Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de question : Calculer des longueurs manquantes en appliquant le théorème de la puissance d’un point pour deux sécantes Mathématiques

Un cercle a deux sécantes 𝐴𝐵 et 𝐴𝐷 se coupant en 𝐴. Sachant que 𝐴𝐸 = 3 cm, 𝐸𝐷 = 5 cm et 𝐴𝐵 = 9 cm, déterminez la longueur de 𝐵𝐶 en donnant votre réponse au dixième près.

03:06

Transcription de vidéo

Un cercle a deux sécantes 𝐴𝐵 et 𝐴𝐷 se coupant en 𝐴. Sachant que 𝐴𝐸 est égal à trois centimètres, 𝐸𝐷 est égal à cinq centimètres et 𝐴𝐵 est égal à neuf centimètres, calculez la longueur du segment 𝐵𝐶 en donnant votre réponse au dixième près.

Pour commencer, nous allons compléter les espaces vides de la figure à l'aide des informations qui nous ont été fournies. Tout d'abord, on nous dit que la longueur de 𝐴𝐸 est de trois centimètres et celle de 𝐸𝐷 de cinq centimètres. La dernière information qui nous est fournie est que 𝐴𝐵 a une longueur de neuf centimètres. On cherche à déterminer la longueur de 𝐵𝐶, qui est un segment de la sécante 𝐴𝐵. À cette fin, il convient de considérer le théorème de la puissance d’un point pour deux sécantes, qui est un cas particulier du théorème de la puissance d’un point. Ainsi, si 𝐴 est un point à l’extérieur du cercle et si 𝐵, 𝐶, 𝐷 et 𝐸 sont des points du cercle tels que 𝐴𝐵 est un segment sécant au cercle en 𝐶 et 𝐵 respectivement et que 𝐴𝐷 est un segment sécant au même cercle en 𝐸 et 𝐷 respectivement, alors 𝐴𝐶 multiplié par 𝐴𝐵 est égal à 𝐴𝐸 multiplié par 𝐴𝐷.

Voyons ce que nous savons jusqu'à présent. La longueur de 𝐴𝐵 nous a été fournie comme étant de neuf centimètres. On nous a également dit que la longueur de 𝐴𝐸 est de trois centimètres. Et nous pouvons calculer la longueur de 𝐴𝐷 comme étant la somme de trois et cinq centimètres, soit un total de huit centimètres. Par conséquent, nous obtenons l'équation 𝐴𝐶 multiplié par neuf est égale à trois multiplié par huit. Nous pouvons maintenant l'utiliser pour déterminer la longueur de 𝐴𝐶, bien que ce ne soit pas 𝐴𝐶 que nous cherchions, mais plutôt 𝐵𝐶. Cependant, en additionnant 𝐴𝐶 et 𝐵𝐶, on obtient la longueur du segment sécant complet 𝐴𝐵, qui est égal à neuf. Donc, si nous pouvons déterminer la longueur de 𝐴𝐶, nous pouvons appliquer la deuxième équation pour déterminer la longueur de 𝐵𝐶. En simplifiant la première équation, nous avons neuf 𝐴𝐶 est égal à 24.

Pour trouver 𝐴𝐶, nous devons diviser les deux côtés par neuf. Ainsi, 𝐴𝐶 est égal à 24 divisé par neuf. Et en divisant le numérateur et le dénominateur par trois, cela simplifie à huit sur trois. Ce nombre peut alors être substitué à la longueur de 𝐴𝐶 dans notre deuxième équation, ce qui donne huit sur trois plus 𝐵𝐶 égal à neuf. 𝐵𝐶 est donc égal à neuf moins huit divisé par trois. Nous pouvons simplifier cette soustraction en exprimant neuf comme 27 sur trois. 27 sur trois moins huit sur trois donne 19 sur trois, soit le nombre décimal répétitif 6,3. La question nous demande de répondre au dixième près. Par conséquent, la longueur de 𝐵𝐶, arrondie au dixième près, est égale à 6,3 centimètres.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.