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Vidéo de question : Utilisation du théorème fondamental de l’analyse Mathématiques

Une particule se déplaçant de manière rectiligne accélère avec un taux de 2𝑡 + 7 m/s² après 𝑡 secondes. Si 𝑣(0) = −8 m/s, alors combien de temps lui faut-il pour que sa vitesse atteigne 50 m/s? Donnez votre réponse au centième près.

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Transcription de vidéo

Une particule accélère avec un taux de deux 𝑡 plus sept mètres par seconde au carré après 𝑡 secondes de mouvement. Si 𝑣 de zéro est égale à moins huit mètres par seconde, au bout de combien de temps la vitesse atteindra-t-elle 50 mètres par seconde ? Donnez votre réponse au centième près.

D’après l’énoncé, une particule accélère avec un taux de deux 𝑡 plus sept mètres par seconde au carré. On sait que 𝑣 de zéro est égal à moins huit mètres par seconde. Cela signifie que la vitesse initiale de la particule est de moins huit mètres par seconde. On nous demande d’utiliser cette information pour trouver en combien de temps la vitesse de la particule atteindra 50 mètres par seconde. Il faut donner la réponse au centième près.

Tout d’abord, on sait que la fonction d’accélération de la particule est deux 𝑡 plus sept. On demande le temps nécessaire pour que la particule atteigne une certaine vitesse. On veut donc trouver l’équation de la vitesse de la particule. Pour ce faire, rappelons que l’accélération d’une particule est égale au taux de variation de la vitesse en fonction du temps. La réciproque de cette affirmation est également vraie. La vitesse de la particule est égale à la primitive de l’accélération par rapport au temps. C’est le cas à une constante près.

En utilisant cela, on obtient que la vitesse de la particule après 𝑡 secondes est égale à la primitive de deux 𝑡 plus sept d𝑡. On peut calculer cette primitive en utilisant la règle d’intégration d’une puissance, pour les constantes 𝑎 et 𝑛, où 𝑛 est différent de moins un. Pour intégrer 𝑘 fois 𝑡 puissance 𝑛 par rapport à 𝑡, on ajoute un à l’exposant, puis on divise par ce nouvel exposant. Ensuite, on ajoute la constante d’intégration. Il est pratique de voir la constante sept comme étant sept fois 𝑡 puissance zéro. En appliquant la formule de la primitive d’une puissance à chaque terme de l’intégrande, on trouve deux 𝑡 au carré sur deux plus sept 𝑡 sur un plus 𝑐.

On peut simplifier. Deux divisé par deux est égal à un, et sept divisé par un est égal à sept. On a donc montré que la vitesse de la particule est égale à 𝑡 au carré plus sept 𝑡 plus 𝑐. Il s’agit d’une solution générale parce qu’on ne connaît pas la valeur de la constante 𝑐. Mais ici, on peut trouver la valeur de 𝑐. L’énoncé précise que 𝑣 de zéro est égal à moins huit mètres par seconde. Autrement dit, si on remplace 𝑡 par zéro dans la fonction vitesse, on obtient le résultat moins huit.

Remplaçons 𝑡 par zéro dans l’équation de la vitesse, on obtient moins huit égale zéro au carré plus sept fois zéro plus 𝑐. Or, on voit que zéro au carré et sept fois zéro sont tous deux égaux à zéro. On a donc montré que 𝑐 est égal à moins huit. Ensuite, en utilisant cette valeur de 𝑐 dans la solution générale de la fonction vitesse, on obtient que 𝑣 de 𝑡 est égal à 𝑡 au carré plus sept 𝑡 moins huit. Et cette fonction indique la vitesse de la particule après 𝑡 secondes. Et on nous demande de trouver la valeur de 𝑡 pour laquelle la vitesse de la particule est égale à 50 mètres par seconde. Il s’agit donc de trouver pour quelle valeur de 𝑡 la fonction vitesse est égale à 50.

Nous cherchons donc les valeurs de 𝑡 pour lesquelles 50 est égal à 𝑡 au carré plus sept 𝑡 moins huit, car la vitesse de la particule sera alors de 50 mètres par seconde. On peut ensuite soustraire 50 de chaque membre de cette équation. On obtient l’équation du second degré zéro égale 𝑡 au carré plus sept 𝑡 moins 58. On peut résoudre cette équation en utilisant la formule des racines du second degré ou simplement une calculatrice. On trouve les deux réponses suivantes, au centième près, 4,88 et moins 11,88.

Mais rappelez-vous : on sait que la fonction d’accélération est valable après 𝑡 secondes. Ça veut dire que 𝑡 est supérieur ou égal à zéro, on ne peut donc pas avoir une valeur négative de 𝑡. Par conséquent, la réponse est 4,88. Toutes les unités sont données en mètres et en secondes. Donc, puisque ça représente simplement le temps nécessaire pour atteindre une vitesse de 50 mètres par seconde, l’unité est donc les secondes.

Nous avons donc montré que si une particule accélère avec un taux de deux 𝑡 plus sept mètres par seconde au carré après 𝑡 secondes Et que la vitesse initiale de la particule est de moins huit mètres par seconde, alors, au centième près, il faudra à la particule 4,88 secondes pour atteindre une vitesse de 50 mètres par seconde.

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