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Vidéo de question : Déterminer les valeurs d’expressions à l’aide de fonctions et d’exposants Mathématiques

Étant données 𝑓₁(𝑥) = 8^(𝑥) et 𝑓₂(𝑥) = (1/8)^(𝑥), déterminez la valeur de (𝑓₁(9/2) - 𝑓₂(-4))/(𝑓₁(5/2) - 𝑓₂(-2)).

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Transcription de vidéo

Étant donné que 𝑓 un de 𝑥 égale huit à la puissance 𝑥 et 𝑓 deux de 𝑥 égale un sur huit à la puissance 𝑥, déterminez la valeur de 𝑓 un de neuf sur deux moins 𝑓 deux de moins quatre sur 𝑓 un de cinq sur deux moins 𝑓 deux de moins deux.

Donc, notre premier terme sera de huit à la puissance neuf sur deux. Nous obtenons cela parce que nous avons 𝑓 un de neuf sur deux. Par conséquent, nous allons substituer 𝑥 par neuf sur deux dans notre fonction, qui est 𝑓 un. Ensuite, nous allons obtenir moins un sur huit à la puissance moins quatre parce que nous avons substitué cela à notre 𝑥. Et puis nous avons huit à la puissance cinq sur deux parce que nous avons substitué cinq sur deux à 𝑥, puis moins un sur huit à la puissance moins deux. D’accord, super ! Alors, que faisons-nous maintenant ?

Eh bien, maintenant, ce que nous devons faire, c’est de commencer à utiliser certaines de nos lois sur les exposants. Bon, le premier est que si nous avons 𝑥 à la puissance moins un, cela va être égal à un sur 𝑥. Nous pouvons donc réécrire ce que nous avons comme huit à la puissance neuf sur deux moins huit à la puissance moins un le tout à la puissance moins quatre divisé par huit à la puissance cinq sur deux moins huit à la puissance de moins un à la puissance moins deux.

Nous pouvons donc appliquer une autre de nos règles sur les exposants. Et c’est si nous avons 𝑥 à la puissance 𝑎 à la puissance 𝑏, cela est égal à 𝑥 à la puissance 𝑎𝑏. Nous multiplions donc nos exposants. Alors, ce que nous allons obtenir, c’est huit à la puissance neuf sur deux moins huit à la puissance quatre. Et c’est parce que nous avons moins un multiplié par moins quatre, ce qui nous donne quatre, puis tous divisés par huit à la puissance cinq sur deux moins huit au carré.

Donc, c’est à ce stade que nous nous demandons peut-être ce que nous allons faire. Eh bien, c’est ici que nous devons remarquer quelque chose. Et c’est que nous pouvons factoriser certains des termes que nous avons dans notre expression. Ce que nous pouvons voir, c’est que nous avons en fait un facteur qui est le même dans le numérateur et le dénominateur. Et c’est un moins huit à la puissance moins un demi. Eh bien, comment l’obtenir ?

Bon, si vous regardez le numérateur, nous avons huit à la puissance neuf sur deux multiplié par un moins huit à la puissance moins un demi. Donc, si nous allons multiplier huit à la puissance neuf sur deux et huit à la puissance moins un demi, alors nous ajouterons les exposants. Eh bien, neuf sur deux plus moins un sur deux nous donne huit sur deux, soit quatre, ce que nous avions précédemment au numérateur.

Donc, si nous regardons le dénominateur, nous avons huit à la puissance cinq sur deux multiplié par un moins huit à la puissance moins un demi. Donc, encore une fois, si nous avions nos exposants, nous allons avoir cinq sur deux plus moins un demi, ce qui nous donne quatre sur deux ou deux, encore une fois ce que nous avions à l’origine. D’accord, super ! Alors maintenant, quelle est notre prochaine étape ?

Eh bien, le un moins huit à la puissance moins un demi va être simplifié du numérateur et du dénominateur parce que nous pouvons diviser par cela. Donc, ce que nous allons avoir, c’est huit à la puissance neuf sur deux divisé par huit à la puissance cinq sur deux. Nous pouvons donc utiliser une autre de nos lois sur les exposants. Et c’est que 𝑥 à la puissance 𝑎 divisé par 𝑥 à la puissance 𝑏 égale 𝑥 à la puissance 𝑎 moins 𝑏. Donc, ce que nous allons obtenir, c’est huit à la puissance neuf sur deux moins cinq sur deux. Eh bien, neuf sur deux est la même chose que quatre et demi. Et cinq sur deux est la même chose que deux et demi. Alors, quatre et demi moins deux et demi nous donne juste deux.

Donc, nous avons huit à la puissance deux ou huit au carré. Donc, nous pouvons dire que la valeur de notre expression est 64.

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