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Vidéo de question : Calculer la probabilité de la différence de deux événements Mathématiques

On considère deux évènements 𝐴 et 𝐵 de probabilités 𝑃(𝐴) = 5/7 et 𝑃(𝐵) = 4/7. Sachant que 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 6/7, déterminez 𝑃(𝐴 − 𝐵).

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Transcription de vidéo

On considère deux évènements 𝐴 et 𝐵 avec la probabilité de 𝐴 égale à cinq septièmes et la probabilité de 𝐵 égale à quatre septièmes. Sachant que la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à six-septièmes, déterminez la probabilité de 𝐴 moins 𝐵.

La première étape consiste à faire un schéma pour illustrer les informations fournies. Commençons par la probabilité de 𝐴. On sait que la probabilité de 𝐴 est égale à cinq septièmes. La probabilité de 𝐴 correspond au cercle de gauche que j’ai hachuré en rose dans le diagramme de Venn. Son aire représente la probabilité de 𝐴.

Et on sait que la probabilité de 𝐵 est égale à quatre septièmes. Ici, la probabilité de 𝐵 est représentée par le cercle de droite que j’ai hachuré en rose. Et enfin, on connaît la probabilité de 𝐴 union 𝐵, qui est égale à six-septièmes.

Et ce signe en forme de U signifie union. Ça correspond à tout ce qui est dans 𝐴 ou 𝐵. Ça correspond ici aux deux cercles hachurés. Voilà donc toutes les informations que nous avons. Mais que cherchons-nous ?

Nous cherchons la probabilité de 𝐴 moins 𝐵. Voyons à quoi ça correspond. Donc, si nous cherchons la probabilité de 𝐴 moins 𝐵, nous avons ce cercle qui est 𝐴. Il faut ensuite retirer ce qui est dans le cercle hachuré ici, qui est 𝐵. Cela signifie qu’il faut supprimer cette section au milieu ici. Et il nous reste alors l’aire que j’ai hachurée en bleu, qui est la probabilité de 𝐴 moins 𝐵. Nous avons effacé cette intersection parce que c’est la seule partie de 𝐴 qui appartient aussi à 𝐵. Très bien. Mais comment calculer cela ?

Eh bien, nous avons une formule. La probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. Et c’est ce que nous avons expliqué. Parce que 𝐴 inter 𝐵 est la partie au milieu. C’est la partie qui appartient aux deux cercles à la fois, leur intersection.

Alors on a ça. Faisons le calcul. Mais il nous reste un problème. Nous ne connaissons pas la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. Nous allons donc devoir utiliser une autre formule. D’après cette formule, la probabilité de 𝐴 union 𝐵 est égale à la probabilité de 𝐴 plus la probabilité de 𝐵 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. Et ce que nous pouvons faire, c’est l’utiliser pour trouver la probabilité de 𝐴 inter 𝐵.

Alors, en utilisant les valeurs connues, nous obtenons six sur sept égale cinq sur sept plus quatre sur sept moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. Nous obtenons donc six sur sept égale neuf sur sept moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. On en déduit que la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 est égale à trois sur sept. En effet, nous avons six sur sept égale neuf sur sept moins quelque chose.

Or, neuf sur sept moins trois sur sept égale six sur sept. Voilà comment ça fonctionne. Ou bien nous aurions pu faire comme pour n’importe quelle équation et ajouter la probabilité de 𝐴 inter 𝐵 de chaque membre, puis soustraire six sur sept de chaque membre.

Nous pouvons maintenant utiliser la formule évoquée tout à l’heure pour trouver la probabilité de 𝐴 moins 𝐵. Alors, nous obtenons que la probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est égale à cinq sur sept moins trois sur sept. C’est en effet la probabilité de 𝐴 moins la probabilité de 𝐴 inter 𝐵. Et donc, nous avons résolu le problème. La probabilité de 𝐴 moins 𝐵 est égale à deux sur sept.

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