Transcription de la vidéo
Parmi les affirmations suivantes, laquelle décrit correctement la monotonie de la fonction représentée dans la figure ci-dessous ? (A) La fonction est croissante sur cinq, huit, constante sur moins un, cinq et décroissante sur moins deux, moins un. (B) La fonction est croissante sur moins deux, moins un, constante sur moins un, cinq et décroissante sur cinq, huit. (C) La fonction est croissante sur moins deux, cinq et décroissante sur cinq, huit. (D) La fonction est croissante sur cinq, huit et décroissante sur moins deux, cinq.
Nous aurons probablement déduit ce que nous entendons par monotonie d’une fonction à la lecture de l’énoncé. La monotonie indique simplement si la fonction est croissante ou décroissante. Nous rappelons que si une fonction est croissante sur un intervalle donné, alors sa pente est positive. Si elle est décroissante, sa pente est négative. Si la fonction est constante, alors elle est représentée par une ligne horizontale. Examinons à présent le graphe de notre fonction.
Nous pouvons voir qu’il comporte trois sections principales. La première section est comprise entre moins deux et moins un sur l’axe des 𝑥. La seconde section est comprise entre moins un et cinq et la troisième section est comprise entre cinq et huit. Considérons chacune de ces sections l’une après l’autre. Nous pouvons voir que la pente de la première partie de notre fonction est positive. La courbe monte. Puis, nous pouvons voir une ligne horizontale entre 𝑥 égale moins un et 𝑥 égale cinq. La troisième partie du graphe a une pente négative. La courbe descend. Nous en déduisons que notre fonction est croissante dans un premier temps, puis constante et enfin décroissante. Nous devons identifier les intervalles exacts sur lesquels cela se produit.
La pente du graphe est positive entre 𝑥 égale moins deux et moins un. Nous définissons cet intervalle comme l’intervalle ouvert de moins deux à moins un. Nous n’utilisons pas d’intervalles fermés car nous ne savons pas vraiment ce qui se passe aux bornes. Par exemple, le graphe de notre fonction forme un sommet en 𝑥 égale moins un. Ainsi, nous ne pouvons pas inclure 𝑥 égale moins deux et 𝑥 égale moins un dans notre intervalle.
De la même manière, la fonction est constante sur l’intervalle ouvert de moins un à cinq. Puis, elle est décroissante sur l’intervalle ouvert de cinq à huit. Comme précédemment, le graphe forme des sommets aux bornes des intervalles, donc nous ne savons pas vraiment ce qui s’y passe. Nous ne pouvons pas savoir si la fonction est croissante, décroissante ou constante.
Par conséquent, nous pouvons conclure que la bonne réponse est la proposition (B). La fonction est croissante sur l’intervalle ouvert de moins deux à moins un, constante sur l’intervalle ouvert de moins un à cinq et décroissante sur l’intervalle ouvert de cinq à huit.
