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Vidéo de question : Dériver une combinaison de fonctions polynomiales à l’aide de la règle de produit Mathématiques

Évaluez d𝑦 / d𝑥 en 𝑥 = 1 pour 𝑦 = (6𝑥² - 2𝑥 - 3)⁻³ (𝑥² - 2)⁵.

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Transcription de vidéo

Évaluez d𝑦 sur d𝑥 en 𝑥 égale un pour 𝑦 égale six 𝑥 carré moins deux 𝑥 moins trois à la puissance moins trois multiplié par 𝑥 carré moins deux à la puissance cinq.

La première chose à faire est donc de déterminer d𝑦 sur d𝑥 en dérivant notre fonction. Nous évaluerons alors ce que nous obtiendrons en 𝑥 égale un. Nous voulons donc dériver notre fonction 𝑦. Nous pouvons voir que 𝑦 consiste en deux fonctions multipliées ensemble. Il s’agit un produit, nous utilisons donc la règle du produit. Rappelons la règle du produit. La règle du produit dit que si 𝑦 égale 𝑢𝑣, alors d𝑦 sur d𝑥 égale 𝑢 d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 d𝑢 sur d𝑥.

Ainsi, pour notre question, notre 𝑢 sera six 𝑥 au carré moins deux 𝑥 moins trois à la puissance moins trois. Notre 𝑣 sera 𝑥 au carré moins deux à la puissance cinq. Nous pouvons voir à partir de la règle du produit que nous allons avoir besoin de d𝑣 sur d𝑥 et de d𝑢 sur d𝑥. Alors, allons-y et calculons d𝑢 sur d𝑥. Puisque 𝑢 est une fonction d’une fonction, nous allons avoir besoin de la règle de dérivation en chaîne. Alors, rappelons-nous d’abord de la règle de dérivation en chaîne. La règle de dérivation en chaîne dit que si 𝑢 égale 𝑓 de 𝑎 et 𝑎 égale 𝑔 de 𝑥, alors d𝑢 sur d𝑥 égale d𝑢 sur d𝑎 multiplié par d𝑎 sur d𝑥. Appliquons donc cela à notre fonction 𝑢.

Nous avons donc 𝑎 égale six 𝑥 au carré moins deux 𝑥 moins trois. Cela se dérive par rapport à 𝑥 pour obtenir d𝑎 sur d𝑥 égale 12𝑥 moins deux. Nous l’avons obtenu en multipliant le coefficient six par la puissance deux, puis en soustrayant un de la puissance pour obtenir 12𝑥. Le deux 𝑥 se dérive pour nous donner deux. Puis, le trois est juste une constante. Puisque nous avons dit que 𝑎 égale six 𝑥 au carré moins deux 𝑥 moins trois, nous avons 𝑢 égale 𝑎 à la puissance moins trois. Ainsi, d𝑢 sur d𝑎 égale moins trois 𝑎 à la puissance moins quatre.

Ainsi, en appliquant la règle de dérivation en chaîne, nous avons d𝑢 sur d𝑥 égale moins trois 𝑎 à la puissance moins quatre multiplié par 12𝑥 moins deux. Rappelez-vous, nous avons défini 𝑎 comme étant six 𝑥 au carré moins deux 𝑥 moins trois. Ainsi, en remplaçant 𝑎, nous obtenons moins trois multiplié par six 𝑥 au carré moins deux 𝑥 moins trois à la puissance moins quatre multiplié par 12𝑥 moins deux. Cela nous donne donc d𝑢 sur d𝑥. Maintenant, nous avons aussi besoin de d𝑣 sur d𝑥. Encore une fois, 𝑣 est une fonction d’une fonction. Nous allons donc encore avoir de besoin de la règle de dérivation en chaîne.

Ici, nous avons 𝑎 égale 𝑥 au carré moins deux, de sorte que d𝑎 sur d𝑥 égale deux 𝑥. Puisque nous avons défini 𝑎 égale 𝑥 au carré moins deux, nous avons 𝑣 égale 𝑎 à la puissance cinq, de sorte que d𝑣 sur d𝑎 égale cinq 𝑎 à la puissance quatre. Puis, en appliquant la règle de dérivation en chaîne, nous obtenons d𝑣 sur d𝑥 est égal à cinq 𝑎 à la puissance quatre multiplié par deux 𝑥. Rappelez-vous, encore une fois, nous avons défini 𝑎 égale 𝑥 au carré moins deux. Nous pouvons donc remplacer 𝑎 dans cette expression, ce qui nous donne cinq multiplié par 𝑥 au carré moins deux à la puissance quatre multiplié par deux 𝑥. Nous pouvons multiplier ensemble le cinq et le deux 𝑥 pour simplifier cela un peu. Cela nous donne donc 10𝑥 multiplié par 𝑥 au carré moins deux à la puissance quatre.

A présent, nous avons d𝑢 sur d𝑥 et d𝑣 sur d𝑥. Nous pouvons donc appliquer la règle du produit. Alors,, nous allons juste faire un peu de place ici. Bien, l’application de la règle du produit nous donne ce résultat. Ceci est donc d𝑦 sur d𝑥. Cependant, rappelez-vous, dans la question, on nous a demandé d’évaluer d𝑦 sur d𝑥 en 𝑥 égale un. Cela signifie que nous devons remplacer par 𝑥 égale un dans notre dérivée première. Une fois que nous avons substitué par un, nous pouvons arranger un peu notre réponse. Un à la puissance moins trois égale un. Moins un à la puissance quatre est également un.

Cela est donc juste un fois 10 fois un. Cela nous donne donc 10. Moins un à la puissance cinq égale moins un. Un à la puissance moins quatre égale un. Ceci est donc moins un fois moins trois fois 10, soit 30. Nous avons donc 10 plus 30, ce qui nous donne 40. Nous avons donc dérivé notre fonction en combinant la règle de dérivation en chaîne et la règle du produit. Puis, nous avons évalué notre dérivée première au point 𝑥 égale un pour obtenir notre réponse finale de 40.

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