Transcription de la vidéo
Utilisez les déterminants pour trouver le rang de la matrice des coefficients du système d'équations suivant : sept 𝑥 plus deux 𝑦 égale moins deux et deux 𝑥 plus cinq 𝑦 égale moins neuf.
Nous allons commencer par écrire le système d'équations donné sous forme de matrice. Si nous avons deux équations à deux inconnues comme dans ce cas, nous commençons par une matrice de coefficients deux fois deux 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Elle est multipliée par une matrice de variables deux fois un 𝑥, 𝑦, où 𝑥 et 𝑦 sont les inconnues des équations. Le produit de celles-ci est égal à la matrice des constantes deux fois un 𝑒, 𝑓, où 𝑒 et 𝑓 sont les valeurs des membres de droite dans les deux équations.
Dans cette question, nous avons la matrice des coefficients sept, deux, deux, cinq. En multipliant celle-ci par la matrice colonne des variables 𝑥, 𝑦, nous obtenons la matrice colonne des constantes moins deux, moins neuf. On nous demande de trouver le rang de la matrice des coefficients en utilisant les déterminants. Nous rappelons que le rang d'une matrice 𝐴, noté 𝑅g de 𝐴, est le nombre de lignes ou de colonnes 𝑛, de la plus grande sous-matrice carrée 𝑛 fois 𝑛 de la matrice 𝐴 de déterminant non nul. La procédure que nous suivons pour trouver le rang d'une matrice deux fois deux 𝐴 est illustrée dans le diagramme.
Dans cette question, nous allons commencer par considérer que 𝐴 est la matrice des coefficients sept, deux, deux, cinq. A priori, puisque notre matrice n'est pas la matrice zéro, son rang n'est pas nul. Notre étape suivante consiste à calculer le déterminant de la matrice 𝐴. Nous calculons le déterminant d'une matrice deux fois deux en calculant le produit des valeurs en haut à gauche et en bas à droite et en soustrayant le produit des valeurs en haut à droite et en bas à gauche. Le déterminant de la matrice 𝐴 est donc égal à sept multiplié par cinq moins deux multiplié par deux. Cela revient à 35 moins quatre, soit 31. Puisque le déterminant n'est pas égal à zéro, le rang de la matrice n'est pas égal à un. Nous pouvons donc conclure que le rang de la matrice des coefficients du système d'équations donné est de deux.