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Vidéo de question : Utiliser des identités trigonométriques pour trouver la valeur d’une fonction trigonométrique impliquant des angles remarquables Mathématiques

Calculez sec (300°) sans utiliser de calculatrice.

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Transcription de vidéo

Calculez la sécante de 300 degrés sans utiliser de calculatrice.

Nous commençons par rappeler que la fonction sécante est l’inverse de la fonction cosinus, de sorte que la sécante de 𝜃 est égale à un sur le cosinus de 𝜃. Cela signifie que la sécante de 300 degrés est égale à un sur le cosinus de 300 degrés. Ensuite, nous allons tracer le cercle trigonométrique afin de déterminer dans quel quadrant se situe 300 degrés. Nous savons que tout angle en position standard est mesuré à partir de l’axe des abscisses positives. Si l’angle est positif, comme dans le cas présent, nous mesurons dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

En marquant les angles 90, 180, 270 et 360 degrés, nous voyons que 300 degrés se situe dans le quatrième quadrant. En effet, 300 est supérieur à 270 mais inférieur à 360. Nous savons que tout point situé sur le cercle trigonométrique a pour coordonnées cosinus 𝜃, sinus 𝜃. Cela signifie que le point auquel le côté final de notre angle coupe le cercle trigonométrique a pour coordonnées cosinus de 300 degrés, sinus de 300 degrés. Dans le quatrième quadrant, l’abscisse 𝑥 est positive et l’ordonnée 𝑦 est négative. Cela signifie que le cosinus de 300 degrés est nécessairement positif.

Afin de calculer la valeur du cosinus de 300 degrés, nous commençons par marquer le plus petit angle positif 𝛼. Ceci est la mesure de l’angle aigu entre le côté final et l’axe des abscisses dans notre schéma. Puisque les angles d’un tour complet ou révolution font 360 degrés, nous avons 𝛼 plus 300 degrés égale 360 degrés. Soustraire 300 degrés des deux membres de cette équation nous donne 𝛼 égale 60 degrés. Le plus petit angle positif dans cette question est égal à 60 degrés.

Ensuite, nous pouvons tracer une droite perpendiculaire à l’axe des abscisses passant par le point d’intersection comme indiqué. Cela crée un triangle rectangle avec une hypoténuse de longueur un. Le côté adjacent à l’angle de 60 degrés et à l’angle droit a une longueur égale à la valeur absolue du cosinus de 300 degrés. Et puisque le cosinus de 300 degrés est positif, cela est égal à la longueur du côté adjacent.

Nous pouvons maintenant utiliser notre connaissance de la trigonométrie dans le triangle rectangle, où le cosinus de l’angle 𝜃 est égal à l’adjacent sur l’hypoténuse. Cela signifie que le cosinus de 60 degrés est égal au cosinus de 300 degrés sur un. 60 degrés est l’un de nos angles remarquables. Et nous savons que le cosinus de cet angle est égal à un demi. Le cosinus de 300 degrés est donc de même égal à un demi. Nous pouvons maintenant utiliser cela pour calculer la valeur de la sécante de 300 degrés. Cela est égal à un divisé par un demi, ce qui est égal à deux.

En utilisant notre connaissance des identités trigonométriques, des petits angles positifs et du cercle trigonométrique, nous avons constaté que la sécante de 300 degrés est deux.

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