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Vidéo de question : Calculer la distance entre un point et une droite Mathématiques

Soit 𝐿 la droite passant par le point (7, 5, 5) et de vecteur directeur (2, 4, -9). Calculez la distance entre 𝐿 et le point (2, 6, 6) au centième près.

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Transcription de vidéo

Soit 𝐿 la droite passant par le point sept, cinq, cinq et de vecteur directeur deux, quatre, moins neuf. Calculez la distance entre 𝐿 et le point deux, six, six au centième près.

Dans cet exemple, nous avons donc une droite 𝐿. Et il est indiqué que cette droite passe par le point sept, cinq, cinq et qu’elle est parallèle à un vecteur, que nous appellerons v, de composantes deux, quatre, moins neuf. Sachant cela, ainsi que les coordonnées d’un point dans l’espace que nous appellerons 𝑃, nous souhaitons calculer la distance perpendiculaire entre ce point 𝑃 et la droite. Et nous appellerons cette distance 𝑑.

Pour commencer, on rappelle que pour un point dans l’espace 𝑃 un, un point sur une droite 𝑃 deux et un vecteur parallèle à cette droite v, la distance perpendiculaire 𝑑 entre cette droite et le point dans l’espace est donnée par cette expression. Nous voyons qu’elle implique le vecteur v colinéaire à la droite étudiée, ainsi qu’un vecteur appelé P un P deux. C’est-à-dire le vecteur qui va du point dans l’espace au point sur la droite.

Si nous devions représenter ce vecteur pour cet exemple, il ressemblerait à ceci. Nous pouvons appeler ce vecteur 𝐏 𝐏𝐋. Il va du point 𝑃 à la droite. Et pour trouver les composantes de 𝐏 𝐏𝐋, il faut calculer la différence entre les coordonnées du point sur la droite et celles du point dans l’espace. En effectuant cette soustraction, on obtient cinq, moins un, moins un.

D’après la formule de 𝑑, la prochaine étape consiste maintenant à calculer le produit vectoriel de ce vecteur et d’un vecteur colinéaire à la droite. Nous allons donc calculer 𝐏 𝐏𝐋 vectoriel v, où v est ce vecteur. Ce produit vectoriel est égal au déterminant de cette matrice trois fois trois.

Notez que la première ligne est composée des vecteurs unitaires 𝐢, 𝐣 et 𝐤. Et que les deuxième et troisième lignes contiennent les composantes correspondantes des vecteurs 𝐏 𝐏𝐋 et v. En commençant par la composante en 𝐢, elle est égale au déterminant de cette matrice deux fois deux. Moins un fois moins neuf moins moins un fois quatre donne 13. Pour la composante en 𝐣, on a moins le déterminant de cette matrice deux fois deux, où cinq fois moins neuf moins moins un fois deux est égal à moins 43. Enfin, pour la composante en 𝐤, cinq fois quatre moins moins un fois deux égale 22. Il s’agit ainsi du produit vectoriel. Et nous pouvons l’écrire comme 13, 43, 22 en notation vectorielle.

Maintenant que nous avons calculé 𝐏 𝐏𝐋 vectoriel v, nous sommes prêts à calculer la norme de ce vecteur et à la diviser par la norme de v. Au numérateur, la norme de 𝐏 𝐏𝐋 vectoriel v est égale à racine carrée de 13 au carré plus 43 au carré plus 22 au carré, et au dénominateur, la norme de v est égale à racine carrée de deux au carré plus quatre au carré plus moins neuf au carré. En entrant la totalité de cette expression dans une calculatrice et en arrondissant au centième, on obtient 4,98.

Puisqu’il s’agit dune distance, cette valeur doit avoir une unité. Et comme les unités ne sont pas ici spécifiées, nous pouvons conclure que cette distance mesure 4,98 unités de longueur.

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