Vidéo question :: Déterminer l’ordre d’une matrice transposée Mathématiques

Transcription de la vidéo

Si 𝑋 est une matrice d'ordre quatre fois un, alors quel est l'ordre de la matrice transposée de 𝑋 ?

On nous dit dans cette question que la matrice 𝑋 est d'ordre quatre fois un. Nous voulons utiliser cette information pour déterminer l'ordre de la matrice transposée de 𝑋. Pour cela, rappelons d'abord ce que nous entendons par ordre d'une matrice. Le premier nombre nous indique le nombre de lignes de la matrice et le deuxième nombre est le nombre de colonnes. Ceci signifie que la matrice 𝑋 a quatre lignes et une colonne. Nous pouvons utiliser cela pour écrire que la matrice 𝑋 est une matrice quatre fois un comportant des éléments inconnus 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑑.

Il faut également se rappeler que nous pouvons trouver la transposée d'une matrice 𝑋 en réécrivant chaque ligne de la matrice 𝑋 comme la colonne correspondante dans la matrice transposée. Autrement dit, nous échangeons les lignes et les colonnes. Nous pouvons utiliser notre représentation de la matrice 𝑋 pour obtenir une représentation de la transposée de 𝑋. Nous allons le faire en écrivant chaque ligne de 𝑋 comme la colonne de cette nouvelle matrice appelée la transposée de 𝑋. La première ligne de 𝑋 ne contient qu'une seule valeur 𝑎. Nous écrivons cela comme la première colonne de la transposée de 𝑋. Nous pouvons suivre le même processus pour la deuxième ligne de 𝑋 ; la seule valeur est 𝑏, nous l'écrivons donc comme la deuxième colonne de la transposée de 𝑋.

Nous pouvons suivre le même processus pour les lignes restantes de 𝑋. Nous trouvons que la troisième colonne de la transposée de 𝑋 contient seulement 𝑐 et que la quatrième colonne contient seulement 𝑑. Nous obtenons ainsi la représentation suivante de la transposée de 𝑋. Nous pouvons constater qu'elle comporte une ligne et quatre colonnes. La transposée de 𝑋 est donc une matrice un fois quatre.

Il convient de noter que nous n'avons pas besoin de représenter directement la transposée d'une matrice pour répondre aux questions de ce type. Nous pouvons plutôt noter que prendre la transposée permute le nombre de lignes d'une matrice avec son nombre de colonnes. Ainsi, pour une matrice d'ordre 𝑚 fois 𝑛, sa transposée sera donc une matrice d'ordre 𝑛 fois 𝑚. Nous pouvons alors utiliser ce résultat pour répondre directement à la question. 𝑋 est une matrice quatre fois un, en prenant sa transposée, nous permuterons donc l'ordre et nous aurons une matrice un fois quatre.