Vidéo de la leçon: Rapports d’aires de figures semblables

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons examiner des figures semblables et la relation qui existe entre leurs ensembles de définition.

Alors, tout d’abord, regardons ce que l’on entend par le terme de figures semblables. La définition est à l’écran ici. Deux figures sont semblables si, tout d’abord, elles doivent avoir la même forme, donc les deux au carré ou rectangles ou triangles par exemple. Et deuxièmement, les longueurs correspondantes sur ces formes doivent être dans le même rapport. Donc, si vous pensez à un triangle par exemple, les bases de ces deux triangles doivent être dans le même rapport que les hauteurs des deux triangles.

Regardons un exemple de cela en utilisant des rectangles. Donc, les deux rectangles à l’écran ici, ce sont des rectangles semblables. Et vous pouvez le voir si vous regardez le rapport entre les paires de côtés correspondantes. Si je regarde d’abord la largeur du rectangle, donc les deux et les trois, cela me donnera ce que l’on appelle un rapport de longueurs de deux sur trois.

Si je regarde l’autre dimension du rectangle, donc les quatre sur six, cela me dirait que le rapport de longueurs est de quatre sur six. Mais, bien sûr, cela peut être simplifié en divisant les deux côtés de ce rapport par deux. Et si je fais cela, vous verrez que cela se simplifie au même rapport de deux sur trois. Donc, parce que les paires de côtés correspondantes sont toutes deux dans ce rapport deux sur trois lorsqu’elles sont simplifiées, cela signifie que ces deux rectangles sont semblables.

Maintenant, dans cette vidéo, nous voulons examiner spécifiquement la relation entre les aires de ces figures semblables. Donc, je vais travailler sur les deux ensembles de définition. Maintenant, comme ce sont deux rectangles, c’est relativement simple. J’ai juste besoin de multiplier leurs deux dimensions ensemble. Donc, j’ai huit centimètres carrés pour le premier rectangle et 18 centimètres carrés pour le second.

Maintenant, utilisons ces aires pour noter un rapport d’aires entre les deux rectangles. Donc, le rapport d’aires va être de huit à 18, mais cela se simplifiera car je peux à nouveau diviser les deux côtés du rapport par deux. Donc, cela me dit que mon rapport d’aires simplifié est de quatre à neuf. Maintenant, le point clé est de savoir comment cela se rapporte au rapport de longueurs. Eh bien, le rapport de longueurs, rappelez-vous, était de deux sur trois et le rapport d’aires est de quatre sur neuf. Et vous remarquerez peut-être qu’il existe une relation entre ces ensembles de nombres, et c’est une relation carrée. Deux au carré nous donne quatre, et trois au carré nous donne neuf. Ainsi, une autre façon d’écrire ce rapport d’aires serait de deux au carré sur trois au carré.

Maintenant, ce n’est pas un hasard si cette relation existe. Il illustre une règle générale lorsque l’on examine les aires de figures semblables. Et la règle générale est la suivante. Si le rapport de longueurs entre deux figures semblables est 𝑎 sur 𝑏, alors le rapport d’aires entre elles sera 𝑎 au carré sur 𝑏 au carré. Ainsi, cette règle est toujours vraie lorsque vous travaillez avec des figures semblables. Et maintenant, nous verrons comment nous pouvons l’utiliser pour répondre à certaines questions.

Alors, voici la première question.

On nous donne un diagramme d’un polygone, en fait c’est un rectangle, sur une grille de coordonnées. Et on nous demande de trouver l’aire d’un polygone semblable où 𝐴 tiret 𝐷 tiret est égal à six.

Alors, regardons tout d’abord le rectangle qui nous est donné. Eh bien, la longueur de la base ici de 𝐴 à 𝐵, soit deux unités. Et la longueur du côté vertical ici de 𝐴 à 𝐷, soit trois unités. Nous pouvons donc remplir ces deux mesures. Nous pouvons également travailler sur l’aire de ce rectangle, il est donc va être deux fois trois. Ça va être six unités carrées.

Maintenant, réfléchissons à ce deuxième polygone. Donc, on nous dit que c’est semblable, mais on nous dit que la longueur de 𝐴 tiret 𝐷 tiret est de six. Alors que dans notre polygone actuel, la longueur de 𝐴𝐷 est de trois unités. Cela signifie que nous pouvons noter le rapport de longueurs entre ces deux polygones. Donc, en utilisant cette paire de côtés correspondants, ça va être de trois sur six. Mais bien sûr, ce rapport peut être simplifié. Je peux en diviser les deux côtés par trois. Donc, mon rapport de longueurs simplifié sera de un à deux. Cela signifie donc, en termes pratiques, que toutes les longueurs du polygone agrandi sont deux fois plus longues que celles du polygone existant.

Maintenant, nous voulons connaître l’aire du plus grand polygone. Donc, nous devons rappeler cette règle générale que nous avons vu précédemment sur le lien entre le rapport de longueurs et le rapport d’aires. Et la règle, rappelez-vous, était la suivante. Si le rapport de longueurs est de 𝑎 sur 𝑏, alors le rapport d’aires est de 𝑎 au carré sur 𝑏 au carré. Donc, cela signifie que je peux utiliser mon rapport de longueurs connu pour calculer le rapport d’aires. J’ai juste besoin de mettre les deux côtés au carré. Donc, mon rapport d’aires est de un carré sur deux au carré, ce qui bien sûr n’est que de un sur quatre.

Cela signifie alors que l’aire de ce polygone agrandi est quatre fois l’aire du plus petit polygone. Donc, j’ai toutes les informations dont j’ai besoin pour pouvoir calculer l’aire de ce polygone semblable. L’aire du plus petit polygone était de six unités carrées. Et si celui-ci est quatre fois plus grand, il me suffit de multiplier six par quatre. Donc, l’aire de ce polygone six par quatre, qui est, bien sûr, de 24 unités carrées.

Donc, un bref récapitulatif de ce que nous avons fait alors. Nous avons utilisé une paire de longueurs correspondantes pour noter un rapport de longueurs. Nous avons ensuite utilisé notre règle générale pour transformer cela en un rapport d’aires en mettant les deux côtés au carré. Parce que nous connaissions l’aire du plus petit polygone, nous l’avons ensuite combiné avec le rapport d’aires pour déterminer l’aire du plus grand polygone.

D’accord, la question suivante que nous allons examiner dit, les côtés correspondants de deux polygones semblables sont de 18 centimètres et 25 centimètres. Étant donné que l’aire du plus petit polygone est de 486 centimètres carrés, il nous est demandé de déterminer l’aire du plus grand polygone.

Alors, réfléchissons à la façon d’aborder cela. On nous donne cette paire de côtés correspondants, ce qui signifie que nous pouvons commencer par écrire le rapport de longueurs entre ces deux polygones semblables. Et donc, le voici. Le rapport de longueurs est de 18 à 25, et cela ne simplifie pas davantage. Maintenant, nous sommes interrogés sur les aires, nous devons donc déterminer le rapport d’aires. Et rappelez-vous cette règle générale, nous devons rectifier les deux côtés de celle-ci afin de déterminer le rapport d’aires. Ainsi, le rapport d’aires sera de 18 au carré sur 25 au carré. Et donc, c’est 324 sur 625, ce qui encore une fois ne se simplifie pas davantage.

Donc, utilisons ce rapport d’aires pour déterminer l’aire du plus grand polygone. Donc, je vais lui donner une lettre. Je vais l’appeler A. Maintenant, ce que signifie ce rapport est que si je prends l’aire du plus grand polygone, qui est A, et le divise par l’aire du plus petit polygone, 486, alors ils sont dans ce rapport de 324 sur 625. Ce qui signifie que j’obtiens le même résultat si je devais faire 625 divisé par 324. Donc, ce que j’ai fait ici est de mettre en place une équation que je peux ensuite résoudre afin de travailler à l’aire de ce plus grand polygone, en utilisant le rapport d’aires que je connais.

La première étape pour résoudre cette équation est alors que je dois multiplier les deux côtés de l’équation par 486, car c’est actuellement dans le dénominateur sur le côté gauche. Donc, j’aurai 625 sur 324 multiplié par 486. Et si j’évalue cela et que je mets les unités, cela me dit que l’aire du plus grand polygone est de 937.5 centimètres carrés.

Donc, exactement le même processus que dans l’exemple précédent. Nous avons d’abord écrit un rapport de longueurs, au carré des deux côtés pour former un rapport d’aires. Ce qui diffère du dernier exemple, c’est qu’auparavant, nous devions simplement multiplier l’aire par quatre, car ce n’était qu’un rapport de un à quatre. Cette fois, le rapport était un peu plus complexe, nous avons donc dû le transformer en une relation fractionnée, l’utiliser pour former une équation, puis résoudre cette équation pour trouver l’aire manquante. D’accord, regardons un autre type de question.

On nous dit que les deux polygones ci-dessous sont semblables. Et on nous demande de calculer la valeur de 𝑥. Maintenant, 𝑥 est cette longueur manquante ici dans le plus petit polygone.

Alors, regardons ce que nous savons. Nous n’avons pas reçu de paire de longueurs correspondantes cette fois. On nous a donné une paire d’aires correspondantes. Parce que nous pouvons voir que les deux aires sont de 35 et 315 centimètres carrés. Donc, nous allons devoir aborder cette question d’une manière légèrement différente. Plutôt que d’écrire un rapport de longueurs pour commencer avec, nous allons plutôt vers le bas à droite un rapport d’aires.

Donc, le rapport de ces deux aires est de 35 sur 315. Cela peut être simplifié car les deux côtés peuvent être divisés par 35. Donc, cela me donne un rapport d’aires de un sur neuf. Maintenant, nous aimerions revenir en arrière sur la connaissance de ce rapport d’aires au calcul du rapport de longueurs. Alors, rappelez-vous la règle générale que nous avons vue précédemment. C’était que quel que soit le rapport de longueurs, pour obtenir le rapport d’aires, vous devez mettre les deux côtés au carré.

Maintenant, nous allons travailler dans l’autre sens du rapport d’aires au rapport de longueurs. Donc, pour reculer dans l’autre sens, plutôt que de quadriller les deux côtés, nous devons quadriller les deux côtés. Ainsi, le rapport de longueurs est la racine carrée de un à la racine carrée de neuf, qui, bien sûr, n’est que de un sur trois. Donc, ce que cela nous dit, c’est que toutes les longueurs du plus grand polygone sont trois fois les longueurs du plus petit polygone.

Maintenant, si je voulais le configurer comme une équation, juste pour démontrer à nouveau ce que j’ai fait dans l’exemple précédent. Ensuite, je sais que si je fais 𝑥 divisé par 18, de sorte que la paire de côtés correspondante, alors je vais obtenir le même résultat que si je fais un divisé par trois. Donc, c’est en utilisant ce rapport de longueurs d’un tiers. Alors, je peux résoudre cette équation en multipliant les deux côtés par 18. Et donc, 𝑥 est égal à six. Une autre façon de penser sans avoir à écrire l’équation est parce que c’est juste un rapport de un sur trois, alors je pourrais simplement diviser 18 par trois pour obtenir cette valeur de six. Donc, dans cet exemple, c’était légèrement différent. Nous avons dû commencer avec un rapport d’aires, puis travailler en arrière par enracinement carré afin de calculer le rapport de longueurs dont nous avions besoin.

D’accord, la dernière question dit que les formes X et Y sont semblables avec des côtés dans le rapport cinq sur quatre. Si chaque longueur de côté est triplée, quel est le rapport des aires des formes agrandies ?

Maintenant, vous avez peut-être une idée profonde de la réponse, ou vous pensez peut-être qu’il y a un détail que vous n’avez pas pris en compte. Passons en revue afin de voir comment nous devrions aborder cela. Donc, nous avons déjà un rapport de longueurs pour les formes X et Y. Il est de cinq sur quatre. Cela signifierait que le rapport d’aires pour X et Y avant de tripler les côtés et de les agrandir, eh bien, rappelez-vous, nous ajusterions les deux côtés de ce rapport, donc le rapport d’aires pour X et Y serait de 25 sur 16.

Maintenant, réfléchissons à ce qui se passe lorsque nous triplons les longueurs latérales. Eh bien, nous ne savons pas que ces longueurs sont de cinq et quatre, juste qu’elles sont dans ce rapport. Mais si nous les triplions, ils seraient dans le rapport 15 sur 12. Mais voici le point clé. Parce que nous avons triplé les deux, ce rapport de 15 sur 12 simplifie à nouveau de cinq à quatre. Donc, tripler les longueurs latérales n’a en fait aucun effet sur le rapport de longueurs car nous avons fait la même chose pour les deux formes semblables.

Par conséquent, le rapport d’aires de ces formes agrandies est va être le même que le rapport d’aires des formes originales. Donc, le rapport d’aires est toujours de 25 sur 16. Maintenant, c’est peut-être votre intuition. Mais si ce n’était pas le cas, j’espère qu’en passant par le travail, vous aurez été convaincu de la raison pour laquelle c’est le cas. Donc, le point clé de cet exemple est que si une question vous demande de doubler ou de tripler les côtés des deux formes semblables, cela n’a aucun impact sur le rapport de longueurs et, par conséquent, aucun impact sur le rapport d’aires. Ainsi, vous pouvez simplement travailler avec les rapports d’origine qui vous sont donnés.

En résumé, nous avons vu la relation entre le rapport de longueurs et le rapport d’aires de figures semblables. Nous avons vu comment appliquer cela au calcul de l’aire d’une figure semblable. Et nous avons également vu comment l’appliquer au calcul des longueurs manquantes en travaillant à l’envers, de la connaissance du rapport d’aires au calcul du rapport de longueurs.