Vidéo : Séries de Taylor

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Séries de Taylor

21:43

Transcription de vidéo

Quand j’ai appris pour la première fois à propos de la série Taylor, je n’ai vraiment pas compris à quel point elles étaient importantes. Mais, à maintes reprises, ils arrivent en mathématiques, en physique et dans de nombreux domaines de l’ingénierie, car ils constituent l’un des outils les plus puissants que les mathématiques puissent offrir pour approximer des fonctions.

Je pense que l’une des premières fois que cela a résonné en moi en tant qu’étudiant n’était pas dans un cours d’analyse, mais un cours de physique. Nous étions en train d’étudier un certain problème lié à l’énergie potentielle d’un pendule. Et pour cela, vous avez besoin d’une expression indiquant à quel point le poids du pendule est supérieur à son point le plus bas. Et quand vous travaillez cela, il s’avère être proportionnel à un moins le cosinus de l’angle entre le pendule et la verticale. Maintenant, les détails du problème que nous essayions de résoudre sont au-delà de la question. Mais ce que je vais dire, c’est que cette fonction de cosinus a rendu le problème maladroit et difficile à manier. Et cela a rendu moins claire la relation entre les pendules et d’autres phénomènes oscillants. Mais si vous estimez que le cos de 𝜃 est égal à un moins 𝜃 au carré sur deux, de toutes choses, tout s’est mis en place beaucoup plus facilement.

Maintenant, si vous n’avez jamais rien vu de tel auparavant, une approximation comme celle-ci peut sembler complètement hors du champ gauche. Je veux dire si vous représenter graphiquement cos de 𝜃 avec cette fonction, un moins 𝜃 carré sur deux, ils ne semblent assez proches les uns des autres, au moins pour les petits angles près de zéro. Mais comment penseriez-vous même faire cette approximation ? Et comment trouveriez-vous ce quadratique particulier ? L’étude de la série de Taylor consiste principalement à prendre des fonctions non polynomiales et à trouver des polynômes qui les approchent à peu près d’entrée. Et le motif ici est que les polynômes ont tendance à être beaucoup plus faciles à gérer que les autres fonctions. Ils sont plus faciles à calculer, à prendre des dérivées, à intégrer, tout en étant plus conviviaux.

Donc, nous allons jeter un œil à cette fonction, cos de 𝑥, et vraiment prendre un moment pour réfléchir sur la façon dont vous pourriez construire une approximation quadratique proche de 𝑥 est égal à zéro. C’est, parmi tous les polynômes possibles qui ressemblent à 𝑐 zéro plus 𝑐 un fois 𝑥, plus 𝑐 deux fois 𝑥 carré pour un certain choix de ces constantes 𝑐 zéro, 𝑐 un, et 𝑐 deux, trouver celui qui ressemble le plus cos de 𝑥 près 𝑥 est égal à zéro, dont le type de graphique des cuillères avec la courbe de cos 𝑥 à ce moment-là.

Tout d’abord, à l’entrée zéro, la valeur de cos de 𝑥 vaut un. Donc, si notre approximation est bonne, il faut aussi un pour l’entrée 𝑥 égal zéro. Placer le zéro ne donne que ce que 𝑐 zéro est, nous pouvons donc le fixer à un. Cela nous laisse libre de choisir les constantes 𝑐 un et 𝑐 deux pour faire cette approximation aussi bonne que possible. Mais rien de ce que nous faisons avec eux ne changera le fait que le polynôme est égal à un en 𝑥 est égal à zéro. Maintenant, il serait également bon que notre approximation ait la même pente tangente que cos 𝑥 à ce point d’intérêt. Sinon, l’approximation s’éloigne de la courbe du cosinus beaucoup plus rapidement que nécessaire.

La dérivée du cosinus est le moins sinus. Et à 𝑥 est égal à zéro, ce qui est égal à zéro, ce qui signifie que la droite tangente est parfaitement plate. D’autre part, lorsque vous travaillez la dérivée de notre second degré, vous obtenez 𝑐 un plus deux fois 𝑐 deux fois 𝑥. Si 𝑥 est égal à zéro, cela équivaut à ce que nous choisissons pour 𝑐 un. Donc, cette constante 𝑐 un a un contrôle total sur la dérivée de notre approximation autour 𝑥 est égal à zéro. La valeur égale à zéro garantit que notre approximation a également une droite tangente plate à cet endroit. Et cela nous laisse libre de changer 𝑐 deux. Mais la valeur et la pente de notre polynôme à 𝑥 égal à zéro sont bloquées pour correspondre à celles du cosinus.

La dernière chose dont il faut tirer parti est le fait que la courbe du cosinus se courbe au-dessus de 𝑥 égal à zéro. Elle a une dérivée seconde négative. Autrement dit, même si le taux de changement est nul à ce moment-là, le taux de changement lui-même diminue autour de ce point. Plus précisément, étant donné que sa dérivée est négative sinus de 𝑥, sa dérivée seconde est négative cos de 𝑥. Et à 𝑥 égal à zéro, cela équivaut à un négatif. De la même manière que nous voulions que la dérivée de notre approximation corresponde à celle du cosinus pour que leurs valeurs ne s’écartent pas inutilement rapidement, nous nous assurons que leur dérivée seconde correspond à une courbe identique, que le la pente de notre polynôme ne dérive pas loin de la pente de cos 𝑥 plus rapidement que nécessaire.

Tirer la même dérivée que nous avions avant et de prendre sa dérivée, on voit que la dérivée seconde de ce polynôme est exactement deux fois 𝑐 deux. Donc, pour vous assurer que cette dérivée seconde est aussi égale à moins un à 𝑥 est égal à zéro, deux fois 𝑐 deux doit être l’un négatif. Cela signifie que 𝑐 deux en soi devrait être négatif de moitié. Et cela nous donne l’approximation un plus zéro 𝑥 moins un demi 𝑥 au carré. Et pour avoir une idée de sa qualité, si vous estimez un cos de 0.1 à l’aide de ce polynôme, vous estimez qu’il est à 0.995. Et ceci est la vraie valeur de cos de 0.1. C’est une très bonne approximation.

Prenez un moment pour réfléchir à ce qui vient de se passer. Vous avez eu trois degrés de liberté avec cette approximation quadratique, les constantes 𝑐 zéro, 𝑐 un, et 𝑐 deux. 𝑐 zéro était responsable de faire en sorte que la sortie de l’approximation correspond à celle de cos 𝑥 à 𝑥 est égal à zéro. 𝑐 un était chargé de s’assurer que les dérivées correspondent à ce stade. Et 𝑐 deux étaient chargés de veiller à ce que les dérivées en second correspondent. Cela garantit que la façon dont vos changements d’approximation que vous vous éloignez de 𝑥 est égal à zéro et de la façon que le taux de changement lui-même change est aussi proche que possible du comportement du cos 𝑥, compte tenu de la quantité de contrôle que vous avez.

Vous pourriez vous donner plus de contrôle en autorisant davantage de termes dans votre polynôme et en dérivant des dérivées d’ordre supérieur correspondants. Par exemple, supposons que vous ayez ajouté le terme 𝑐 trois fois 𝑥 au cube pour une constante 𝑐 trois. Eh bien, dans ce cas, si vous prenez la dérivée troisième d’un polynôme cubique, tout ce qui est quadratique ou plus petit passe à zéro. Et en ce qui concerne ce dernier terme, après trois itérations de la règle des puissances, on dirait une fois, deux fois, trois fois quelle que soit la valeur de 𝑐 trois. D’autre part, la dérivée troisième de cos 𝑥 donne sinus de 𝑥, ce qui équivaut à zéro à 𝑥 égal à zéro. Donc, pour s’assurer que les troisièmes dérivées correspondent, la constante 𝑐 trois doit être égale à zéro. En d’autres termes, non seulement est un moins un demi 𝑥 carré la meilleure approximation quadratique possible de cosinus, il est aussi la meilleure approximation cubique possible.

Vous pouvez effectivement faire une amélioration en ajoutant un terme de quatrième ordre, 𝑐 quatre fois 𝑥 à la puissance quatre. La quatrième dérivée du cosinus est en fait elle-même, ce qui équivaut à un si 𝑥 est égal à zéro. Et quelle est la quatrième dérivée de notre polynôme avec ce nouveau terme ? Eh bien, quand vous continuez à appliquer la règle de pouvoir sur et plus, avec les exposants tous les sauts vers le bas et l’avant, vous vous retrouvez avec une fois deux fois trois fois quatre fois 𝑐 quatre, ce qui est 24 fois 𝑐 quatre. Donc, si nous voulons que cela correspond à la quatrième dérivée de cos 𝑥, qui est l’un, 𝑐 quatre doit être l’un sur 24. Et en effet, l’un polynôme moins un demi 𝑥 carré plus un vingt-quatrième fois 𝑥 à la puissance quatre, qui ressemble à ceci, est une approximation très proche pour cos 𝑥 autour de 𝑥 est égal à zéro.

Dans n’importe quel problème physique impliquant le cosinus d’un petit angle, par exemple, les prédictions seraient sensiblement différentes si vous substituiez ce polynôme au cos de 𝑥. Maintenant, prenez un peu de recul et remarquez que quelque chose se passe avec ce processus. Tout d’abord, les termes factoriels apparaissent très naturellement dans ce processus. Lorsque vous prenez 𝑛 dérivées successives de la fonction 𝑥 au 𝑛, laissant la règle de puissance juste garder en cascade sur le bas, ce que vous serez à gauche avec est une fois deux fois trois sur et sur et jusqu’à ce que 𝑛 est. Ainsi, vous ne définissez pas simplement les coefficients du polynôme sur une dérivée, vous devez le diviser par la factorielle appropriée pour annuler cet effet.

Par exemple, 𝑥 au quatrième coefficient était la quatrième dérivée du cosinus, un, mais divisée par quatre factorielle, 24. La deuxième chose à noter est que l’ajout de nouveaux termes, comme celui-ci, 𝑐 quatre fois 𝑥 puissance quatre, ne le fait pas. t bousiller ce que les anciens termes devraient être. Et c’est vraiment important. Par exemple, la dérivée seconde de ce polynôme à 𝑥 égal à zéro est toujours égale à deux fois le deuxième coefficient, même après l’introduction de termes d’ordre supérieur. Et c’est parce que nous posons 𝑥 est égal à zéro. Ainsi, la dérivée seconde d’un terme d’ordre supérieur, qui comprennent toutes un 𝑥, sera tout simplement laver. Et la même chose pour toute autre dérivée, ce qui est la raison pour laquelle chaque dérivée d’un polynôme en 𝑥 est égal à zéro est contrôlée par un et un seul des coefficients.

Si, au contraire, vous utilisez une approximation de près d’une entrée autre que zéro, comme peut-être 𝑥 égal à 𝜋, afin d’obtenir le même effet, vous devez écrire votre polynôme en fonction des puissances de 𝑥 moins 𝜋 ou tout ce que vous cherchez à entrer. Cela le fait paraître plus compliqué. Mais tout ce que nous faisons est simplement de nous assurer que le point 𝜋 a l’air et se comporte comme un zéro, de sorte que le choix de 𝑥 égal à 𝜋 donne lieu à beaucoup de belles annulations qui ne laissent qu’une constante. Et enfin, sur un plan plus philosophique, notez que ce que nous faisons ici consiste essentiellement à prendre des informations sur les dérivées d’ordre supérieur d’une fonction en un point unique. Et ensuite traduire cela en informations sur la valeur de la fonction près de ce point.

Vous pouvez prendre autant de dérivées de cosinus que vous le souhaitez. Il suit ce joli modèle cyclique : cos de 𝑥, moins sin de 𝑥, moins cos, sin, puis on répète. Et la valeur de chacun d’eux est facile à calculer lorsque 𝑥 est égal à zéro. Il donne ce schéma cyclique : un, zéro, un négatif, zéro, puis recommencez. Et connaître les valeurs de toutes ces dérivées d’ordre supérieur contient beaucoup d’informations sur les cos de 𝑥, même s’il ne s’agit que de placer un nombre unique, 𝑥 est égal à zéro. Nous nous servons donc de cette information pour obtenir une approximation de cette entrée. Et vous le faites en créant un polynôme dont les dérivées d’ordre supérieur sont conçues pour correspondre à celles du cosinus, en suivant le même modèle cyclique, nul, moins un ou un modèle sans cycle.

Et pour faire cela, il suffit que chaque coefficient du polynôme suive le même schéma. Mais vous devez diviser chacun par la factorielle appropriée. Comme je l’ai déjà mentionné, c’est ce qui annule les effets en cascade de nombreuses applications de règles d’alimentation. Les polynômes que vous obtenez en arrêtant ce processus à tout moment sont appelés polynômes de Taylor pour le cos de 𝑥. De manière plus générale et donc plus abstraite, si nous avions affaire à une autre fonction que le cosinus, vous calculeriez sa dérivée, sa dérivée seconde, etc., en obtenant autant de termes que vous le souhaitez. Et vous évalueriez chacun d’eux à 𝑥 égal à zéro. Ensuite, pour l’approximation polynomiale, le coefficient de chaque 𝑥 au 𝑛 terme devrait être la valeur de la 𝑛 e dérivée de la fonction évaluée à zéro, mais divisé par 𝑛 factorielle.

Et toute cette formule plutôt abstraite est quelque chose que vous verrez probablement dans n’importe quel texte ou tout cours qui touche aux polynômes de Taylor. Et quand vous le voyez, je veux que vous pensiez à vous-même que ce terme constant garantit que la valeur du polynôme correspond à la valeur de 𝑓. Le terme suivant garantit que la pente du polynôme correspond à la pente de la fonction à 𝑥 égale à zéro. Le terme suivant garantit que le taux de modification de la pente est le même à cet endroit, et ainsi de suite, en fonction du nombre de termes souhaités. Et plus vous choisissez de termes, plus l’approximation est proche. Mais le compromis est que le polynôme que vous obtiendriez serait plus compliqué.

Et pour rendre les choses encore plus générale, si vous vouliez approcher une entrée différente de zéro, que nous appellerons 𝑎, vous pouvez écrire ce polynôme en fonction des puissances de 𝑥 moins 𝑎. Et vous évaluer toutes les dérivées de 𝑓 en cette entrée, 𝑎. Voici à quoi ressemblent les polynômes de Taylor dans leur plus grande généralité. Changer la valeur de 𝑎 change lorsque cette approximation épouse la fonction d’origine, où ses dérivées d’ordre supérieur seront égales à celles de la fonction d’origine.

L’un des exemples les plus simples et significatifs de ceci est la fonction 𝑥 sur le 𝑥, autour de l’entrée 𝑥 égale à zéro. Le calcul des dérivées est super sympa, aussi agréable que possible, parce que la dérivée de 𝑒 de 𝑥 est lui-même. Ainsi, la dérivée seconde est également 𝑒 de 𝑥, comme son troisième, et ainsi de suite. Donc, au point est égal à zéro, tous sont égaux à un. Et ce que cela signifie est notre approximation polynomiale devrait ressembler à un plus un fois 𝑥 plus un plus de deux fois 𝑥 au carré plus un plus de trois fois factorielles 𝑥 cube et ainsi de suite, selon le nombre de termes que vous voulez. Ce sont les polynômes de Taylor pour 𝑒 de 𝑥.

Bon, avec comme base, dans l’esprit de vous montrer à quel point tous les sujets du calcul sont liés, permettez-moi de passer à quelque chose d’amusant, une façon complètement différente de comprendre ce terme de second ordre des polynômes de Taylor, mais géométriquement. C’est lié au théorème fondamental du calcul, dont j’ai parlé dans les chapitres un et huit, si vous avez besoin d’un rappel rapide. Comme nous l’avons fait dans ces vidéos, considérons une fonction qui donne l’aire sous une courbe entre un point gauche fixe et un point variable à droite. Ce que nous allons faire ici, c’est réfléchir à la façon de rapprocher cette fonction d’aire, et non la fonction de la courbe elle-même, comme nous le faisions auparavant. Se concentrer sur ce domaine est ce qui va faire ressortir le terme de second ordre.

Rappelez-vous que le théorème fondamental du calcul est que cette courbe représente lui-même la dérivée de la fonction d’aire. Et c’est parce qu’une légère coup de coude, d𝑥, à droite de la aire liée donne un nouveau bit de la aire qui est à peu près égale à la hauteur des temps de graphique d𝑥. Et ce rapprochement est de plus en plus précise des choix plus en plus petits de d𝑥. Mais si vous voulez être plus précis sur ce changement dans la région étant donné un certain changement de 𝑥 qui ne vise pas à approcher de zéro, vous devez prendre en compte cette partie ici, qui est d’environ un triangle.

Appelons l’entrée à partir 𝑎 et l’entrée au-dessus de 𝑥 de sorte que ce changement est 𝑥 moins 𝑎. La base de ce petit triangle est que le changement, 𝑥 moins 𝑎. Et sa hauteur est la pente de la courbe fois 𝑥 moins 𝑎. Étant donné que cette courbe est la dérivée de la fonction de la aire, sa pente est la dérivée seconde de la fonction de la aire, évaluée à l’entrée 𝑎. Ainsi, l’aire de ce triangle, un demi fois base fois hauteur est une fois et demie la dérivée seconde de cette fonction de aire évaluée à 𝑎, multiplié par 𝑥 moins 𝑎 carré. Et c’est exactement ce que vous verriez avec un polynôme de Taylor. Si vous saviez les différentes informations sur cette fonction dérivée de la aire au point 𝑎, comment vous rapprocher la région au point 𝑥 ?

Eh bien, vous devez inclure toute cette région jusqu’à 𝑎, 𝑓 de 𝑎, plus l’aire de ce rectangle ici, qui est la dérivée première fois 𝑥 moins 𝑎, plus l’aire de ce petit triangle, ce qui est parfois une moitié des seconde dérivée fois 𝑥 moins 𝑎 au carré. J’aime beaucoup cela, car même si cela semble un peu brouillon, chacun des termes a un sens très clair que vous pouvez simplement pointer sur le diagramme. Si vous vouliez, nous pourrions appeler cela une fin ici. Et vous auriez un outil extrêmement utile pour les approximations avec ces polynômes de Taylor. Mais si vous pensez comme un mathématicien, vous pouvez vous demander s’il est logique de ne jamais s’arrêter et d’ajouter simplement une infinité de termes.

En mathématiques, une somme infinie s’appelle une série. Ainsi, même si l’une de ces approximations contenant un nombre fini de termes est appelée un polynôme de Taylor, l’ajout de tous les termes à une infinité de termes donne ce qu’on appelle une série de Taylor. Il faut être très prudent avec l’idée d’une série infinie car il n’a pas de sens d’ajouter une infinité de choses. Vous ne pouvez appuyer sur le bouton plus de la calculatrice autant de fois. Mais si vous avez une série où ajouter de plus en plus de termes, ce qui a un sens à chaque étape, vous rapproche de plus en plus d’une valeur spécifique, vous dites que la série converge vers cette valeur. Ou, si vous êtes prêt à élargir la définition de l’égalité pour inclure ce type de convergence de séries, vous diriez que la série dans son ensemble, cette somme infinie, est égale à la valeur vers laquelle elle converge.

Par exemple, regardez le polynôme de Taylor pour 𝑒 de 𝑥 et posez une entrée comme 𝑥 est égal à un. Comme vous ajoutez de plus en plus des termes polynomiaux, la somme totale se rapproche et plus proche de la valeur 𝑒. Donc, vous dites que cette série infinie converge vers le nombre 𝑒. Ou, ce qui est dit la même chose, qu’il est égal au nombre 𝑒. En fait, il s’avère que si vous connectez une autre valeur de 𝑥, telle que 𝑥 en vaut deux, et regardez la valeur des polynômes de Taylor d’ordre supérieur et supérieur à cette valeur, ils convergeront vers 𝑒 vers le 𝑥, qui dans ce cas est 𝑒 au carré. Et ceci est vrai pour toute entrée, quelle que soit sa distance par rapport à zéro, même si ces polynômes de Taylor sont construits uniquement à partir d’informations dérivées collectées à l’entrée zéro.

Dans un cas comme celui-ci, nous disons que 𝑒 pour le 𝑥 équivaut à sa propre série de Taylor pour toutes les entrées 𝑥, ce qui est plutôt magique. Et même si cela est également vrai pour quelques autres fonctions importantes, comme les sinus et les cosinus, ces séries convergent parfois dans un certain intervalle autour de l’entrée dont vous utilisez les informations dérivées. Si vous établissez la série de Taylor pour le logarithme naturel de 𝑥 autour de l’entrée 𝑥 est égal à un, construit en évaluant les dérivées d’ordre supérieur du log naturel de 𝑥 en 𝑥 égal à un, voici à quoi cela ressemblerait. Lorsque vous connectez une entrée entre zéro et deux, ajouter de plus en plus de termes de cette série vous rapprochera de plus en plus du logarithme naturel de cette entrée.

Mais en dehors de cette fourchette, même d’un tout petit peu, cette série n’approche rien. Au fur et à mesure que vous ajoutez de plus en plus de termes, la somme est très variable. Comme on pouvait s’y attendre, elle n’approche pas le logarithme naturel de cette valeur, même si le logarithme naturel de l’entrée 𝑥 est parfaitement défini pour les entrées supérieures à deux. Dans un certain sens, l’information de la dérivée de ln de 𝑥 en 𝑥 égal à un ne se propage pas loin. Dans un cas comme celui-ci où l’ajout de termes supplémentaires de la série n’approche rien, vous dites que la série diverge. Et cette distance maximale entre l’entrée que vous approchez et les points où les sorties de ces polynômes convergent réellement est appelée le rayon de convergence de la série de Taylor.

Il ne reste plus rien à apprendre sur la série de Taylor. Il existe de nombreux cas d’utilisation, des tactiques pour placer des limites sur l’erreur de ces approximations, des tests pour comprendre quand les séries convergent ou ne convergent pas. Et d’ailleurs, il reste encore beaucoup à apprendre sur le calcul dans son ensemble et sur les innombrables sujets non touchés par cette série. L’objectif de ces vidéos est de vous donner les intuitions fondamentales qui vous permettent de vous sentir confiant et efficace pour en apprendre plus par vous-même et potentiellement pour redécouvrir davantage le sujet pour vous-même. Dans le cas des séries de Taylor, l’intuition fondamentale à garder à l’esprit lorsque vous explorez davantage ce qu’il existe est qu’elles traduisent les informations dérivées en un seul point en informations d’approximation autour de ce point.

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