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Vidéo de question : Calcul du produit vectoriel de deux vecteurs illustrés sur un quadrillage Physique

La figure illustre deux vecteurs, 𝐀 et 𝐁. Chacun des carreaux du quadrillage sur la figure a une longueur de côté de 1. Calculez 𝐀 × 𝐁.

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Transcription de vidéo

La figure illustre deux vecteurs, 𝐀 et 𝐁. Chacun des carreaux du quadrillage sur le figure a une longueur de côté de un. Calculez le produit vectoriel de 𝐀 croix 𝐁.

Alors, il s’agit donc d’une question sur les produits vectoriels. Nous avons une figure illustrant deux vecteurs, qui sont nommés 𝐀 et 𝐁. On nous dit que chacun des carreaux du quadrillage a une longueur de côté de un. On nous demande de calculer le produit vectoriel de 𝐀 croix 𝐁. Commençons par écrire les vecteurs en fonction de leurs composantes. Pour ce faire, nous devons trouver les composantes 𝑥 et 𝑦 de chaque vecteur en nous servant de la figure. Nous allons ajouter un axe 𝑥 et un axe 𝑦 à cette figure pour rendre ce processus un peu plus clair. Nous voyons que le vecteur 𝐀 s’étend sur deux unités positives dans la direction 𝑥 et sur six unités positives dans la direction 𝑦.

Maintenant, rappelons-nous que le vecteur unitaire dans la direction 𝑥 s’appelle 𝐢 et le vecteur unitaire dans la direction 𝑦 s’appelle 𝐣. On peut donc écrire le vecteur 𝐀 comme sa composante 𝑥, qui est de deux, multipliée par 𝐢 plus sa composante 𝑦, qui est de six, multipliée par 𝐣. Pour le vecteur 𝐁, nous voyons qu’il s’étend sur cinq unités positives dans la direction 𝑥 et sur une unité positive dans la direction 𝑦. On peut donc écrire que le vecteur 𝐁 est égal à sa composante 𝑥, cinq fois 𝐢, plus sa composante 𝑦, un fois 𝐣.

Nous avons maintenant des expressions pour le vecteur 𝐀 et le vecteur 𝐁 en fonction de leurs composantes. La question nous demande de calculer le produit vectoriel de 𝐀 croix 𝐁. Rappelons donc la définition du produit vectoriel de deux vecteurs. Nous allons définir deux vecteurs généraux qui se trouvent dans le plan 𝑥𝑦. Et nous nommerons ces vecteurs 𝐚 minuscule et 𝐛 minuscule, où nous utilisons les lettres minuscules pour distinguer ce cas général de nos deux vecteurs spécifiques à la question. Nous pouvons écrire ces vecteurs généraux en fonction de leurs composantes, en nommant les composantes 𝑥 avec un indice 𝑥 et les composantes 𝑦 avec un indice 𝑦.

Ensuite, le produit vectoriel de 𝐀 croix 𝐁 est défini comme la composante 𝑥 de 𝐚 multipliée par la composante 𝑦 de 𝐛 moins la composante 𝑦 de 𝐚 multipliée par la composante 𝑥 de 𝐛. Et tout cela est multiplié par 𝐤, qui est le vecteur unitaire dans la direction 𝑧. Nous pouvons utiliser cette définition pour calculer le produit vectoriel des deux vecteurs de la question, grand 𝐀 et grand 𝐁.

Nous voulons calculer le produit vectoriel de 𝐀 croix 𝐁. En utilisant notre expression générale pour le produit vectoriel, nous voyons que le premier terme nous dit que nous avons besoin de la composante 𝑥 de 𝐀, qui est de deux, multipliée par la composante 𝑦 de 𝐁, qui vaut un. Et à partir de ce premier terme, nous soustrayons ensuite un deuxième terme. En regardant à nouveau notre expression générale pour le produit vectoriel, nous voyons que pour le deuxième terme, nous avons besoin de la composante 𝑦 du vecteur 𝐀, qui est de six, multipliée par la composante 𝑥 du vecteur 𝐁, qui est de cinq. Et enfin, nous voyons que nous devons multiplier tout cela par 𝐤, le vecteur unitaire dans la direction 𝑧.

Tout ce qui reste à faire est d’évaluer cette expression ici. Si nous faisons les multiplications, nous voyons que le premier terme, deux multiplié par un, nous donne deux et le deuxième terme, six multiplié par cinq, nous donne 30. Enfin, en soustrayant 30 de deux, nous obtenons notre réponse à la question que le produit vectoriel de 𝐀 croix 𝐁 est égal à moins 28𝐤.

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