Vidéo : Addition et soustraction des expressions littérales

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à additionner et à soustraire les expressions littérales en additionnant et en soustrayant les termes similaires.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment additionner et soustraire des expressions littérales en additionnant et en soustrayant des termes similaires. La principale compétence dont nous aurons besoin est la capacité à reconnaître des termes similaires. Les termes similaires sont des termes dont la variable et la puissance sont identiques. Si nous avons des valeurs comme deux et 10, ce sont tous deux des nombres entiers. Ils sont donc considérés comme des termes similaires et peuvent être combinés. Cependant, deux 𝑥 et 10 ne sont pas des termes similaires. Dans ce cas, le deux comporte une variable et le 10 n’en a pas. Cela signifie que ce sont des termes différents.

Qu’en est-il de deux 𝑥 au cube et de 10𝑥 à la puissance quatre ? Ils ont bien la même variable. Mais ils n’ont pas la même variable élevée à la même puissance, ce qui signifie qu’ils ne peuvent pas être combinés et qu’ils ne sont pas des termes similaires. Mais si nous avions deux 𝑥 au cube plus 10𝑥 au cube, puisque ces deux termes ont la même variable élevée à la même puissance, donc ils sont des termes similaires et nous les combinons en additionnant leurs coefficients. Deux 𝑥 au cube plus 10𝑥 au cube égale 12𝑥 au cube. Si vous vous demandez pourquoi cela fonctionne, alors voyons cela d’une autre manière.

Si nous savons qu’un bloc rose égale 𝑥 au carré, qu’un bloc jaune égale 𝑥 et qu’un bloc vert égale un, et que nous voulions réécrire cette première série de blocs, au lieu de dire 𝑥 au carré plus 𝑥 au carré plus 𝑥 au carré pour le rose, nous pouvons écrire cela comme trois 𝑥 au carré. Comme il y a deux blocs jaunes, nous avons deux 𝑥 et les deux blocs verts qui sont des nombres entiers sont deux. Et si nous suivons la même procédure pour la deuxième série de blocs, nous aurons deux 𝑥 au carré plus 𝑥 plus deux. Et en combinant tout cela, nous voyons qu’il y a cinq blocs roses, ce qui signifie qu’il devrait y avoir cinq 𝑥 au carré. Et c’est logique car trois 𝑥 au carré plus deux 𝑥 au carré égalent cinq 𝑥 au carré. Nous combinons leurs coefficients.

En ce qui concerne les termes 𝑥, les blocs jaunes, nous avons trois, deux 𝑥 plus 𝑥 égalent trois 𝑥, et bien sûr pour nos nombres entiers, nous avons quatre blocs verts, qui représentent chacun un, donc quatre au total. Dans cette situation où chaque terme représente une couleur différente, vous ne combineriez jamais le vert et le rose ensemble. De même, nous ne pouvons pas combiner un terme 𝑥 au carré avec un nombre entier. En utilisant cette compétence, allons voir quelques exemples.

Simplifiez deux 𝑠 plus un plus trois 𝑠 plus deux.

Tout d’abord, nous pouvons copier notre expression. Afin de simplifier, nous devons d’abord examiner s’il y a quelque chose à l’intérieur des parenthèses qui peut être simplifiée. Comme deux 𝑠 et un ne sont pas des termes similaires, donc nous ne pouvons pas les additionner. Pareil pour trois 𝑠 et deux ; ils ne peuvent pas être additionnés. Cependant, comme cette expression ne contient que l’addition et que nous pouvons additionner dans n’importe quel ordre, alors nous pouvons supprimer les parenthèses pour voir s’il y a des termes similaires qui peuvent être combinés. Deux 𝑠 et trois 𝑠 ont la même variable et peuvent donc être combinés en combinant leurs coefficients. Deux 𝑠 plus trois 𝑠 seront égaux à deux plus trois 𝑠. Et nous savons aussi que nous pouvons additionner les deux nombres entiers. Un plus deux égale trois, ce qui rend la forme la plus simplifiée de cette expression, cinq 𝑠 plus trois.

Dans notre exemple suivant, nous devrons d’abord faire une substitution. Et ensuite, nous pourrons additionner deux expressions ensemble.

Trouvez 𝐴 plus 𝐵 sachant que 𝐴 égale cinq 𝑠 au cube moins trois 𝑠 et que 𝐵 égale moins six 𝑠 au carré plus trois 𝑠.

On nous demande de trouver 𝐴 plus 𝐵, ce qui signifie que nous introduisons ce que nous savons, que 𝐴 est cinq 𝑠 au cube moins trois 𝑠. Et nous substituons ensuite ce que nous savons de 𝐵, moins six 𝑠 au carré plus trois 𝑠. Pour additionner 𝐴 plus 𝐵, nous devons voir si nous pouvons trouver des termes similaires. Nous avons un terme 𝑠 au cube, deux termes qui ont juste la variable 𝑠, et un terme qui est 𝑠 au carré. Comme nous ne faisons ici que de l’addition et de la soustraction, donc nous pouvons supprimer les parenthèses. Mais là encore, les seules valeurs qui peuvent être additionnées sont celles qui sont des termes similaires. Cela signifie qu’il s’agit de celles dont la variable est élevée à la même puissance.

Dans notre cas, nous pouvons combiner moins trois 𝑠 plus trois 𝑠. Nous ne pouvons pas combiner cinq 𝑠 au cube et six 𝑠 au carré. Même s’ils ont tous deux la variable 𝑠, leurs puissances sont différentes. Mais comment combiner moins trois 𝑠 plus trois 𝑠 ? Eh bien, moins trois 𝑠 plus trois 𝑠 égale à zéro. Et cela signifie que, dans sa forme la plus simplifiée, 𝐴 plus 𝐵 égale cinq 𝑠 au cube moins six 𝑠 au carré.

Et avant d’aller plus loin et d’examiner d’autres exemples, nous devons dire que les mêmes règles s’appliquent à la soustraction des expressions. Vous ne pouvez soustraire que des termes similaires. Nous pourrions soustraire trois 𝑥 moins deux 𝑥. Et nous le faisons en soustrayant deux de trois, les coefficients, soit un 𝑥 ou simplement 𝑥. Cependant, nous ne pourrions pas soustraire deux 𝑥 de trois 𝑥 au carré. Ils ont la même variable mais des puissances différentes. Et donc, nous disons que trois 𝑥 au carré moins deux 𝑥 est juste égal à trois 𝑥 au carré moins deux 𝑥.

Nous allons voir d’autres cas dans notre exemple suivant.

Trouvez 𝐴 moins 𝐵 sachant que 𝐴 égale huit 𝑥 plus deux et 𝐵 égale cinq 𝑥 moins un.

Si l’on veut résoudre 𝐴 moins 𝐵, alors remplaçons par huit 𝑥 au carré plus deux pour 𝐴, et cinq 𝑥 moins un pour 𝐵. Lorsque nous travaillons avec la soustraction de termes, les parenthèses sont très importantes. C’est parce que nous soustrayons tout 𝐵 de 𝐴. Et pour ce faire, nous devons répartir cette soustraction entre les deux termes pour l’expression dans 𝐵. Et cela signifie que nous disons huit 𝑥 plus deux moins cinq 𝑥 mais plus un, parce que nous soustrayons moins un. Et cela signifie que nous additionnons. C’est l’étape où si vous ne faites pas attention, vous obtiendrez une erreur de signe.

Et donc, lorsque vous soustrayez des expressions, vous devez faire très attention à dustribuer correctement la soustraction. Une fois que vous avez fait cela, il suffit de combiner des termes similaires. Nous avons deux termes avec une variable 𝑥 et deux nombres entiers. Pour notre variable 𝑥, nous avons huit 𝑥 moins cinq 𝑥. Et cela signifie que nous soustrayons cinq de huit. N’oubliez pas que la variable ne change pas. Nous faisons juste la soustraction à partir des coefficients. Et puis nous avons deux plus un, ce qui fait trois. Huit moins cinq, c’est trois. Nous avons donc trois 𝑥 plus trois. Dans ce cas, dans ces conditions, 𝐴 moins 𝐵 égale trois 𝑥 plus trois.

Dans notre exemple suivant, nous allons traiter des expressions comportant trois variables différentes.

Soustrayez six 𝑥 à la puissance cinq moins trois 𝑦 au cube plus trois 𝑧 au carré de huit 𝑥 à la puissance cinq moins cinq 𝑦 au cube moins deux 𝑧 au carré.

Pour résoudre ce problème, nous devons réfléchir soigneusement à la manière d’écrire cette soustraction. Nous soustrayons six 𝑥 à la puissance cinq moins trois 𝑦 au cube plus trois 𝑧 au carré de huit 𝑥 à la puissance cinq moins cinq 𝑦 au cube moins deux 𝑧 au carré. Et cela signifie que notre première expression sera huit 𝑥 à la puissance cinq moins cinq 𝑦 au cube moins deux 𝑧 au carré. Et notre deuxième expression sera six 𝑥 à la puissance cinq moins trois 𝑦 au cube plus trois 𝑧 au carré. Comme nous soustrayons la deuxième expression entière de la première, alors nous devons mettre cette deuxième expression entre parenthèses et ensuite distribuer la soustraction sur chaque terme de l’expression.

Dans cette étape, nous prêtons une attention particulière au signe de chaque terme. Six 𝑥 à la puissance cinq est positif. Et nous allons soustraire six 𝑥 à la puissance cinq. Mais le trois 𝑦 au cube est négatif. Et si nous voulons soustraire moins trois 𝑦 au cube, nous réécrivons cela comme plus trois 𝑦 au cube. Le trois 𝑧 au carré est positif. Nous soustrayons trois 𝑧 au carré, que nous pouvons réécrire comme moins trois 𝑧 au carré. Et pour faire une soustraction ici, nous devons voir si nous avons des termes similaires. Ce sont des termes dont les variables sont élevées à la même puissance.

Nous avons un terme, qui est 𝑥 à la puissance cinq, et un autre 𝑥 à la puissance cinq. Nous avons ensuite deux termes avec la variable 𝑦 au cube et deux termes avec la variable 𝑧 au carré. Si vous voulez, vous pouvez regrouper les termes similaires de manière qu’ils se trouvent l’un à côté de l’autre dans l’expression. Ce faisant, faites bien attention aux signes. Et puis on se souvient que, pour regrouper les termes similaires, on combine leurs coefficients. Huit 𝑥 à la puissance cinq moins six 𝑥 à la puissance cinq sera huit moins six 𝑥 à la puissance cinq, soit deux 𝑥 à la puissance cinq.

Pour les deuxièmes termes, nous avons moins cinq 𝑦 au cube plus trois 𝑦 au cube. Cela signifie que nous devons combiner moins cinq et trois, ce qui donne moins deux. Et pour notre terme 𝑧 au carré, nous combinons les coefficients, moins deux et moins trois. Moins deux moins trois, c’est moins cinq. En mettant tout cela ensemble, nous obtenons deux 𝑥 à la puissance cinq moins deux 𝑦 au cube moins cinq 𝑧 au carré.

Avant de laisser cette question, voyons une autre façon de résoudre le problème, en commençant par notre première expression. Au lieu d’écrire la deuxième expression horizontalement, vous pourriez aligner verticalement la deuxième expression sous la première. Notez que nous avons regroupé les termes 𝑥 à la puissance cinq, les 𝑦 au cube et les 𝑧 au carré. Mais là encore, notre plus grand défi est de nous assurer de ne pas faire d’erreurs de signe. Pour le premier terme, nous disons huit 𝑥 à la puissance cinq moins six 𝑥 à la puissance cinq. Nous soustrayons donc six de huit. Et nous obtenons deux 𝑥 à la puissance cinq.

Mais notre deuxième série de termes similaires n’est pas aussi simple. Nous avons moins cinq 𝑦 au cube. Et nous soustrayons moins trois 𝑦 au cube, moins cinq 𝑦 au cube plus trois 𝑦 au cube. C’est la distribution que nous faisons. Moins cinq plus trois est moins deux. Et la variable est 𝑦 au cube. Ensuite nous avons moins deux 𝑧 au carré moins plus trois au carré, ce qui signifie que nous aurons moins deux 𝑧 au carré moins trois 𝑧 au carré. Moins deux moins trois est moins cinq. Et notre variable est 𝑧 au carré. Et nous voyons ici que les deux méthodes donneront le même résultat.

Dans notre dernier exemple, nous utiliserons les compétences d’addition des expressions littérales pour déterminer le périmètre d’un triangle rectangle.

Déterminez le périmètre du triangle rectangle montré sur la figure.

Nous savons que le périmètre d’une figure est la distance tout autour de la figure. Dans le cas de ce triangle, puisque les trois côtés ont des longueurs différentes, donc il faut additionner ces trois côtés. Le premier côté a une mesure de trois 𝑥, plus le deuxième côté, 𝑥 plus trois, plus le troisième côté, deux 𝑥 plus sept. Comme il s’agit uniquement d’addition, nous pouvons regrouper les termes comme nous le voulons. Et nous voulons regrouper nos termes similaires. Trois de nos termes ont une variable 𝑥. Et les deux autres termes sont des nombres entiers.

Nous pourrions réécrire l’expression regroupant les termes 𝑥 et les nombres entiers. À partir de là, pour les termes 𝑥, nous pouvons combiner ces termes en combinant leurs coefficients, qui seraient trois plus un plus deux, soit six. Et pour combiner les nombres entiers, bien sûr, trois plus sept, c’est dix. Comme nous n’avons aucune information sur ce qu’est 𝑥, nous pouvons seulement dire que le périmètre de cette figure est six 𝑥 plus 10.

Avant de terminer, passons en revue les points clés nécessaires pour additionner et soustraire des expressions littérales. Tout d’abord, nous devons reconnaître les termes similaires. Les termes similaires sont des termes dont les variables et les puissances sont identiques. Pour combiner des termes similaires, il faut additionner ou soustraire leurs coefficients. Lorsqu’on additionne et soustrait deux ou plusieurs expressions littérales, les seules valeurs qui peuvent être combinées sont les termes similaires.

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