Vidéo : Visualiser l’hypotèse de Riemann et le prolongement analytique

Grant Sanderson • 3Blue1Brown • Boclips

Visualiser l’hypotèse de Riemann et le prolongement analytique

20:42

Transcription de vidéo

La fonction zêta de Riemann est l’un des objets de l’Analyse moderne dont beaucoup d’entre vous ont peut-être entendu parler, mais qui peut être très difficile à comprendre. Ne vous inquiétez pas, je vais vous expliquer l’animation que vous venez de voir dans quelques minutes. Beaucoup de gens sont au courant de cette fonction car il y a un prix d’un million de dollars pour tous ceux qui peuvent comprendre quand cela est égal à zéro. Un problème ouvert connu sous le nom d’hypothèse de Riemann. Certains d’entre vous en ont peut-être entendu parler dans le contexte de la somme divergente un plus deux plus trois plus quatre et ainsi de suite, jusqu’à l’infini. Vous voyez, il y a un sens dans lequel la somme est égale à moins un douzième, ce qui semble absurde sinon manifestement faux. Mais une façon courante de définir ce que cette équation dit réellement utilise la fonction zêta de Riemann.

Mais comme le savent tous les passionnés de maths occasionnels qui ont commencé à lire ceci, sa définition fait référence à cette idée appelée prolongement analytique, qui concerne les fonctions à valeurs complexes. Et cette idée peut être frustrante, opaque et peu intuitive. Donc, ce que j’aimerais faire ici, c’est simplement vous montrer à quoi ressemble cette fonction zêta et expliquer en quoi consiste cette idée de prolongement analytique de manière visuelle et plus intuitive. Je suppose que vous connaissez les nombres complexes et que vous êtes à l’aise pour les utiliser. Et je suis tenté de dire que vous devriez connaître le calcul puisque le prolongement analytique concerne uniquement les dérivées. Mais pour ce qui est de ma manière de présenter les choses, je pense que vous pourriez vous en sortir sans cela.

Donc, pour être clair, définissons simplement ce qu’est cette fonction zêta. Pour une entrée donnée, où l’on utilise couramment la variable 𝑠, la fonction est un sur un à la puissance 𝑠, ce qui est toujours un, plus un sur deux puissance 𝑠 plus un sur trois puissance 𝑠 plus un sur quatre puissance 𝑠, et ainsi de suite, en continuant sur tous les entiers naturels. Donc, par exemple, disons que vous insérez une valeur telle que 𝑠 est égal à deux. Vous auriez un plus un sur quatre plus un sur neuf plus un seizième. Et comme vous continuer à ajouter de plus en plus des inverses, on se trouve juste à approcher π carré sur six, ce qui est autour de 1.645. Il y a une très belle raison pour laquelle 𝜋 se présente ici. Et je pourrais faire une vidéo dessus plus tard.

Mais ce n’est que la pointe de l’iceberg pour laquelle cette fonction est magnifique. Vous pouvez faire la même chose pour d’autres entrées 𝑠, comme trois ou quatre. Et parfois, vous obtenez d’autres valeurs intéressantes. Et jusqu’à présent, tout semble assez raisonnable. Vous additionnez des quantités de plus en plus petites, et ces sommes s’approchent d’un certain nombre. Génial, pas de folie ici. Pourtant, si vous lisiez à ce sujet, vous verrez peut-être certaines personnes dire que le zêta de moins un est égal à moins un douzième. Mais en regardant cette somme infinie, cela n’a aucun sens. Lorsque vous élevez chaque terme à la puissance moins un, en retournant chaque fraction, vous obtenez un plus deux, plus trois plus quatre, encore et encore, sur tous les nombres naturels. Et, évidemment, cela n’approche rien, surtout pas un douzième, non ?

Et, comme le savent tous les mercenaires qui étudient l’hypothèse de Riemann, cette fonction aurait des zéros triviaux aux nombres pairs négatifs. Ainsi, par exemple, cela voudrait dire que le zêta de moins deux est égal à zéro. Mais lorsque vous poser le moins deux, cela vous donne un plus quatre plus neuf plus 16 plus encore, ce qui, encore une fois, n’approche évidemment de rien, encore moins de zéro, non ? Eh bien, nous arriverons à des valeurs négatives dans quelques minutes. Mais pour le moment, disons simplement la seule chose qui semble raisonnable. Cette fonction n’a de sens que lorsque 𝑠 est strictement supérieur à un, c’est-à-dire lorsque cette somme converge. Jusqu’à présent, cela n’est tout simplement pas défini pour d’autres valeurs.

Cela dit, Bernhard Riemann était un peu le père d’une analyse complexe, à savoir l’étude de fonctions comportant des nombres complexes en entrée et en sortie. Donc, plutôt que de penser à la façon dont cette somme prend un certain nombre 𝑠 sur la droite réelle d’un nombre à un autre nombre sur la droite réelle, son principal objectif était de comprendre ce qui se passe lorsque vous poser une valeur complexe pour 𝑠. Ainsi, par exemple, peut-être au lieu de poser deux, vous posez deux plus 𝑖. Maintenant, si vous n’avez jamais vu l’idée d’élever un nombre à une puissance complexe, vous pouvez vous sentir un peu étonné au début. Parce que cela n’a plus rien à voir avec la multiplication répétée. Mais les mathématiciens ont découvert qu’il existait un moyen très agréable et très naturel d’étendre la définition des exposants au-delà de leur territoire familier de nombres réels et dans le domaine des valeurs complexes.

Ce n’est pas très important de comprendre les exposants complexes dans mon parcours avec cette vidéo. Mais je pense que ce sera toujours bien si nous résumons l’essentiel ici. L’idée de base est que lorsque vous écrivez quelque chose comme la moitié de la puissance d’un nombre complexe, vous le divisez en une moitié de la partie réelle par un demi de la partie imaginaire pure. Nous sommes bons sur la moitié de la partie réelle ; il n’y a pas de problème là-bas. Mais qu’en est-il d’élever quelque chose à un nombre imaginaire pur ? Le résultat sera un nombre complexe sur le cercle unitaire dans le plan complexe. Lorsque vous laissez cette entrée imaginaire pure parcourir la ligne imaginaire, la sortie résultante parcourt ce cercle unitaire.

Pour une puissance comme un demi, la sortie tourne lentement autour de l’unité. Mais pour une base plus éloignée de la nôtre, comme un neuvième, alors que vous laissez cette entrée parcourir l’axe imaginaire de haut en bas, la sortie correspondante se déplacera plus rapidement sur le cercle unité. Si vous n’avez jamais vu cela et que vous vous demandez pourquoi, alors que cela se produit, j’ai laissé quelques liens vers de bonnes ressources dans la description. Car ici, je vais juste avancer avec le quoi sans le pourquoi. La principale chose à retenir est que lorsque vous élevez quelque chose comme un demi à la puissance deux plus 𝑖, ce qui correspond à un demi au carré fois la moitié de 𝑖. Cette moitié à la partie 𝑖 va être sur le cercle unité, ce qui signifie qu’il a une valeur absolue égale à un.

Ainsi, lorsque vous le multipliez, cela ne change pas la taille du nombre ; cela prend juste ce quart et le tourne un peu. Donc, si vous deviez poser deux plus 𝑖 dans la fonction zêta, une façon de penser à ce qu’il fait est de commencer avec toutes les conditions posées à la puissance deux. Que vous pouvez considérer comme assemblant des segments dont les longueurs sont les inverses des carrés des nombres qui, comme je l’ai déjà dit, converge vers π au carré sur six. Ensuite, lorsque vous modifiez cette entrée de deux à deux plus 𝑖, chacune de ces segments est soumise à une rotation. Mais surtout, les longueurs de ces segments ne changeront pas, donc la somme converge toujours. On le fait simplement dans une spirale à un point spécifique du plan complexe.

Ici, laissez-moi vous montrer à quoi ça ressemble quand je fais varier l’entrée 𝑠 représentée par ce point jaune sur le plan complexe. Là où cette somme en spirale est toujours va toujours montrer la valeur de convergence pour zêta de 𝑠.

Ce que cela signifie est que zêta de 𝑠, définie comme cette somme infinie, est une fonction complexe tout à fait raisonnable, tant que la partie réelle de l’entrée est strictement supérieure à un. Cela signifie que l’entrée 𝑠 se situe quelque part sur cette demi-droite du plan complexe. Encore une fois, c’est parce que c’est la partie réelle de 𝑠 qui détermine la taille de chaque nombre, tandis que la partie imaginaire dicte simplement une rotation. Alors maintenant, ce que je veux faire, c’est visualiser cette fonction. Elle prend des entrées dans la demi-droite du plan complexe et crache des sorties quelque part dans le plan complexe. Une façon très agréable de comprendre des fonctions complexes consiste à les visualiser sous forme de transformations. Cela signifie que vous regardez toutes les entrées possibles de la fonction et que vous la laissez passer à la sortie correspondante.

Par exemple, prenons un moment et essayez de visualiser quelque chose d’un peu plus facile que la fonction zêta, comme 𝑓 de 𝑠 est égal à 𝑠 carré. Lorsque vous posez 𝑠 est égal à deux, vous en obtenez quatre. Nous allons donc finir par déplacer ce point à deux au lieu de quatre. Lorsque vous posez moins un, vous en obtenez un. Donc, le point moins un ici, on va finir par passer à un pour le point final. Lorsque vous posez 𝑖, par définition, son carré est moins un, il va donc passer ici à moins un. Maintenant, je vais ajouter une grille plus colorée. Et c’est simplement parce que les choses vont commencer à bouger. Et c’est plutôt agréable d’avoir quelque chose qui distingue les lignes de la grille pendant ce mouvement. À partir de là, je dirai à l’ordinateur de déplacer chaque point de cette grille vers la sortie correspondante sous la fonction 𝑓 de 𝑠 égale au carré de 𝑠. Voici à quoi ça ressemble.

Cela peut être très difficile à saisir, je vais donc recommencer. Et cette fois, concentrez-vous sur l’un des points marqués. Et remarquez comment il se déplace vers le point correspondant à son carré. Il peut être un peu compliqué de voir tous les points bouger en même temps. Mais la récompense est que cela nous donne une image très riche de ce que la fonction complexe accomplit réellement. Et tout se passe en seulement deux dimensions. Revenons donc à la fonction zêta, nous avons cette somme infinie, qui est fonction d’ un certain nombre complexe 𝑠. Et nous nous sentons heureux d’inclure des valeurs de 𝑠 dont la partie réelle est supérieure à un. Et obtenir des résultats significatifs via la somme en spirale convergente.

Donc, pour visualiser cette fonction, je vais prendre la partie de la grille située du côté droit du plan complexe ici, où la partie réelle des nombres est strictement supérieure à un. Et je vais dire à l’ordinateur de déplacer chaque point de cette grille vers la sortie appropriée. En fait, il est utile d’ajouter quelques lignes de grille supplémentaires autour du nombre un. Étant donné que cette région est très étendue par la transformation.

D’accord, alors tout d’abord, apprécions tout simplement à quel point c’est beau. Je veux dire, bon sang, ça ne vous donne pas envie d’en savoir plus sur les fonctions complexes, vous n’avez pas de cœur. Mais aussi, cette grille transformée ne demande qu’à être étendue un peu. Par exemple, nous allons mettre en évidence ces lignes ici, qui représentent tous les nombres complexes avec une partie imaginaire 𝑖 ou moins 𝑖. Après la transformation, ces lignes forment de si beaux arcs avant de s’arrêter brusquement. Tu ne veux pas juste, tu sais, continuer ces arcs ? En fait, vous pouvez imaginer comment une version modifiée de la fonction avec une définition qui s’étend dans cette moitié gauche du plan pourrait compléter cette image avec quelque chose d’assez joli.

Eh bien, c’est exactement ce que font les mathématiciens travaillant avec des fonctions complexes. Ils continuent la fonction au-delà du domaine d’origine où elle a été définie. Désormais, dès que nous posons des entrées dont la partie réelle est inférieure à un, cette somme infinie que nous utilisions à l’origine pour définir la fonction n’a plus de sens. Vous obtiendrez un non-sens, comme d’ajouter un plus deux plus trois plus quatre, encore et encore, jusqu’à l’infini. Mais juste en regardant cette version transformée de la moitié droite du plan où la somme a un sens. Cela nous demande simplement d’étendre l’ensemble des points que nous considérons comme des entrées. Même si cela implique de définir la fonction étendue d’une manière qui n’utilise pas nécessairement cette somme.

Bien sûr, cela nous laisse avec la question, comment définiriez-vous cette fonction sur le reste du plan ? Vous pourriez penser que vous pourriez l’étendre de plusieurs façons. Peut-être que vous définissez une extension qui fait en sorte que le point, disons, 𝑠 est égal à moins un, on passe à moins un douzième. Mais peut-être avez-vous besoin d’une extension qui la fait atterrir sur une autre valeur. Je veux dire, dès que vous vous ouvrez à l’idée de définir la fonction différemment pour des valeurs extérieures à ce domaine de convergence — c’est-à-dire qui ne reposent pas sur cette somme infinie — le monde est à vous. Et vous pouvez avoir un certain nombre d’extensions, non ? Eh bien, pas exactement. Je veux dire oui, vous pouvez donner un marqueur à chaque enfant et lui demander d’étendre ces lignes de quelque manière que ce soit. Mais si vous ajoutez la restriction selon laquelle cette nouvelle fonction étendue doit avoir une dérivée partout, cela nous enferme dans une et une seule extension possible.

Je sais, je sais, j’ai dit que vous n’auriez pas besoin de connaître les dérivées pour cette vidéo. Et même si vous connaissez l’Analyse, vous n’avez peut-être pas encore appris à interpréter les dérivées de fonctions complexes. Mais heureusement pour nous, il y a une très belle intuition géométrique que vous pouvez garder à l’esprit quand je dis une phrase comme « a une dérivée partout ». Ici, pour vous montrer ce que je veux dire, regardons en arrière avec par exemple ce 𝑓 de 𝑠 égal à 𝑠 au carré. Encore une fois, nous pensons à cette fonction comme une transformation en mouvement de tous les points 𝑠 du plan complexe sur les points 𝑠 au carré.

Pour ceux d’entre vous qui connaissent l’Analyse, vous savez que vous pouvez prendre la dérivée de cette fonction en n’importe quelle entrée. Mais il y a une propriété intéressante de cette transformation qui s’avère être liée et presque équivalente à ce fait. Si vous observez deux droites dans l’espace des entrées qui se croisent sous un certain angle et que vous considérez ce qu’elles deviennent après la transformation, elles se recouperont toujours selon le même angle. Les lignes peuvent se courber et c’est bon. Mais l’important est que l’angle où elles se croisent reste inchangé. Et cela est vrai pour toute paire de droites que vous choisissez.

Ainsi, lorsque je dis qu’une fonction a une dérivée partout, je souhaite que vous réfléchissiez à cette propriété qui préserve l’angle. Qu’à chaque fois que deux droites se croisent, l’angle entre elles reste inchangé après la transformation. En un coup d’œil, c’est plus facile à comprendre en remarquant que toutes les courbes transformées par les lignes de la grille se croisent encore en angle droit. Les fonctions complexes qui ont une dérivée partout sont appelées fonctions analytiques. Vous pouvez donc considérer ce terme analytique comme une préservation de l’angle. Certes, je vous mens un peu ici, mais seulement un peu. Une légère mise en garde à l’intention de ceux qui souhaitent connaître tous les détails est qu’aux entrées où la dérivée d’une fonction est égale à zéro, au lieu de conserver les angles, ils sont multipliés par un nombre entier. Mais ces points sont de loin la minorité. Et pour presque toutes les entrées d’une fonction analytique, les angles sont préservés.

Donc, si quand je dis analytique, vous pensez conserver l’angle, je pense que c’est une bonne intuition. Maintenant, si vous y réfléchissez un instant, et c’est un point que je veux vraiment que vous appréciiez, ceci est une propriété très restrictive. L’angle entre toute paire de droites se croisant doit rester inchangé. Et pourtant, à peu près toutes les fonctions portant un nom se révèlent être analytiques. Le domaine de l’analyse complexe, que Riemann a contribué à établir sous sa forme moderne, consiste presque entièrement à exploiter les propriétés des fonctions analytiques pour comprendre les résultats et les modèles dans d’autres domaines des mathématiques et des sciences.

La fonction zêta définie par cette somme infinie sur la moitié droite du plan est une fonction analytique. Remarquez comment toutes ces courbes transformées par les lignes de la grille se croisent encore en angle droit. Le fait surprenant à propos des fonctions complexes est lorsque vous souhaitez étendre une fonction analytique au-delà du domaine où elle a été définie à l’origine. Par exemple, étendre cette fonction zêta dans la moitié gauche du plan. Ensuite, si vous souhaitez que la nouvelle fonction étendue soit toujours analytique (c’est-à-dire qu’elle conserve les angles de croisement partout), elle ne vous oblige qu’à une extension possible, le cas échéant. C’est un peu comme un casse-tête infini et continu où cette exigence de préservation des angles vous conduit à un seul et même choix quant à la manière de l’étendre.

Ce processus consistant à étendre une fonction analytique de la seule manière possible qui est encore analytique est appelé, comme vous l’avez peut-être deviné, prolongement analytique. Voilà comment est définie la fonction zêta complète de Riemann. Pour les valeurs de 𝑠 dans la moitié droite du plan, où la partie réelle est strictement supérieure à un, connectez-les simplement à cette somme et voyez où elle converge. Et cette convergence pourrait ressembler à une sorte de spirale. Car élever chacun de ces termes à une puissance complexe a pour effet de faire pivoter chacun d’eux. Ensuite, pour le reste du plan, nous savons qu’il existe un seul et unique moyen d’élargir cette définition pour que la fonction soit toujours analytique. C’est-à-dire qu’il conserve toujours les angles en chaque point. Donc, nous disons simplement que, par définition, la fonction zêta sur la moitié gauche du plan est celle que cette extension se trouve être. Et c’est une définition valable car il n’y a qu’un seul prolongement analytique possible.

Remarquez, c’est une définition très implicite. Elle dit simplement : utilisez la solution de ce puzzle, qui, à travers une dérivation plus abstraite, doit exister. Mais cela ne précise pas exactement comment le résoudre. Les mathématiciens comprennent très bien à quoi ressemble cette extension. Mais certaines parties importantes restent mystérieuses, un mystère d’un million de dollars en fait. Prenons un moment pour parler de l’hypothèse de Riemann, le problème d’un million de dollars.

Les endroits où cette fonction est égale à zéro s’avèrent être assez importants. Autrement dit, quels points sont associés à l’origine après la transformation ? Une chose que nous savons à propos de cette extension est que les nombres pairs négatifs sont associés à zéro. Ceux-ci sont communément appelées les zéros triviaux. La dénomination ici découle d’une longue tradition de mathématiciens, qui ont qualifié les choses de triviales lorsqu’ils les comprenaient très bien. Même quand c’est un fait, ce n’est pas évident du tout. Nous savons également que le reste des points associés à zéro se trouvent quelque part dans cette bande verticale appelée bande critique.

Et le placement spécifique de ces zéros non triviaux code une information surprenante sur les nombres premiers. C’est en fait assez intéressant de savoir pourquoi cette fonction contient autant d’informations sur les nombres premiers. Et je pense vraiment que je ferai une vidéo à ce sujet plus tard. Mais pour l’instant, les choses sont suffisamment longues, je vais donc laisser les choses inexpliquées. Riemann a émis l’hypothèse que tous ces zéros non triviaux se situent au centre de la bande, sur la droite des nombres 𝑠 dont la partie réelle est un demi. Cela s’appelle la droite critique. Si cela est vrai, cela nous donne une compréhension remarquablement étroite du modèle des nombres premiers ainsi que de nombreux autres modèles en mathématiques qui en découlent.

Jusqu’à présent, lorsque j’ai montré à quoi ressemblait la fonction zêta, je n’ai montré que son effet sur la partie de la grille de l’écran. Et ce genre sous-entend sa complexité. Donc, si je devais mettre en évidence cette droite critique et appliquer la transformation, cela ne semblerait peut-être pas dépasser l’origine. Cependant, voici à quoi ressemble la version transformée de plus en plus de cette droite. Remarquez comment cela passe par le nombre zéro plusieurs fois. Si vous pouvez prouver que tous les zéros non triviaux se situent quelque part sur cette droite, le Clay Math Institute vous donne un million de dollars. Et vous prouveriez également des centaines, voire des milliers, de résultats de mathématiques modernes qui ont déjà été montrés en fonction de l’hypothèse vraie.

Une autre chose que nous savons à propos de cette fonction étendue est qu’elle associe le point moins un au point moins un douzième. Et si vous posez cela dans la somme initiale, il semblerait que nous disions un plus deux plus trois plus quatre, encore et encore, jusqu’à l’infini, équivaut à moins un douzième. Maintenant, il pourrait sembler fallacieux d’appeler cela encore une somme. Puisque la définition de la fonction zêta sur la moitié gauche du plan n’est pas définie directement à partir de cette somme. Au lieu de cela, il s’agit de continuer analytiquement la somme au-delà du domaine où elle converge. C’est-à-dire résoudre le casse-tête qui a débuté dans la moitié droite du plan.

Cela dit, vous devez admettre que le caractère unique de cette suite analytique, le fait que le puzzle n’ait qu’une solution, est très évocateur d’un lien intrinsèque entre ces valeurs étendues et la somme initiale. Pour la dernière animation, et c’est plutôt cool, je vais vous montrer à quoi ressemble la dérivée de la fonction zêta.

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