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Vidéo de question : Étude d’un corps au repos en équilibre sur un plan incliné lisse au moyen d’une force non parallèle au plan Mathématiques

Un objet de poids 90 kgp est placé sur un plan lisse incliné d'un angle de 30° sur l'horizontale. Si l'objet est maintenu en équilibre au moyen d'une force 𝐹 qui agit à un angle de 30° au-dessus du plan, alors déterminez les intensités de 𝐹 et 𝑟, où 𝑟 est la réaction du plan sur l’objet.

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Transcription de vidéo

Un objet de 90 kilogrammes-poids est placé sur un plan lisse incliné de 30 degrés par rapport à l’horizontale. Si l’objet est maintenu en équilibre au moyen d’une force 𝐹 qui agit à un angle de 30 degrés par rapport à la pente du plan, déterminez les intensités de 𝐹 et 𝑟, où 𝑟 est la réaction du plan sur l’objet.

On commence par tracer un schéma pour mieux comprendre la question. Un objet de 90 kilogrammes-poids est placé sur un plan lisse. On nous dit que le plan est incliné de 30 degrés par rapport à l’horizontale. L’objet est maintenu en équilibre par une force 𝐹. Et cela agit à un angle de 30 degrés au-dessus du plan. On nous demande de calculer l’intensité de cette force 𝐹 et 𝑟 la réaction du plan sur l’objet. La force de réaction va agir dans la direction perpendiculaire au plan.

Dans cette question, on a trois forces agissant en un point. Puisque l’objet est en équilibre, on peut utiliser le théorème de Lami pour le résoudre. Cela indique que lorsque trois forces agissant sur un point sont en équilibre, chaque force est proportionnelle au sinus de l’angle entre les deux autres forces. Si nous avons trois forces 𝐴, 𝐵 et 𝐶, alors 𝐴 sur sin 𝛼 est égal à 𝐵 sur sin 𝛽, qui est égal à 𝐶 sur sin 𝛾, où 𝛼 est l’angle entre les forces 𝐵 et 𝐶, 𝛽 est l’angle entre les forces 𝐴 et 𝐶, et 𝛾 est l’angle entre les forces 𝐴 et 𝐵.

Dans notre schéma, l’on commence par calculer les angles entre les trois forces. L’angle entre la force 𝐹 et la force de réaction est de 60 degrés, car 90 moins 30 est égal à 60. C’est l’angle qui est opposé au poids. L’angle entre la force de réaction et le poids est de 150 degrés, car il est de 90 degrés plus 60 degrés. Cet angle est opposé à la force 𝐹. Enfin, l’angle entre le poids et la force 𝐹 est également de 150 degrés, car les angles en un point doivent totaliser 360 degrés. Cet angle est opposé à la force de réaction 𝑟.

Ensuite l’on peut substituer ces valeurs dans le théorème de Lami. On a 𝐹 sur le sin de 150 degrés est égal à 𝑟 sur le sin de 150 degrés, ce qui est égal à 90 sur le sin de 60 degrés. Le sin de 150 degrés est un demi. Et comme la division par un demi revient à multiplier par deux, les deux premières parties de notre équation se simplifient en deux 𝐹 et deux 𝑟. Le sin de 60 degrés est égal à la racine de trois sur deux. 90 divisé par la racine de trois sur deux est 180 sur la racine de trois. On peut rationaliser cela en multipliant le numérateur et le dénominateur par la racine de trois. Cela nous donne 180 fois racine de trois sur trois, ce qui se simplifie à 60 fois racine de trois. Deux 𝐹 et deux 𝑟 sont tous les deux égaux à 60 fois racine de trois. En divisant par deux, on voit que 𝐹 est égal à 𝑟, ce qui est égal à 30 fois racine de trois.

On peut donc conclure que la force 𝐹 est égale à 30 fois racine de trois kilogrammes-poids et la force de réaction 𝑟 est elle-aussi égale à 30 fois racine de trois kilogrammes-poids.

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