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Vidéo de question : Déterminer la mesure de l’angle au centre d’un arc étant donné le périmètre du secteur circulaire et le rayon du cercle Mathématiques

Le rayon d’un cercle est égal à 40 cm et le périmètre d’un secteur vaut 106 cm. Déterminez la mesure de l’angle au centre en degrés et à la seconde d’arc près, puis en radians au dixième près.

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Transcription de vidéo

Le rayon d’un cercle est égal à 40 centimètres et le périmètre d’un secteur vaut 106 centimètres. Déterminez la mesure de l’angle au centre en degrés et à la seconde d’arc près, puis en radians au dixième près.

Commençons par rappeler ce qu’est un secteur. Il fait partie du cercle délimité par un arc et deux rayons, qui relient les extrémités de cet arc au centre du cercle. Donc, cela ressemble à quelque chose comme ça. Nous avons l’arc et ensuite les deux rayons. On nous dit que le rayon de ce cercle est de 40 centimètres et que le périmètre de ce secteur, qui est la distance tout autour de son bord, est de 106 centimètres. Nous ne connaissons pas l’angle au centre de ce secteur. C’est l’angle entre les deux rayons. Et c’est ce que nous devons calculer en degrés et en radians.

Considérons d’abord ce problème en degrés. Maintenant, le périmètre de ce secteur, rappelez-vous, est la distance tout autour de son bord. Donc, si nous commençons au centre du cercle, c’est la longueur du rayon du cercle, la longueur de l’arc que nous notons souvent 𝑠, puis la longueur du rayon du cercle encore. Par conséquent, une formule que nous pouvons utiliser pour calculer le périmètre de ce secteur est le double du rayon plus 𝑠, la longueur de l’arc. La longueur de l’arc peut être trouvée en utilisant la formule deux 𝜋𝑟𝜃 sur 360. Cela vient de prendre la circonférence complète du cercle, deux 𝜋𝑟, et de la multiplier par la fraction 𝜃 sur 360, car l’arc ne représente qu’une partie de la circonférence complète.

Cette formule peut être factorisée par deux 𝑟 pour donner deux 𝑟 multiplié par un plus 𝜋𝜃 sur 360. Nous pouvons utiliser cette formule pour former une équation car nous connaissons le périmètre de ce secteur et nous connaissons également son rayon. Donc, en substituant 106 au périmètre et 40 au rayon 𝑟, nous avons 106 est égal à deux multiplié par 40 le tout multiplié par un plus 𝜋𝜃 sur 360. Et nous pouvons maintenant résoudre cette équation pour trouver la valeur de 𝜃. Deux multiplié par 40 est bien sûr 80. Et puis nous pouvons diviser les deux membres de l’équation par cette valeur pour donner 106 sur 80 est égal à un plus 𝜋𝜃 sur 360.

On peut alors soustraire un ou 80 sur 80 de chaque membre pour donner 106 sur 80 moins 80 sur 80 est égal à 𝜋𝜃 sur 360. 106 sur 80 moins 80 sur 80 est 26 sur 80. Et nous pouvons également simplifier sur le membre gauche un facteur de deux au numérateur et au dénominateur. Donc, nous avons 13 sur 40 est égal à 𝜋𝜃 sur 360. Pour trouver la valeur de 𝜃, nous devons diviser les deux membres de l’équation par 𝜋 sur 360, ce qui équivaut à multiplier les deux membres par son inverse de 360 sur 𝜋. Nous avons donc 𝜃 est égal à 13 sur 40 multiplié par 360 sur 𝜋. Nous pouvons déterminer cela à ce stade ou nous pouvons d’abord simplifier un facteur de 40 pour donner 13 sur un multiplié par neuf sur 𝜋. C’est 117 sur 𝜋. Et puis en utilisant une calculatrice, nous avons 37,2422 continue.

Maintenant, c’est une valeur en degrés. Et dans la question, on nous demande de donner notre réponse en degrés à la seconde près. Nous avons donc cette valeur de 37 degrés, puis une décimale de 0,2422, c’est ce que nous devons convertir en minutes et secondes. On peut rappeler qu’un degré équivaut à 60 minutes. Donc, en multipliant ce nombre décimal par 60, on obtient 14,35 et ainsi de suite. Nous avons donc 14 minutes entières et une décimale de 0,535 que nous devons convertir en secondes. Eh bien, une minute équivaut à 60 secondes. Donc, en multipliant ce nombre décimal par 60, on obtient 32,124, qui à l’entier près est 32. Nous avons donc 37 degrés, 14 minutes et 32 secondes. Et c’est donc notre réponse pour l’angle au centre 𝜃 en degrés donnée à la seconde près.

La question nous demande également de donner la réponse en radians au dixième près. Maintenant, nous pourrions convertir cette valeur donnée en degrés, minutes et secondes à une valeur en radians en rappelant la relation entre les deux mesures. Mais montrons également comment nous aborderions ce problème si nous utilisions les radians dès le début. Eh bien, le périmètre du secteur peut toujours être trouvé comme deux fois le rayon plus la longueur de l’arc 𝑠. Mais nous avons une formule différente pour la longueur de l’arc lorsque nous travaillons en radians. Pour un secteur avec un rayon de 𝑟 unités et un angle au centre de 𝜃 mesuré en radians, la longueur de l’arc est simplement égale à 𝑟𝜃. La formule du périmètre est alors deux 𝑟 plus 𝑟𝜃, qui peut être factorisé comme 𝑟 multiplié par deux plus 𝜃.

Nous pouvons donc former une équation beaucoup plus simple en radians. En substituant 𝑟 pour le rayon et 106 pour le périmètre, nous avons 40 multiplié par deux plus 𝜃 est égal à 106. En divisant chaque membre par 40, nous avons deux plus 𝜃 est égal à 106 sur 40. Donc 𝜃 est égal à 106 sur 40 moins deux. Soit 106 sur 40 moins 80 sur 40, ce qui se simplifie à 26 sur 40 ou 13 sur 20. C’est exactement égal à 0,65. Mais comme la question nous demande de donner notre réponse au dixième près, nous allons arrondir vers le haut à 0,7. Nous avons donc nos réponses en degrés et en radians. Mais vérifions simplement que ces deux valeurs sont bien équivalentes.

Nous savons que 𝜋 radians équivaut à 180 degrés. Et donc un degré équivaut à 𝜋 sur 180 radians. Si nous prenons notre réponse en degrés à ce stade ici, donc 117 sur 𝜋, et la multiplions par 𝜋 sur 180, cela la convertira de degrés en radians. Bien sûr, les facteurs de 𝜋 s’annuleront, en donnant 117 sur 180. Cela se simplifie à 13 sur 20, ce qui est égal à notre valeur exacte de 𝜃 en radians.

Notre réponse au problème est alors que l’angle au centre en degrés à la seconde près est de 37 degrés, 14 minutes et 32 secondes, et en radians au dixième près est de 0,7 radians.

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