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Vidéo de question : Calcul du pouvoir dispersif à partir des angles de déviation Physique

La lumière blanche dispersée par un prisme a des longueurs d’onde allant de 400 nm à 700 nm. La lumière à une longueur d’onde de 400 nm a un angle de déviation minimum de 22,9°. La lumière de longueur d’onde de 700 nm a un angle de déviation minimum de 22,1°, et la lumière de longueur d’onde 550 nm a un angle de déviation minimum de 22,5°. Quel est le pouvoir dispersif du prisme ? Donnez votre réponse arrondie à trois décimales près.

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Transcription de vidéo

La lumière blanche dispersée par un prisme a des longueurs d’onde allant de 400 nanomètres à 700 nanomètres. La lumière à une longueur d’onde de 400 nanomètres a un angle de déviation minimum de 22,9°. La lumière de longueur d’onde de 700 nanomètres a un angle de déviation minimum de 22,1°. Et la lumière de longueur d’onde 550 nanomètres a un angle de déviation minimum de 22,5°. Quel est le pouvoir dispersif du prisme ? Donnez votre réponse arrondie à trois décimales près.

Donc, dans cette question, nous avons un prisme, que nous allons représenter par ce triangle. La lumière blanche pénètre dans ce prisme et est dispersée parce que les différentes longueurs d’onde qui la composent sont déviées par des quantités différentes lorsqu’elles traversent le prisme. Par exemple, nous voyons que la lumière rouge, qui est la lumière avec une plus grande longueur d’onde, est beaucoup moins déviée que la lumière bleue, qui a une longueur d’onde beaucoup plus courte.

Le pouvoir dispersif d’un prisme est un nombre qui nous indique à quel point le prisme répand la lumière blanche, et c’est exactement ce qu’on nous demande de calculer dans cette question. Plus le pouvoir dispersif du prisme est grand, plus le prisme disperse la lumière blanche. Nous représentons le pouvoir dispersif d’un prisme avec la lettre grecque 𝜔, ainsi qu’un indice 𝛼. Nous mettons un 𝛼 dans l’indice parce que 𝛼 est le symbole que nous utilisons habituellement pour désigner l’angle de déviation pour une longueur d’onde particulière.

Si nous dessinons une ligne pointillée pour montrer la direction dans laquelle la lumière blanche se déplaçait lorsqu’elle est entrée dans le prisme, alors l’angle de déviation pour une longueur d’onde donnée est l’angle entre cette ligne en pointillé et la direction dans laquelle la longueur d’onde de la lumière se déplace lorsqu’elle quitte le prisme. Par exemple, l’angle de déviation pour la lumière rouge est indiqué ici. Et nous pouvons écrire cet angle 𝛼 indice rouge. Nous pouvons également voir que l’angle de déviation pour la lumière bleue est beaucoup plus grand. Et nous pouvons écrire cet angle 𝛼 indice bleu.

Rappelons maintenant la formule qui nous permet de calculer le pouvoir dispersif d’un prisme en utilisant les angles de déviation pour les différentes longueurs d’onde de la lumière passant à travers le prisme. Cette formule est écrite comme ceci et est souvent donnée en termes de symboles 𝛼 max et 𝛼 min, où 𝛼 max est le plus grand angle de déviation pour le prisme et 𝛼 min est le plus petit angle de déviation pour le prisme. En fonction de ces deux quantités, la formule du pouvoir dispersif d’un prisme est écrite sous la forme d’une fraction. Et au-dessus de cette fraction, nous avons 𝛼 max moins 𝛼 min. C’est donc la différence entre le plus grand angle de déviation et le plus petit angle de déviation. Et au bas de la fraction, nous avons 𝛼 max plus 𝛼 min, le tout divisé par deux, ce qui nous donne en fait l’angle moyen de déviation pour le prisme.

Donc, pour calculer le pouvoir dispersif de notre prisme, il suffit d’identifier 𝛼 max et 𝛼 min pour notre prisme, puis d’utiliser ces valeurs dans la formule de 𝜔 𝛼. La question nous dit que la longueur d’onde la plus longue passant par le prisme est de 700 nanomètres. Et on nous dit également que cette longueur d’onde aura un angle de déviation d’au moins 22,1 degrés. La lumière de 700 nanomètres correspond en fait à la lumière rouge. Et puisque nous savons que c’est la longueur d’onde la plus longue passant par le prisme, nous savons qu’elle sera déviée par la quantité la plus petite ou minimum.

C’est exactement ce que nous avons vu dans notre schéma original d’un prisme, et cela signifie que nous pouvons identifier l’angle de déviation minimum avec l’angle de déviation de la lumière rouge. Comme on nous donne cette valeur dans la question, on peut alors simplement écrire que 𝛼 min est égal à 22,1 degrés. On nous dit également que la lumière de longueur d’onde la plus courte traversant le prisme a une longueur d’onde de 400 nanomètres et que cette lumière aura un angle de déviation d’au moins 22,9 degrés. Cette longueur d’onde correspond à la lumière bleue. Et comme nous l’avons vu précédemment, la lumière bleue subira la déviation maximale de toutes les couleurs qui composent la lumière blanche.

Cela signifie que nous pouvons dire que l’angle de déviation maximum est le même que l’angle de déviation pour la lumière bleue. Et encore une fois, comme on nous donne cette valeur dans la question, nous pouvons dire que 𝛼 max est égal à 22,9 degrés. À ce stade, tout ce que nous devons faire est d’utiliser les valeurs que nous venons de trouver pour 𝛼 min et 𝛼 max dans la formule que nous avons pour le pouvoir dispersif 𝜔 𝛼. Cela nous donne cette formule ici. Au numérateur, nous avons 𝛼 max moins 𝛼 min, et cela donne 22,9 degrés moins 22,1 degrés. Et au dénominateur, nous avons 𝛼 max plus 𝛼 min divisé par deux, qui donne maintenant 22,9 degrés plus 22,1 degrés le tout divisé par deux.

Si nous calculons maintenant le haut et le bas de cette fraction séparément, nous constatons que 𝜔 𝛼 est égal à 0,8 degrés divisé par 22,5 degrés. Nous pouvons noter que le dénominateur de cette fraction de 22,5 degrés, que nous avons trouvé en calculant la valeur moyenne des angles de déviation du prisme, est également l’angle de déviation de la lumière d’une longueur d’onde de 550 nanomètres. Et on nous dit cela dans la question. En effet, 550 est la moyenne de 400 et 700 nanomètres. Et nous voyons donc que la moyenne des angles de déviation du prisme est la même chose que l’angle de déviation pour les longueurs d’onde moyennes de la lumière passant par le prisme. Et comme on nous a donné l’angle de déviation pour les longueurs d’onde moyennes de la lumière passant par le prisme, nous aurions pu utiliser cela pour aller plus vite et connaître le dénominateur de cette formule.

De toute façon, tout ce qui reste à faire maintenant est de calculer la fraction 0,8 degrés divisée par 22,5 degrés. Si nous effectuons ce calcul, nous constatons que 𝜔 𝛼 est égal à 0,0355…. Notez que ce nombre ne comporte aucune unité, car les degrés en haut et en bas de la fraction se simplifient. Enfin, nous avons juste besoin d’arrondir notre réponse à trois décimales près comme on nous dit dans la question. Cela nous donne notre réponse finale à la question. Nous avons donc trouvé que le pouvoir dispersif du prisme, 𝜔 α, est égal à 0,036.

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