Vidéo : Calculs contenant des espérances

Une expérience qui donne la variable aléatoire discrète X a la distribution de probabilité montrée. Calcule 𝐸(𝑋). Calcule 𝐸(𝑋²). La variance de X peut être calculée à l’aide de la formule Var(𝑋) = 𝐸(𝑋²) − 𝐸(𝑋)². Calcule Var(X) avec 2 décimales de précision.

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Transcription de vidéo

Une expérience qui donne la variable aléatoire discrète 𝑋 a la distribution de probabilité illustrée. Calcule 𝐸 de 𝑋, l’espérance de 𝑋.

Cette valeur est l’eséprance de 𝑋, pour laquelle nous avons une formule. C’est la somme des produits des valeurs de 𝑋 avec la probabilité que 𝑋 prenne cette valeur. Donc, dans notre problème, 𝐸 de 𝑋 est deux fois la probabilité que 𝑋 soit égale à deux, 0.1, plus trois fois la probabilité que 𝑋 soit égale à trois, soit 0.3, plus quatre fois 0.2 et cinq fois 0.4. Chaque résultat possible de 𝑋 contribue à un terme de cette somme. En évaluant cette somme, nous obtenons 3.9. Cette valeur est l’espérance de 𝑋 car elle donne en quelque sorte la valeur moyenne de 𝑋 que nous attendions. Si nous répétions l’expérience 𝑛 fois, la somme de nos résultats serait d’environ 3.9 fois 𝑛.

La prochaine partie de notre question consiste à calculer l’espérance de 𝑋 au carré.

Cette quantité nous indique ce à quoi nous devrions nous attendre en moyenne pour le carré du résultat des expériences. Il est important de noter que l’espérance de 𝑋 au carré n’est pas la même chose que l’espérance de 𝑋, le tout au carré. Nous ajoutons la définition de l’espérance de 𝑋 au carré à la définition de l’espérance de 𝑋. Nous utilisons la définition de l’espérance de 𝑋 au carré pour la calculer sur notre exemple. La première issue, qui est deux, contribue deux fois au carré 0.1. La seconde contribue trois fois au carré 0.3. Nous ajoutons quatre fois 0.2 et cinq fois 0.4. En mettant cela dans nos calculatrices, nous obtenons 16.3. Nous pouvons voir que, comme cela est prétendu, cette valeur est différente de l’espérance de 𝑋, que nous avons trouvée égale à 3.9 au carré.

La dernière partie de cette question est la suivante : La variance de 𝑋 peut être calculée à l’aide de la formule Var de 𝑋, ou la variance de 𝑋 est égale à l’espérance de 𝑋 au carré moins l’espérance de 𝑋, le tout au carré. Calculer Var de 𝑋, la variance de 𝑋, au centième près.

Nous avons déjà calculé l’espérance de 𝑋 au carré. C’est 16.3. Et de cela, nous devons soustraire l’espérance de 𝑋, le tout au carré. Donc, cela fait 3.9 au carré. En mettant cela dans nos calculatrices, nous obtenons 1.09. Il n’est donc pas nécessaire d’arrondir cette valeur au centième près, car elle ne possède déjà que deux décimales. Et voici donc notre réponse : la variance de 𝑋 est de 1.09.

Eh bien, l’espérance de la variable aléatoire discrète 𝑋 te donne une sorte de résultat représentatif ou moyenne de la variable aléatoire. La variance de 𝑋 t’indique l’étendue des résultats. Pour calculer la variance d’une variable aléatoire discrète 𝑋, tu dois non seulement connaître l’espérance de 𝑋, mais également l’espérance de 𝑋 au carré. Il est important de savoir que ce n’est pas la même chose que l’espérance de 𝑋, le tout au carré. Si c’était le cas, la variance d’une variable aléatoire discrète 𝑋 serait toujours nulle, à partir de la définition. La variance d’une variable aléatoire discrète 𝑋 est la deuxième chose la plus importante après son espérance. Et donc la variance est très utilisée dans les statistiques de haut niveau.

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