Vidéo : Triangle de puissance

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Triangle de puissance

07:41

Transcription de vidéo

Habituellement, je ne pense pas que la notation en mathématiques compte autant. Ne vous méprenez pas. J’apprécie une mauvaise notation autant que mon prochain, et il y a clairement quelques changements simples dans nos conventions qui pourraient accélérer l’apprentissage pour les étudiants en mathématiques du monde entier.

Mais en fin de compte, la notation, bonne ou mauvaise, n’est tout simplement pas l’intérêt des mathématiques. Même les symboles et la syntaxe les plus soigneusement conçus ne parviendront pas à saisir le visuel sous-jacent constituant la compréhension.

Je pense donc qu’il vaut mieux passer du temps à se concentrer sur cette essence sous-jacente et laisser les symboles être ce qu’ils sont en paix.

Mais cela dit, lorsque la notation non intuitive bloque activement la vitesse de l’apprentissage, cette position sur le sujet se durcit un peu. En particulier, je pense à un trio de syntaxe, qui, lorsque vous vous en tenez à cela, est une source de friction flagrante dans l’enseignement des mathématiques dans le monde entier.

Si vous prenez le fait que deux fois multiplié par lui-même trois fois est égal à huit, par exemple, nous avons trois façons distinctes d’expliquer cette relation. Deux au cube égal à huit, avec un indice supérieur. La racine cubique de huit est deux, avec un symbole radical probable. Et log à base deux de huit est égale à trois, que nous écrivons en utilisant le mot « log » lui-même.

Qu’est-ce que ces trois façons d’écrire le même fait ont à voir avec l’autre ? Il est correct de définir la syntaxe d’un concept, mais ne le faites pas de manière totalement différente pour un même concept et ne forcez pas les étudiants à apprendre chaque règle du concept à trois reprises. C’est comme si c’était une langue différente.

Cette façon d’écrire n’est pas seulement contre-intuitive; c’est contre-mathématique, car au lieu de faire en sorte que des faits apparemment différents se ressemblent, ce que les mathématiciens devraient faire, il faut trois faits, qui devraient évidemment être identiques, et leur donner un aspect artificiellement différent.

Il suffit de penser à la confusion que vous avez connue pour la première fois en logarithmes. Il s’agit bien entendu d’un problème connu, et Internet ne manque pas de personnes soulevant le même problème avec des suggestions de meilleure notation.

Mais récemment, je suis tombé sur un message d’échange mathématique avec une suggestion si belle, si symétrique, si raisonnable que je dois la partager.

Pour une relation comme deux au cube égal à huit, prenons un triangle et écrivons deux en bas à gauche, trois en haut et huit en bas à droite.

Pour exprimer l’opération de deux au cube, supprimez ce coin inférieur droit. Le symbole dans son ensemble représente la valeur devant figurer dans le coin manquant.

Pour exprimer le log à base deux de huit, qui pose la question « deux à quoi équivaut à huit ? », supprimez le chiffre du haut. Le symbole dans son ensemble représente la valeur devant figurer dans le coin manquant.

Pour exprimer la racine cubique de huit, qui dit « quel nombre sur le troisième pouvoir équivaut à huit ? », supprimez le coin inférieur gauche. Le symbole dans son ensemble représente la valeur devant figurer dans le coin manquant.

En d’autres termes, les trois opérations sont complètement symétriques. Ce triangle mérite un nom et un de mes amis de la Khan Academy a décidé de l’appeler le triangle de puissance. La définition seule est légèrement plaisante, mais cela devient amusant quand on voit à quel point toutes les opérations deviennent plus douces.

Dans notre notation actuelle, il existe six manières différentes d’exprimer les différentes opérations inverses. La plupart d’entre eux sont mémorisés en tant qu’entités séparées. Certains parlent à peine. Et il n’y a pas de tendance discernable, même si toutes décrivent la même idée de base.

Mais les étudiants doivent encore passer six fois plus d’efforts pour mémoriser chacun d’eux, sont six fois plus susceptibles de se tromper et ont six occasions distinctes de décider que les mathématiques sont stupides et ennuyeuses et propices à l’échec, et pourquoi ne pas simplement aller étudier l’art à la place ?

Avec le triangle de puissance, toutes ces opérations suivent le même schéma. Notre cerveau est vraiment doué pour comprendre de tels modèles, et vous pouvez imaginer beaucoup plus facilement une image mentale lisse associée à la propriété.

Cela procure même un plaisir esthétique et, qui sait, peut-être que davantage d’élèves ayant une tendance artistique pourraient considérer cela suffisamment longtemps pour pouvoir constater à quel point leurs intuitions sont précieuses dans la science.

Prenons une autre propriété, comme l’idée que 𝑎 puissance 𝑥 fois 𝑎 puissance 𝑦 est égal à 𝑎 puissance 𝑥 plus 𝑦. La propriété correspondante pour les logarithmes est que log de 𝑥 𝑦 égal log de 𝑥 plus log de 𝑦.

Lorsque vous écrivez ceci avec le triangle de puissance, il est un peu plus facile de voir que ces deux expressions disent vraiment la même chose.

Rappelez-vous que le symbole dans son ensemble représente le nombre au coin manquant. L’expression supérieure indique donc que lorsque vous multipliez deux nombres appartenant au coin inférieur droit du triangle, cela correspond à l’addition des nombres appartenant au sommet supérieur. c’est aussi ce que dit l’expression inférieure : lorsque vous multipliez les nombres en bas à droite, cela correspond à l’ajout de nombres qui appartiennent au haut.

Pour aider les élèves à faire cela, vous pouvez dessiner à l’intérieur du triangle, en disant que lorsque le coin inférieur gauche est constant, les nombres du haut aiment s’ajouter, tandis que ceux du bas à droite se multiplient.

Qu’en est-il lorsqu’un autre coin reste constant, comme le sommet ? Dans ce cas, vous écrivez un signe de multiplication dans les deux coins inférieurs, car avec les exposants et les radicaux, la multiplication se transforme en multiplication.

La question naturelle qu’un étudiant pourrait se poser à partir de là est de savoir s’il existe une règle analogue lorsque le bas-droit reste constant. Il y en a une.

Vous devez introduire une nouvelle opération que, dans cette vidéo, je vais appeler O-plus, où 𝑎 O-plus 𝑏 égale à un sur un sur 𝑎 plus un sur 𝑏.

Ce n’est pas vraiment une chose ridicule à présenter, puisqu’elle apparaît tout le temps en physique, comme lorsque vous calculez une résistance parallèle. Avec ce symbole, vous pouvez dire que, lorsque le nombre inférieur droit reste constant, les nombres supérieurs préfèrent être O-plus ensemble et les nombres inférieurs gauches multipliés.

C’est en fait un très bon lien entre les logarithmes et les racines, et on n’en discute jamais, probablement parce que la notation n’est pas vraiment propice à poser la question.

Je pourrais continuer encore et encore ici, montrant beaucoup d’autres propriétés, mais honnêtement, je pense que le meilleur argument que je puisse faire valoir ici est de vous encourager à l’explorer vous-même. Et notez que presque tout ce qui concerne les exposants, les logs et les radicaux devient plus agréable lorsque vous utilisez le triangle de puissance.

En passant, j’espère qu’il va sans dire que, dans ce monde parfait, les étudiants n’apprendraient pas ces opérations uniquement à l’aide des symboles. Ils devraient quand même demander pourquoi cela est vrai et pourquoi cela ne suit pas un modèle différent.

Mais le fait est que, lorsque la notation reflète réellement le calcul, les questions les plus naturellement posées par les étudiants ont tendance à être celles qui vont directement à l’essentiel de ce qui se passe.

Les asymétries dans la notation correspondent aux asymétries réelles dans la relation numérique 𝑎 à 𝑏 égal lui-même à 𝑐, pas dans les asymétries artificiels de gribouillis et des mots.

Lorsqu’un élève demande pourquoi le sommet aime être ajouté dans un contexte, mais dans un autre contexte, l’enseignant peut indiquer la propriété qui reflète le triangle et inversement, puis il peut commencer à indiquer d’où vient ce fait.

Mon espoir sincère est que les étudiants n’apprennent pas par des schémas symboliques, mais par un raisonnement de fond et une déduction dans leur propre tête. Mais le fait est que la plupart d’entre nous apprenons d’ abord par des manipulations symboliques. Par conséquent, lorsque nous avons la possibilité d’accélérer considérablement ce processus, nous devrions la saisir.

Et si vous êtes d’accord avec moi pour dire que le triangle de puissance est clairement meilleur que ce que nous avons déjà, commencez à l’utiliser dans vos notes pour voir ce que vous ressentez. Passez le mot. Et si vous êtes enseignant, commencez peut-être à enseigner cela à vos étudiants afin que nous puissions les accrocher pendant qu’ils sont encore jeunes.

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