 𝐵 soit égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵. Cependant, si les évènements 𝐴 et 𝐵 ne sont pas incompatibles, nous avons une autre règle pour que 𝐴 ou 𝐵 se produisent. Et c'est que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵.

Donc, avec le problème jusqu'à présent, ce que nous avons examiné, ce sont les évènements incompatibles. Cependant, nous pouvons maintenant voir un exemple où ils ne sont pas incompatibles. Et ce que nous allons faire, c'est trouver une probabilité conditionnelle en utilisant des diagrammes de Venn.

Dans la rue, 10 maisons ont un chat, huit maisons ont un chien, trois maisons ont les deux et sept maisons n'en ont pas. Déterminez le nombre total de maisons dans la rue. Puis, calculez la probabilité qu'une maison choisie au hasard ait à la fois un chat et un chien. Donnez votre réponse au millième près. Trouvez ensuite la probabilité qu'une maison dans la rue ait un chat ou un chien ou les deux. Donnez votre réponse au millième près.

Et puis il y aura une autre partie que nous aborderons après cela. Donc, pour résoudre ce problème, ce que nous allons commencer par faire, c'est de mettre toutes nos informations dans un diagramme de Venn. Nous avons donc notre diagramme de Venn avec le cercle gauche représentant le chat et le cercle droit représentant le chien. Donc, nous allons commencer avec un peu d'informations qui nous parlent des deux.

Nous savons donc que trois maisons ont à la fois un chat et un chien. Donc, ça va aller dans la partie du milieu, qui est notre intersection. Ensuite, en dehors de notre cercle, nous allons avoir le nombre sept parce que sept maisons n'ont ni chat ni chien. Et puis nous allons en avoir sept dans le reste du cercle de chats. Et c'est parce qu'on nous dit que 10 maisons ont un chat. Eh bien, si nous en avons déjà trois dans l'intersection, alors il en restera sept. Et puis, finalement, nous allons en avoir cinq dans la partie chien de notre cercle, mais pas au milieu. Et c'est parce qu'il y avait huit maisons avec un chien, et nous en avons trois à l'intersection. Donc, cinq plus trois nous donne huit. Nous en avons donc cinq.

Eh bien, ce que nous essayons de faire, c'est de trouver la probabilité que la maison choisie au hasard ait un chat et un chien. Nous sommes donc intéressés par l'intersection. Donc, la probabilité de 𝐶 intersection 𝐷 va être égale à trois. Et cela signifie trois à l'intérieur de notre intersection ovale, puis le nombre total de maisons, qui est sept plus sept plus trois plus cinq, donc toutes nos sections additionnées, ce qui donne 22.

Eh bien, nous avons cela en fraction. Mais la question veut notre réponse au millième près. Nous pouvons donc calculer cela sous forme décimale. Et quand nous le faisons, nous découvrons que la probabilité qu'une maison choisie au hasard ait à la fois un chat et un chien est de 0.136 au millième près. Très bien, alors passons maintenant à la deuxième partie.

Donc, dans la deuxième partie, ce que nous essayons de faire, c'est de découvrir la probabilité qu'une maison ait un chat ou un chien ou les deux. Pour ce faire, nous utilisons une de nos règles de probabilité. Et cela nous dit que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵. Et nous l'utilisons car ils ne sont pas incompatibles. Donc, dans notre exemple, avoir un chat et un chien n’est pas exclu.

Donc, dans notre exemple, nous connaissons la probabilité d'un chat plus la probabilité d'un chien moins la probabilité d'un chat et d'un chien. Tout d'abord, nous avons la probabilité d'un chat, qui est de 10 sur 22. Ensuite, nous avons la probabilité d’un chien, qui est de huit sur 22. Et puis nous soustrayons la probabilité d’un chat et d’un chien, que nous avons déjà établie comme étant trois sur 22. Eh bien, cela va nous donner 15 sur 22. Mais encore une fois, nous voulons que ce soit un nombre décimal au millième près. Par conséquent, nous pouvons dire que la probabilité qu'une maison dans la rue ait un chat ou un chien ou les deux est de 0.682 au millième près. Très bien, alors passons maintenant à la troisième partie.

Si une maison dans la rue a un chat, calculez la probabilité qu'un chien y habite aussi.

Donc, si nous regardons le diagramme de Venn, nous avons une maison dans la rue avec un chat. Voilà donc notre condition qui a été mise en place. Donc, j'ai dessiné un cercle rose autour de chat. Nous avons donc sept et trois parce que nous avons la partie qui est juste les maisons avec un chat et ensuite la partie qui représente les maisons avec un chat et un chien.

Alors maintenant, ce que nous regardons n'est qu'un échantillon de 10 maisons parce que c'est tout dans ce cercle. Eh bien, alors on nous dit de trouver quelle est la probabilité qu'il y ait aussi un chien qui y habite. Eh bien, c'est l'intersection parce que c'est la partie où nous avons un chien ainsi qu'un chat, donc les trois ici. La façon dont nous écrivions cela en utilisant la notation est la probabilité, puis nous avons un chien donné, et c'est ce que signifie la ligne verticale, qu'il y a un chat. Et cela est égal à trois sur 10, car c'est trois sur le plus petit échantillon que nous examinons maintenant.

Et puis, conformément au reste du problème, ce que nous allons faire, c'est transformer cela en nombre décimal. On peut donc dire que si une maison dans la rue a un chat, alors la probabilité qu'il y ait aussi un chien qui y vit est de 0.3.

Donc, ce que nous avons fait ici est de calculer une probabilité conditionnelle, et nous l'avons fait en utilisant des diagrammes de Venn. Mais il existe une autre méthode de calcul de la probabilité conditionnelle, qui utilise une formule. Et cette formule de probabilité conditionnelle déclare que la probabilité de 𝐴 sachant 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵 sur la probabilité de 𝐵. Alors maintenant, ce que nous allons faire, c'est que nous allons jeter un œil à un autre exemple qui utilise cela. Et encore une fois, cela impliquera un chat, un chien et une maison.

Dans une rue, il y a 25 maisons, dont 12 ont un chat et quatre ont à la fois un chat et un chien. Si une maison a un chat, quelle est la probabilité qu'un chien y habite aussi ? Donnez votre réponse au millième près.

Ainsi, afin de déterminer la probabilité qu'une maison avec un chat ait également un chien, nous pouvons utiliser la formule de probabilité conditionnelle. Donc, ce que la formule de probabilité conditionnelle nous dit, c'est que la probabilité de 𝐴 sachant 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵, soit 𝐴 et 𝐵, divisée par la probabilité de 𝐵. Donc, dans notre scénario, la probabilité qu'un chien habite dans une maison étant donné qu'un chat y vit également est égale à la probabilité qu'un chien et un chat vivent à la maison divisée par la probabilité qu'un chat vive à la maison.

Donc, tout d'abord, ce que nous pouvons déterminer, c'est quelle est la probabilité qu'un chat soit à la maison. Eh bien, s'il y a 25 maisons au total et 12 ont un chat, alors la probabilité qu'un chat habite à la maison est de 12 sur 25. Et la probabilité qu'un chien et un chat vivent à la maison sera égale à. Eh bien, nous pouvons voir qu'il y en a quatre qui ont à la fois un chat et un chien. Et il y a encore un total de 25 maisons. Donc ça va nous donner une probabilité de quatre sur 25.

Très bien, nous avons maintenant les deux morceaux dont nous avons besoin pour utiliser notre formule de probabilité conditionnelle. Alors maintenant, allons-y et utilisons-la. Eh bien, si nous le faisons, ce que nous allons obtenir, c'est quatre sur 25 divisé par 12 sur 25, c'est la probabilité qu'un chien soit dans une maison étant donné qu'il y a un chat là-bas. Eh bien, nous savons d'après les règles de division des fractions que si nous avons une fraction divisée par une autre fraction, c'est la même chose qu'une fraction multipliée par l'inverse de la seconde fraction. Nous retournons donc la deuxième fraction.

Eh bien, alors ce que nous pouvons faire est de diviser le numérateur et le dénominateur par 25 afin de pouvoir procéder à des éliminations. Nous avons donc quatre multiplié par un sur un multiplié par 12, ce qui va donner quatre douzièmes. Ensuite, si nous divisons à la fois le numérateur et le dénominateur par quatre, nous allons obtenir un tiers. Eh bien, nous voulons la réponse au millième près, pas sous forme de fraction. Donc, ce que nous pouvons faire, c'est écrire ce que cela donne. Eh bien, nous pourrions utiliser une calculatrice et faire un divisé par trois. Cependant, il faut savoir qu'un tiers correspond à 0.3 à l’infini. Et cela nous donne 0.333, et cela fait trois décimales. Donc, ce que cela nous dit, c'est que si une maison a un chat, la probabilité qu'il y ait aussi un chien qui y vit est de 0.333.

Alors maintenant, nous avons examiné quelques exemples, y compris celui-ci, qui incluent la formule de probabilité conditionnelle. Ce que nous allons maintenant examiner est un exemple où nous pouvons déterminer si deux évènements sont indépendants en utilisant la probabilité conditionnelle.

Supposons que la probabilité que l'évènement 𝐴 se produise est égale à deux cinquièmes et que la probabilité de l'évènement 𝐵 soit égale à trois septièmes. La probabilité que l'évènement 𝐴 se produise et que l'évènement 𝐵 se produise également est d'un cinquième. Calculez la probabilité de 𝐴 sachant 𝐵, puis évaluez si les évènements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants.

Donc, pour résoudre la première partie de ce problème, nous pouvons utiliser la formule de probabilité conditionnelle. Donc, pour l'utiliser, nous allons remplacer les valeurs que nous connaissons. Donc tout d'abord, nous savons que la probabilité de 𝐴 et 𝐵 est un cinquième. Et puis cela va être divisé par la probabilité de 𝐵, qui est de trois septièmes, ce qui si nous utilisons nos règles pour les fractions est pareil qu'un cinquième multiplié par sept tiers.

Donc, pour calculer ce que ça va être, nous multiplions les numérateurs et les dénominateurs, ce qui nous donne sept quinzièmes. Ainsi donc, nous pouvons dire que la probabilité de 𝐴 sachant 𝐵 est de sept quinzièmes.

Maintenant, pour la deuxième partie de la question, on nous demande de déterminer s'ils sont indépendants. Eh bien, si les évènements 𝐴 et 𝐵 sont indépendants, la probabilité de 𝐴 sachant 𝐵 va être égale à la probabilité de 𝐴. Eh bien, la probabilité de 𝐴 est égale à deux cinquièmes. Eh bien, pour comparer cela avec la probabilité de 𝐴 sachant 𝐵, nous allons convertir cela en quinzièmes. Pour ce faire, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par trois. Cela nous donne donc six quinzièmes. Donc, comme six quinzièmes n'est pas égal à sept quinzièmes, les évènements 𝐴 et 𝐵 ne sont pas indépendants.

D'accord, très bien, nous avons donc examiné un certain nombre d'exemples différents. Voyons maintenant les points clés de la leçon. Donc tout d'abord, si la probabilité d'un évènement 𝐵 est affectée par la réalisation d'un évènement 𝐴, alors on dit que la probabilité de 𝐵 est conditionnelle à la réalisation de 𝐴. Et nous utilisons la notation comme celle-ci, et cela signifie la probabilité de 𝐵 sachant 𝐴.

Ensuite, nous avons quelques règles générales de probabilité. Et c'est que la probabilité qu'un évènement se produise est comprise entre zéro et un. La somme des probabilités de tous les résultats possibles est égale à un. Et puis aussi nous avons la probabilité du complémentaire d’un évènement 𝐴, donc non 𝐴, est égal à un moins la probabilité de 𝐴. Et puis pour calculer la probabilité conditionnelle, nous pouvons utiliser des diagrammes de Venn. Nous pouvons utiliser la formule que nous avons ici, qui est la probabilité de 𝐴 sachant 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 intersection 𝐵 sur la probabilité de 𝐵. Ou nous pourrions utiliser des arbres pondérés, que nous avons traités dans une autre leçon.

Et puis, enfin, nous pouvons dire que 𝐴 et 𝐵 sont indépendants si la probabilité de 𝐴 sachant 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 et la probabilité de 𝐵 sachant 𝐴 est égale à la probabilité de 𝐵.