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Vidéo de question : Déterminer, si elle existe, la limite à gauche en un point d’une fonction à partir de sa courbe représentative Mathématiques

Déterminez lim_ (𝑥 → −4⁻) 𝑓 (𝑥) si elle existe.

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Transcription de vidéo

Déterminez la limite lorsque 𝑥 tend moins quatre vers la gauche de 𝑓 de 𝑥, si elle existe.

On nous donne la courbe représentative de la fonction 𝑓 de 𝑥. Nous devons utiliser cette courbe pour déterminer si la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins quatre vers la gauche existe. Si elle existe, nous devons déterminer la valeur de cette limite. Commençons par rappeler la définition de la limite de la fonction 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins quatre vers la gauche. Il s’agit de la valeur de la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins quatre et que 𝑥 est inférieur à moins quatre. Il faut rappeler que parfois 𝑓 de 𝑥 ne tend pas vers une valeur en particulier.

La fonction 𝑓 de 𝑥 peut par exemple prendre des valeurs de plus en plus grandes et être toujours supérieure à toute valeur fixée. Elle peut également prendre des valeurs de plus en plus petites et être toujours inférieure à toute valeur fixée Elle pourrait aussi osciller entre plusieurs valeurs sans jamais se rapprocher d’une valeur en particulier. Dans tous les cas évoqués, la limite n’est pas définie de cette manière. On dit simplement que la limite n’existe pas. Cependant, pour vérifier si la limite existe, il faut utiliser cette définition. Nous cherchons ce qui se passe lorsque la valeur 𝑥 se rapproche de plus en plus de moins quatre vers la gauche. La valeur de x sera donc inférieure à moins quatre et nous voulons voir ce qui arrive à 𝑓 de 𝑥 dans ce cas-là.

Rappelons que les valeurs d’entrée de la fonction se trouvent sur l’axe des 𝑥. Puisque nous voulons savoir ce qui arrive à la fonction 𝑓 de 𝑥 autour de moins quatre, repérons la valeur 𝑥 égal à moins quatre sur le graphique. Rappelons-le, nous cherchons ce qui arrive à la fonction lorsque 𝑥 s’approche de moins quatre vers la gauche. Les valeurs de 𝑥 seront donc toutes inférieures à moins quatre. Nous pouvons tout de suite voir plusieurs points intéressants. D’abord, la fonction n’est pas définie lorsque 𝑥 est inférieur à moins six. Nous devrons donc choisir des valeurs de 𝑥 supérieures à moins six et inférieures à moins quatre.

Commençons par 𝑥 égal à moins six. Nous pouvons voir sur le graphique que 𝑓 de moins six est égal à huit. Nous pouvons faire la même chose lorsque 𝑥 est égal à moins cinq. La valeur de 𝑓 en moins cinq est égal à trois. Nous pouvons ensuite regarder d’autres points qui se rapprochent de plus en plus de moins quatre. Nous pouvons voir que plus les valeurs de 𝑥 se rapprochent de moins quatre, plus la valeur de la fonction se rapproche de moins deux.

Cependant, il y a encore un point gênant. Lorsque 𝑥 est égal à moins quatre, 𝑓 de 𝑥 n’est pas égale à moins deux. En fait, elle est égale à moins quatre. En réalité, la valeur de 𝑓 en moins quatre n’a pas d’importance. Ceci, parce que nous nous intéressons à ce qui se passe lorsque 𝑥 tend vers moins quatre. C’est-à-dire lorsque 𝑥 se rapproche de plus en plus de moins quatre. Ainsi, la valeur de 𝑥 n’est jamais égale à moins quatre.

Puisque nous avons montré que lorsque 𝑥 se rapproche de plus en plus de moins quatre vers la gauche, 𝑓 de 𝑥 se rapproche de plus en plus de moins deux, nous pouvons donc conclure que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins quatre vers la gauche est égal à moins deux.

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