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Vidéo de question : Déterminer la limite d’une différence de puissances Mathématiques

Déterminez lim_(𝑥 → 1) (la racine sixième de 𝑥 + la racine 22ième de 𝑥 - 2)/(𝑥 - 1).

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Transcription de vidéo

Déterminez la limite lorsque 𝑥 tend vers un de la racine sixième de 𝑥 plus la racine 22ième de 𝑥 moins deux, le tout divisé par 𝑥 moins un.

Dans cette question, on nous demande de calculer la limite d’une fonction. Au numérateur, cette fonction est la somme de fonctions puissances moins une constante et le dénominateur est une fonction affine. C’est la limite du quotient de deux fonctions. Nous pourrions donc essayer de calculer cette limite par remplacement direct. Cependant, si nous faisons cela en remplaçant 𝑥 par un dans notre fonction, nous obtenons la racine sixième de un plus la racine 22ième de un moins deux, le tout, divisé par un moins un, ce qui se simplifie pour donner zéro sur zéro, une forme indéterminée. Nous ne pouvons donc pas simplement calculer cette limite en utilisant le remplacement direct.

Pour calculer cette limite, nous devons remarquer que c’est presque sous la forme de la limite d’une différence de puissances. C’est sous la forme de la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑥 puissance 𝑛 moins 𝑎 puissance 𝑛 divisé par 𝑥 puissance 𝑚 moins 𝑎 puissance 𝑚. Et il est utile d’écrire notre limite sous cette forme car ceci nous rappelle comment calculer cette limite. Pour toutes constantes réelles 𝑎, 𝑛 et 𝑚, où 𝑚 est non nul, cette limite est 𝑛 divisé par 𝑚 multiplié par 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑚. Et cela à condition que 𝑎 puissance 𝑛, 𝑎 puissance 𝑚 et puissance 𝑛 moins 𝑚 existent tous.

Pour utiliser ce résultat sur la limite, nous commençons par remarquer que notre valeur de 𝑎 sera égale à un. Cependant, au numérateur, nous soustrayons deux, là où nous devons soustraire une puissance de un. Et au numérateur, nous avons aussi deux puissances de 𝑥 séparées, mais dans le résultat sur la limite nous n’avons qu’une seule puissance de 𝑥. Cela peut nous donner l’idée de partager cette limite en somme de deux limites. Au lieu de soustraire deux au numérateur, nous soustrayons séparément un de chaque terme au numérateur. Et nous allons attribuer notre dénominateur à chacun de ces termes. Cela nous donne la limite lorsque 𝑥 tend vers un de la racine sixième de 𝑥 moins un, le tout, sur 𝑥 moins un plus la racine 22ième de 𝑥 moins un, le tout, divisé par 𝑥 moins un. Et la raison pour cela est que chacun de ces deux termes est maintenant presque sous la forme d’une limite de la différence de deux puissances.

Dans nos dénominateurs, nous avons 𝑥 puissance un moins un puissance un. Donc, ils sont tous deux sous la forme 𝑥 puissance 𝑚 moins 𝑎 puissance 𝑚. Ensuite, en utilisant nos lois sur les exposants, nous savons que la racine sixième de 𝑥 est 𝑥 puissance un sur six. Et la racine 22ième de 𝑥 est 𝑥 puissance un sur 22. Elles sont toutes les deux sous la forme 𝑥 puissance 𝑛. Nous allons donc simplement réécrire ces deux termes sous cette forme. Maintenant, tout ce que nous devons faire est de réécrire les termes moins un sous la forme moins 𝑎 puissance 𝑛. Et nous pouvons le faire en remarquant simplement que un élevé à n’importe quelle puissance est égale à un. En utilisant cela, nous pouvons réécrire un comme un puissance un sur six et un comme un puissance un sur 22.

Maintenant, ces deux termes sont sous la forme du résultat sur la limite. Nous sommes donc presque prêts à appliquer directement le résultat sur la limite. Tout ce que nous devons faire est de se rappeler que la limite d’une somme de deux fonctions est égale à la somme de leurs limites. Et c’est bien sûr à condition que les limites de chacune de ces deux fonctions existent. Cela nous donne la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑥 puissance un sur six moins un puissance un sur six le tout sur 𝑥 moins un plus la limite lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑥 puissance un sur 22 moins un puissance un sur 22 le tout divisé par 𝑥 moins un. Et nous pouvons montrer que ces limites existent et calculer ces limites en utilisant le résultat sur la limite.

Pour notre première limite, la valeur de 𝑛 est un sur six, la valeur de 𝑚 est un et la valeur de 𝑎 est également un. Par conséquent, nous pouvons calculer cette limite en remplaçant ces valeurs dans notre formule. Nous obtenons un sur six sur un multiplié par un puissance un sixième moins un. Nous pouvons faire de même pour la deuxième limite. Cette fois, la valeur de 𝑛 est un sur 22, et les valeurs de 𝑎 et 𝑚 sont toutes les deux égales à un. Nous pouvons remplacer ces valeurs dans notre formule pour calculer cette limite. C’est un sur 22 sur un multiplié par un puissance un sur 22 moins un. Par conséquent, comme ces deux limites existent, leur somme sera la limite que nous recherchons.

Et maintenant, nous pouvons simplement calculer cette expression. Tout d’abord, rappelez-vous, un élevé à n’importe quelle puissance est égal à un. Et la division par un ne changera pas cette valeur. Ainsi, le premier terme se simplifie en un sixième, et le deuxième terme se simplifie en un divisé par 22. Et si nous calculons cette expression, nous obtenons sept divisé par 33, ce qui est notre réponse finale. Par conséquent, nous avons pu montrer que la limite lorsque 𝑥 tend vers un de la racine sixième de 𝑥 plus la racine 22ième de 𝑥 moins deux le tout divisé par 𝑥 moins un est sept divisé par 33.

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