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Vidéo de question : Déterminer la limite d’une fonction à partir de son graphique en un point de discontinuité amovible si la limite existe Mathématiques

Sachant que la courbe suivante représente la fonction définie par 𝑓(𝑥) = (𝑥² - 4)/(𝑥 + 2), déterminez lim_(𝑥 → -2) 𝑓(𝑥).

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Transcription de vidéo

Sachant que la courbe suivante représente la fonction définie par 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins quatre sur 𝑥 plus deux, déterminez la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux.

Regardons notre graphique. Nous pouvons voir que cela ressemble beaucoup au graphique d’une droite. En fait, c’est le cas, avec une petite différence, ce point ouvert ici avec les coordonnées moins deux, moins quatre. Ce point ouvert représente un trou dans le graphique ou un espace dans la droite. Ainsi, 𝑓 de moins deux n’est pas moins quatre.

Il y a une lacune dans le graphique là où nous aimerions regarder. Puisqu’il n’y a pas de point sur le graphique avec l’abscisse 𝑥 moins deux, en fait, 𝑓 de moins deux n’est pas défini. Nous avons utilisé le graphique de 𝑓 de 𝑥 pour déterminer cela. Cependant, nous pourrions également utiliser la règle algébrique qui définit 𝑓 de 𝑥 dans la question.

𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins quatre sur 𝑥 plus deux. Nous pouvons placer le moins deux dans cette fonction. En simplifiant cette expression sur le côté droit, nous obtenons zéro sur zéro. Ici, nous avons utilisé le fait que moins deux au carré est quatre. Ainsi, le numérateur quatre moins quatre donne zéro. De même, le dénominateur moins deux plus deux donne zéro.

Zéro sur zéro est une forme indéterminée, qui n’est pas définie. Ainsi, notre règle algébrique est en accord avec notre graphique. 𝑓 de moins deux est indéfini. Comment cela affecte-t-il la valeur de la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux ?

La valeur de 𝑓 de moins deux n’affecte pas du tout cette limite. Ainsi, 𝑓 de moins deux pourrait être moins quatre, trois, un milliard ou, comme ici, indéfini. Cela n’affecte pas la limite car 𝑥 tend vers moins deux de 𝑓 de 𝑥. Ce qui est important, ce sont les valeurs de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 est très proche de moins deux.

La limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux est la valeur à laquelle 𝑓 de 𝑥 se rapproche de plus en plus lorsque 𝑥 tend vers moins deux. Nous pouvons voir sur le graphique que 𝑓 de moins trois est moins cinq. Lorsque 𝑥 se rapproche de moins deux, 𝑓 de 𝑥 se rapproche de plus en plus vers moins quatre.

La même chose est vraie si nous approchons 𝑥 est égal à moins deux à partir de la droite. 𝑓 de 𝑥 se rapproche de plus en plus de moins quatre. Il s’agit donc la valeur de notre limite. La limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux est moins quatre.

En choisissant une valeur de 𝑥 suffisamment proche de moins deux, vous pouvez rendre 𝑓 de 𝑥 aussi proche que vous le souhaitez de moins quatre. Le fait que la fonction 𝑓 est en fait indéfinie en moins deux n’est pas important.

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