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Vidéo de question : Déterminer la somme des dérivées secondes de deux fonctions Mathématiques

Soient 𝑦 = (𝑥 - 7) (4𝑥 + 7) et 𝑧 = 𝑥² + 5𝑥 + 9, calculez 𝑑²𝑦 / 𝑑𝑥² + 𝑑²𝑧 / 𝑑𝑥².

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Transcription de vidéo

Soient 𝑦 est égal à 𝑥 moins sept multiplié par quatre 𝑥 plus sept et 𝑧 est égal à 𝑥 au carré plus cinq 𝑥 plus neuf, calculez 𝑑 au carré 𝑦 sur 𝑑𝑥 au carré plus 𝑑 au carré 𝑧 sur 𝑑𝑥 au carré.

Maintenant, afin de résoudre réellement ce problème, nous allons devoir dériver chacune de nos fonctions, puis les dériver à nouveau pour trouver la dérivée de second ordre. Ainsi, je vais commencer par notre première fonction, qui est 𝑦 est égal à 𝑥 moins sept multiplié par quatre 𝑥 plus sept.

La première chose que nous allons devoir faire ici est développer les parenthèses. Ainsi, le premier terme que nous allons obtenir est 𝑦 est égal à quatre 𝑥 au carré car nous avons 𝑥 multiplié par quatre 𝑥, ce qui nous donne quatre 𝑥 au carré. Ensuite, nous obtenons plus sept 𝑥 puisque nous avons 𝑥 multiplié par plus sept et moins 28𝑥 parce que nous avions moins sept multiplié par quatre 𝑥. Puis, enfin, nous avons moins 49. Nous avons donc quatre 𝑥 au carré plus sept 𝑥 moins 28𝑥 moins 49.

Ainsi, nous pouvons maintenant simplifier cela en regroupant des termes similaires. Nous allons donc obtenir 𝑦 est égal à quatre 𝑥 carré moins 21𝑥 moins 49. Nous obtenons donc une forme qui est beaucoup plus facile à dériver.

Ainsi, nous allons d’abord trouver la dérivée première. Lorsque nous dérivons réellement quatre 𝑥 au carré moins 21𝑥 moins 49, nous obtenons huit 𝑥 moins 21. Pour un bref rappel de la raison pour laquelle nous avons obtenu cela, nous allons examiner le premier terme. Bien, nous avons quatre multiplié par deux parce que vous avez le coefficient multiplié par l’exposant, nous avons aussi deux moins un en exposant parce que vous soustrayez un de l’exposant, ce qui nous laisse huit 𝑥.

Ainsi, c’est de cette façon que nous avons dérivé chaque terme. Nous avons donc huit 𝑥 moins 21 comme dérivée première. Maintenant, nous voulons trouver la dérivée de second ordre.

Nous allons le faire en trouvant 𝑑 carré 𝑦 sur 𝑑𝑥 carré. Pour ce faire, nous dérivons huit 𝑥 moins 21. Quand nous allons faire cela, nous obtenons huit. Ceci parce que huit 𝑥 se dérive en seulement huit, car encore une fois, si vous multipliez l’exposant par le coefficient, vous auriez huit par un, ce qui nous donne huit. Puis, vous réduisez l’exposant de 𝑥 de un. Ainsi, vous passez de 𝑥 à la puissance un à 𝑥 à la puissance zéro, ce qui nous donne juste un. Il ne nous reste donc que huit parce que moins 21 se dérive en zéro.

Parfait ! Nous avons en fait trouvé 𝑑 au carré 𝑦 sur 𝑑𝑥 au carré pour notre première fonction. Maintenant, passons à notre deuxième fonction.

Ainsi, en regardant notre deuxième fonction, nous avons 𝑧 est égal à 𝑥 au carré plus cinq 𝑥 plus neuf. Si nous dérivons donc réellement cela, nous allons obtenir 𝑑𝑧 𝑑𝑥 est égal à deux 𝑥 plus cinq. Ceci parce que nous utilisons à nouveau la même méthode que pour la partie précédente. Ainsi, si nous dérivons le premier terme, nous avons le coefficient qui est un multiplié par deux, l’exposant, ce qui nous donne deux. Puis, vous réduisez l’exposant d’une unité. Nous obtenons donc juste deux 𝑥.

Très bien, nous avons donc trouvé la dérivée première. Encore une fois, nous devons faire trouver la dérivée de second ordre. Pour ce faire, nous allons donc trouver 𝑑 carré 𝑧 sur 𝑑𝑥 carré. Ainsi, nous allons dériver deux 𝑥 plus cinq. Quand nous faisons cela, il ne nous reste plus que deux.

Très bien, nous avons maintenant trouvé la dérivée seconde de 𝑦 est égal à 𝑥 moins sept multiplié par quatre 𝑥 plus sept et la dérivée seconde de 𝑧 est égal à 𝑥 au carré plus cinq 𝑥 plus neuf.

Maintenant, revenons à la question pour savoir quoi faire ensuite. Bien, nous pouvons voir que nous devons additionner nos résultats.

Ainsi, nous pouvons dire que, sachant que 𝑦 est égal à 𝑥 moins sept multiplié par quatre 𝑥 plus sept et 𝑧 est égal à 𝑥 carré plus cinq 𝑥 plus neuf, alors 𝑑 carré 𝑦 sur 𝑑𝑥 carré plus 𝑑 carré 𝑧 sur 𝑑𝑥 carré va être égale à deux plus huit, ce qui est égal à 10.

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