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Vidéo de question : Déterminer une formule d’angles multiples pour le cosinus Mathématiques

Exprimez cos 6𝜃 en fonction des puissances de sin 𝜃 et cos 𝜃.

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Transcription de vidéo

Exprimez cosinus six 𝜃 en fonction des puissances de sinus 𝜃 et cosinus 𝜃.

Dans cette question, nous devons trouver une expression pour le cosinus six 𝜃 en fonction de puissances du sinus 𝜃 et du cosinus 𝜃. Nous avons quelques moyens pour le faire. Par exemple, nous pourrions écrire cosinus six 𝜃 comme cosinus trois 𝜃 plus trois 𝜃, puis utiliser la formule d’addition d’angles pour le cosinus afin de trouver une expression du cosinus six 𝜃 en fonction d’angles de trois 𝜃. Nous pourrions alors répéter cette démarche pour finalement obtenir une expression en fonction de sinus 𝜃 et cosinus 𝜃. Et cela fonctionnerait et nous donnerait la bonne réponse. Cependant, il existe une méthode plus simple impliquant la formule de Moivre.

Nous rappelons qu’une partie de la formule de Moivre nous dit que pour tout entier 𝑛 et nombre réel 𝜃, cosinus 𝜃 plus 𝑖 sinus 𝜃 le tout élevé à la puissance 𝑛 est égal au cosinus 𝑛𝜃 plus 𝑖 sinus 𝑛𝜃. Et nous pouvons utiliser ceci pour trouver des expressions pour nos fonctions trigonométriques en des multiples entiers de 𝜃. Par exemple, dans la question, nous voulons trouver une expression pour cosinus six 𝜃. Nous allons donc donner la valeur six à 𝑛. Donc, en posant 𝑛 égale à six dans cette version de la formule de Moivre et en inversant les membres de notre équation, nous obtenons cosinus six 𝜃 plus 𝑖 sinus six 𝜃 égal à cosinus 𝜃 plus 𝑖 sinus 𝜃 tous élevés à la puissance six.

Cependant, ce n’est toujours pas une expression de cosinus six 𝜃, et ce n’est pas en fonction de puissances de sinus 𝜃 et de cosinus 𝜃. Nous allons donc devoir manipuler cette expression encore davantage. Et pour ce faire, nous devons remarquer que, dans le membre droit de notre équation, on a la somme de deux valeurs élevée à un exposant. Il s’agit d’une expression binomiale, nous pouvons alors la développer en utilisant la formule du binôme de Newton. Et nous rappelons que cela nous indique que pour tout entier positif 𝑛, 𝑎 plus 𝑏 le tout élevé à la puissance 𝑛 est égal à la somme de 𝑟 allant de zéro à 𝑛 de C 𝑛 𝑟 fois 𝑎 à la puissance 𝑟 multiplié par 𝑏 à la puissance 𝑛 moins 𝑟.

Nous pouvons donc distribuer notre exposant six sur le membre droit de notre équation en utilisant la formule du binôme. Nous obtenons que cela est égal à C six zéro fois cosinus à la puissance six 𝜃 plus C six un fois cosinus à la puissance cinq 𝜃 multiplié par 𝑖 sinus 𝜃 plus C six deux fois cosinus à la puissance quatre 𝜃 multiplié par 𝑖 sinus 𝜃 le tout au carré plus C six trois fois cosinus cube 𝜃 multiplié par 𝑖 sinus 𝜃 le tout au cube. Et nous continuons d’ajouter des termes de cette forme jusqu’à C six six fois 𝑖 sinus 𝜃 le tout élevé à la puissance six. Et nous remarquons que nous commençons à nous rapprocher. Nous avons maintenant une expression en fonction de puissances de sinus 𝜃 et cosinus 𝜃. Cependant, ce n’est pas une expression de cosinus six 𝜃, et nous pouvons simplifier le membre droit de notre équation.

Nous allons donc simplifier le membre droit de notre équation, terme par terme. Dans notre premier terme, C six zéro est égal à un. Donc, notre premier terme est cosinus à la puissance six de 𝜃. Dans notre deuxième terme, C six un est égal à six. Et rappelez-vous, nous avons un facteur 𝑖, alors le deuxième terme sera six 𝑖 cosinus à la puissance cinq 𝜃 multiplié par sinus 𝜃. Dans notre troisième terme, nous avons C six deux égal à 15, et nous pouvons distribuer le carré pour obtenir 𝑖 carré fois sinus carré 𝜃. Cependant, rappelez-vous, 𝑖 est la racine carrée de moins un, donc 𝑖 au carré sera égal à moins un. Donc, notre troisième terme peut être simplifié pour donner moins 15 cosinus à la puissance quatre 𝜃 multiplié par sinus carré 𝜃.

Et nous pouvons suivre exactement le même processus pour simplifier les quatre derniers termes de notre développement. Nous obtenons moins 20𝑖 cosinus cube 𝜃 fois sinus cube 𝜃 plus 15 cosinus carré 𝜃 fois sinus à la puissance quatre 𝜃 plus six 𝑖 cosinus 𝜃 fois sinus à la puissance cinq 𝜃 moins sinus à la puissance six 𝜃. Et rappelez-vous, selon la formule de Moivre, nous savons que cela est égal à cosinus six 𝜃 plus 𝑖 sinus six 𝜃. Mais nous n’avons pas encore terminé. Rappelez-vous, la question veut que nous trouvions une expression uniquement pour le cosinus de six 𝜃. Et sur le membre de gauche de notre équation, nous pouvons voir que nous avons un nombre complexe avec une partie réelle cosinus six 𝜃. Nous pouvons donc trouver une expression du cosinus de six 𝜃 en prenant les parties réelles des deux membres de notre équation. Celles-ci doivent être égales.

Et sur le membre droit de notre équation, les parties réelles seront les termes sans le facteur 𝑖. Donc, en égalisant les parties réelles des deux membres de notre équation, nous obtenons notre réponse finale. Cosinus six 𝜃 est égal à cosinus à la puissance six 𝜃 moins 15 cosinus à la puissance quatre 𝜃 fois sinus carré 𝜃 plus 15 cosinus carré 𝜃 multiplié par sinus à la puissance quatre 𝜃 moins sinus à la puissance six 𝜃.

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