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Vidéo de question : Calculer la masse d’un corps situé au centre d’une orbite Physique

Io est l’une des quatre lunes galiléennes de Jupiter. Io fait un tour complet de son orbite autour de Jupiter en 1,77 jours. En supposant que l’orbite d’Io soit circulaire avec un rayon de 422 000 km, calcule la masse de Jupiter. On utilisera une valeur de 6,67 × 10⁻¹¹ m³ / kg ⋅ s² pour la constante universelle de gravité. On donnera la réponse en écriture scientifique à deux décimales près.

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Transcription de vidéo

IO est l’une des quatre lunes galiléennes de Jupiter. IO fait un tour complet de son orbite autour de Jupiter en 1,77 jours. En supposant que l’orbite d’IO soit circulaire avec un rayon de 422 000 kilomètres, calcule la masse de Jupiter. On utilisera une valeur de 6,67 fois 10 puissance moins 11 mètres cubes par kilogramme seconde au carré pour la constante universelle de gravitation. On donnera la réponse en écriture scientifique à deux décimales près.

Alors, calculer la masse d’une planète peut sembler complexe. Mais il est possible de le faire en utilisant des calculs mathématiques assez simples que nous connaissons déjà. Commençons par rappeler la formule donnant la vitesse orbitale dans le cas particulier d’une orbite circulaire. 𝑣 est égal à la racine carrée de 𝐺𝑀 divisé par 𝑟, où 𝑣 est la vitesse orbitale. 𝐺 est la constante universelle de gravitation. 𝑀 est la masse du corps massif au centre de l’orbite. Dans notre cas, il s’agit de Jupiter. Et 𝑟 est le rayon orbital, qui est la distance entre les centres de gravité de Jupiter et d’IO.

Comme nous voulons déterminer la masse de Jupiter, il faut exprimer 𝑀 en fonction des autres grandeurs. Tout d’abord, nous allons mettre les deux côtés au carré pour faire disparaître le racine où se trouve 𝑀. Et puis nous allons multiplier les deux côtés par 𝑟 divisé par 𝐺. Et maintenant, après simplification, 𝑀 est égal à 𝑟𝑣 au carré divisé par 𝐺. Alors, on nous donne les valeurs de 𝑟 et 𝐺, mais nous ne savons pas encore quelle est la valeur de 𝑣, nous devons donc la calculer.

Pour cela rappelons-nous que la vitesse est simplement une distance parcourue pendant un certain temps. Nous connaissons le temps nécessaire à IO pour parcourir une orbite complète. C’est sa période orbitale, représentée par grand 𝑇. Comme on suppose que l’orbite est circulaire et que nous connaissons le rayon de ce cercle, nous pouvons calculer la circonférence de la trajectoire parcourue par IO. Donc, la distance parcourue est la circonférence du cercle, soit deux 𝜋𝑟.

Mais pour calculer 𝑣, nous devons d’abord exprimer 𝑟 et 𝑇 en unités de base SI. Rappelons qu’un kilomètre équivaut à 1000 mètres. Donc 𝑟 est égal à 422 millions de mètres, soit 4,22 fois 10 puissance huit mètres. Et pour convertir 𝑇 de jours en secondes, rappelons-nous qu’il y a 60 secondes dans une minute, 60 minutes dans une heure et 24 heures dans un jour. Donc, en simplifiant les unités et en multipliant tout cela, nous pouvons déterminer que la période orbitale d’IO est de 1,53 fois 10 puissance cinq secondes.

Alors, en remplaçant ces valeurs dans l’expression de 𝑣, nous obtenons que 𝑣 est égal à deux 𝜋 fois 4,22 fois 10 puissance huit mètres divisés par 1,53 fois 10 puissance cinq secondes. La vitesse orbitale d’IO est donc égale à 1,73 fois 10 puissance quatre mètres par seconde. Et maintenant, nous sommes prêts à calculer la masse de Jupiter. Recopions la formule ci-dessous et remplaçons les valeurs de 𝑟, 𝑣 et 𝐺. Donc 𝑀 est égale à 4,22 fois 10 puissance huit mètres fois 1,73 fois 10 puissance quatre mètres par seconde divisée par 6,67 fois 10 puissance moins 11 mètres cubes par kilogramme seconde au carré.

Et en écriture scientifique à deux décimales près, nous obtenons que la masse de Jupiter est égale à 1,90 fois 10 puissance 27 kilogrammes.

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