Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment additionner et soustraire des
expressions algébriques en additionnant et en soustrayant des termes semblables. La principale compétence dont nous aurons besoin est la capacité à reconnaître des
termes semblables. Les termes semblables sont des termes dont la variable et la puissance sont
identiques. Si nous avons des valeurs comme deux et 10, ce sont tous deux des nombres
entiers. Ils sont donc considérés comme des termes semblables et peuvent être combinés. Cependant, deux 𝑥 et 10 ne sont pas des termes semblables. Dans ce cas, le deux comporte une variable et le 10 n’en a pas. Cela signifie que ce sont des termes différents.
Qu’en est-il de deux 𝑥 au cube et de 10𝑥 à la puissance quatre ? Ils ont bien la même variable. Mais ils n’ont pas la même variable élevée à la même puissance, ce qui signifie
qu’ils ne peuvent pas être combinés et qu’ils ne sont pas des termes semblables. Mais si nous avions deux 𝑥 au cube plus 10𝑥 au cube, puisque ces deux termes ont la
même variable élevée à la même puissance, donc ils sont des termes semblables et
nous les combinons en additionnant leurs coefficients. Deux 𝑥 au cube plus 10𝑥 au cube égale 12𝑥 au cube. Si vous vous demandez pourquoi cela fonctionne, alors voyons cela d’une autre
manière.
Si nous savons qu’un bloc rose égale 𝑥 au carré, qu’un bloc jaune égale 𝑥 et qu’un
bloc vert égale un, et que nous voulions réécrire cette première série de blocs, au
lieu de dire 𝑥 au carré plus 𝑥 au carré plus 𝑥 au carré pour le rose, nous
pouvons écrire cela comme trois 𝑥 au carré. Comme il y a deux blocs jaunes, nous avons deux 𝑥 et les deux blocs verts qui sont
des nombres entiers sont deux. Et si nous suivons la même procédure pour la deuxième série de blocs, nous aurons
deux 𝑥 au carré plus 𝑥 plus deux. Et en combinant tout cela, nous voyons qu’il y a cinq blocs roses, ce qui signifie
qu’il devrait y avoir cinq 𝑥 au carré. Et c’est logique car trois 𝑥 au carré plus deux 𝑥 au carré égalent cinq 𝑥 au
carré. Nous combinons leurs coefficients.
En ce qui concerne les termes 𝑥, les blocs jaunes, nous avons trois, deux 𝑥 plus 𝑥
égalent trois 𝑥, et bien sûr pour nos nombres entiers, nous avons quatre blocs
verts, qui représentent chacun un, donc quatre au total. Dans cette situation où chaque terme représente une couleur différente, vous ne
combineriez jamais le vert et le rose ensemble. De même, nous ne pouvons pas combiner un terme 𝑥 au carré avec un nombre entier. En utilisant cette compétence, allons voir quelques exemples.
Simplifiez deux 𝑠 plus un plus trois 𝑠 plus deux.
Tout d’abord, nous pouvons copier notre expression. Afin de simplifier, nous devons d’abord examiner s’il y a quelque chose à l’intérieur
des parenthèses qui peut être simplifié. Comme deux 𝑠 et un ne sont pas des termes semblables, donc nous ne pouvons pas les
additionner. Pareil pour trois 𝑠 et deux ; ils ne peuvent pas être additionnés. Cependant, comme cette expression ne contient que l’addition et que nous pouvons
additionner dans n’importe quel ordre, alors nous pouvons supprimer les parenthèses
pour voir s’il y a des termes semblables qui peuvent être combinés. Deux 𝑠 et trois 𝑠 ont la même variable et peuvent donc être combinés en combinant
leurs coefficients. Deux 𝑠 plus trois 𝑠 seront égaux à deux plus trois 𝑠. Et nous savons aussi que nous pouvons additionner les deux nombres entiers. Un plus deux égale trois, ce qui rend la forme la plus simplifiée de cette
expression, cinq 𝑠 plus trois.
Dans notre exemple suivant, nous devrons d’abord faire une substitution. Ensuite, nous pourrons additionner deux expressions ensemble.
Déterminez 𝐴 plus 𝐵 sachant que 𝐴 égale cinq 𝑠 au cube moins trois 𝑠 et que 𝐵
égale moins six 𝑠 au carré plus trois 𝑠.
On nous demande de déterminer 𝐴 plus 𝐵, ce qui signifie que nous introduisons ce
que nous savons, que 𝐴 est cinq 𝑠 au cube moins trois 𝑠. Et nous substituons ensuite ce que nous savons de 𝐵, moins six 𝑠 au carré plus
trois 𝑠. Pour additionner 𝐴 plus 𝐵, nous devons voir si nous pouvons trouver des termes
semblables. Nous avons un terme 𝑠 au cube, deux termes qui ont juste la variable 𝑠, et un terme
qui est 𝑠 au carré. Comme nous ne faisons ici que de l’addition et de la soustraction, alors nous pouvons
supprimer les parenthèses. Mais là encore, les seules valeurs qui peuvent être additionnées sont celles qui sont
des termes semblables. Cela signifie qu’il s’agit de celles dont la variable est élevée à la même
puissance.
Dans notre cas, nous pouvons combiner moins trois 𝑠 plus trois 𝑠. Nous ne pouvons pas combiner cinq 𝑠 au cube et six 𝑠 au carré. Même s’ils ont tous deux la variable 𝑠, leurs puissances sont différentes. Mais comment combiner moins trois 𝑠 plus trois 𝑠 ? Eh bien, moins trois 𝑠 plus trois 𝑠 égale zéro. Et cela signifie que, dans sa forme la plus simplifiée, 𝐴 plus 𝐵 égale cinq 𝑠 au
cube moins six 𝑠 au carré.
Et avant d’aller plus loin et d’examiner d’autres exemples, nous devons dire que les
mêmes règles s’appliquent à la soustraction des expressions. Vous ne pouvez soustraire que des termes semblables. Nous pourrions soustraire trois 𝑥 moins deux 𝑥. Et nous le faisons en soustrayant deux de trois, les coefficients, soit un 𝑥 ou
simplement 𝑥. Cependant, nous ne pourrions pas soustraire deux 𝑥 de trois 𝑥 au carré. Ils ont la même variable mais des puissances différentes. Et donc, nous disons que trois 𝑥 au carré moins deux 𝑥 est juste égal à trois 𝑥 au
carré moins deux 𝑥.
Nous allons voir d’autres cas dans notre exemple suivant.
Déterminez 𝐴 moins 𝐵 sachant que 𝐴 égale huit 𝑥 plus deux et 𝐵 égale cinq 𝑥
moins un.
Si nous voulons résoudre 𝐴 moins 𝐵, alors nous remplaçons par huit 𝑥 au carré plus
deux pour 𝐴, et cinq 𝑥 moins un pour 𝐵. Lorsque nous travaillons avec la soustraction de termes, les parenthèses sont très
importantes. C’est parce que nous soustrayons tout 𝐵 de 𝐴. Et pour ce faire, nous devons distribuer cette soustraction entre les deux termes
pour l’expression dans 𝐵. Et cela signifie que nous disons huit 𝑥 plus deux moins cinq 𝑥 mais plus un, parce
que nous soustrayons moins un. Et cela signifie que nous additionnons. C’est l’étape où si vous ne faites pas attention, vous obtiendrez une erreur de
signe.
Et donc, lorsque vous soustrayez des expressions, vous devez faire très attention à
distribuer correctement la soustraction. Une fois que vous avez fait cela, il suffit de combiner des termes semblables. Nous avons deux termes avec une variable 𝑥 et deux nombres entiers. Pour notre variable 𝑥, nous avons huit 𝑥 moins cinq 𝑥. Et cela signifie que nous allons soustraire cinq de huit. N’oubliez pas que la variable ne change pas. Nous faisons juste la soustraction à partir des coefficients. Puis nous avons deux plus un, ce qui fait trois. Huit moins cinq, c’est trois. Nous avons donc trois 𝑥 plus trois. Dans ce cas, dans ces conditions, 𝐴 moins 𝐵 égale trois 𝑥 plus trois.
Dans notre exemple suivant, nous allons traiter des expressions comportant trois
variables différentes.
Soustrayez six 𝑥 à la puissance cinq moins trois 𝑦 au cube plus trois 𝑧 au carré
de huit 𝑥 à la puissance cinq moins cinq 𝑦 au cube moins deux 𝑧 au carré.
Pour résoudre ce problème, nous devons réfléchir soigneusement à la manière d’écrire
cette soustraction. Nous soustrayons six 𝑥 à la puissance cinq moins trois 𝑦 au cube plus trois 𝑧 au
carré de huit 𝑥 à la puissance cinq moins cinq 𝑦 au cube moins deux 𝑧 au
carré. Et cela signifie que notre première expression sera huit 𝑥 à la puissance cinq moins
cinq 𝑦 au cube moins deux 𝑧 au carré. Et notre deuxième expression sera six 𝑥 à la puissance cinq moins trois 𝑦 au cube
plus trois 𝑧 au carré. Comme nous soustrayons la deuxième expression entière de la première, alors nous
devons mettre cette deuxième expression entre parenthèses et ensuite distribuer la
soustraction sur chaque terme de l’expression.
Dans cette étape, nous prêtons une attention particulière au signe de chaque
terme. Six 𝑥 à la puissance cinq est positif. Et nous allons soustraire six 𝑥 à la puissance cinq. Mais le trois 𝑦 au cube est négatif. Et si nous voulons soustraire moins trois 𝑦 au cube, nous réécrivons cela comme plus
trois 𝑦 au cube. Le trois 𝑧 au carré est positif. Nous soustrayons trois 𝑧 au carré, que nous pouvons réécrire comme moins trois 𝑧 au
carré. Et pour faire une soustraction quelconque ici, nous devons voir si nous avons des
termes semblables. Ce sont des termes dont les variables sont élevées à la même puissance.
Nous avons un terme, qui est 𝑥 à la puissance cinq, et un autre 𝑥 à la puissance
cinq. Nous avons ensuite deux termes avec la variable 𝑦 au cube et deux termes avec la
variable 𝑧 au cube. Si vous voulez, vous pouvez regrouper les termes semblables de manière qu’ils se
trouvent l’un à côté de l’autre dans l’expression. Ce faisant, faites bien attention aux signes. Puis on se souvient que, pour regrouper les termes semblables, on combine leurs
coefficients. Huit 𝑥 à la puissance cinq moins six 𝑥 à la puissance cinq sera huit moins six 𝑥 à
la puissance cinq, soit deux 𝑥 à la puissance cinq.
Pour les deuxièmes termes, nous avons moins cinq 𝑦 au cube plus trois 𝑦 au
cube. Cela signifie que nous devons combiner moins cinq et trois, ce qui donne moins
deux. Et pour notre terme 𝑧 au carré, nous combinons les coefficients, moins deux et moins
trois. Moins deux moins trois, c’est moins cinq. En mettant tout cela ensemble, nous obtenons deux 𝑥 à la puissance cinq moins deux
𝑦 au cube moins cinq 𝑧 au carré.
Avant de laisser cette question, voyons une autre façon de résoudre le problème, en
commençant par notre première expression. Au lieu d’écrire la deuxième expression horizontalement, vous pourriez aligner
verticalement la deuxième expression sous la première. Notez que nous avons regroupé les termes 𝑥 à la puissance cinq, les 𝑦 au cube et
les 𝑧 au carré. Mais là encore, notre plus grand défi est de nous assurer de ne pas faire d’erreurs
de signe. Pour le premier terme, nous disons huit 𝑥 à la puissance cinq moins six 𝑥 à la
puissance cinq. Nous soustrayons donc six de huit. Et nous obtenons deux 𝑥 à la puissance cinq.
Mais notre deuxième série de termes semblables n’est pas aussi simple. Nous avons moins cinq 𝑦 au cube. Et nous soustrayons moins trois 𝑦 au cube, moins cinq 𝑦 au cube plus trois 𝑦 au
cube. C’est la distribution que nous faisons. Moins cinq plus trois est moins deux. Et la variable est 𝑦 au cube. Ensuite nous avons moins deux 𝑧 au carré moins plus trois 𝑧 au carré, ce qui
signifie que nous aurons moins deux 𝑧 au carré moins trois 𝑧 au carré. Moins deux moins trois est moins cinq. Et notre variable est 𝑧 au carré. Et nous voyons ici que les deux méthodes donneront le même résultat.
Dans notre dernier exemple, nous utiliserons les compétences d’addition des
expressions algébriques pour déterminer le périmètre d’un triangle rectangle.
Déterminez le périmètre du triangle rectangle montré sur la figure.
Nous savons que le périmètre d’une figure est la distance tout autour de la
figure. Dans le cas de ce triangle, puisque les trois côtés ont des longueurs différentes,
donc il faut additionner ces trois côtés. Le premier côté a une mesure de trois 𝑥, plus le deuxième côté, 𝑥 plus trois, plus
le troisième côté, deux 𝑥 plus sept. Comme il s’agit uniquement d’addition, nous pouvons regrouper les termes comme nous
le voulons. Et nous voulons regrouper nos termes semblables. Trois de nos termes ont une variable 𝑥. Et les deux autres termes sont des nombres entiers.
Nous pourrions réécrire l’expression regroupant les termes 𝑥 et les nombres
entiers. À partir de là, pour les termes 𝑥, nous pouvons combiner ces termes en combinant
leurs coefficients, qui seraient trois plus un plus deux, soit six. Et pour combiner les nombres entiers, bien sûr, trois plus sept, c’est dix. Comme nous n’avons aucune information sur ce qu’est 𝑥, nous pouvons seulement dire
que le périmètre de cette figure est six 𝑥 plus 10.
Avant de terminer, passons en revue les points clés nécessaires pour additionner et
soustraire des expressions algébriques. Tout d’abord, nous devons reconnaître les termes semblables. Les termes semblables sont des termes dont les variables et les puissances sont
identiques. Pour combiner des termes semblables, il faut additionner ou soustraire leurs
coefficients. Lorsqu’on additionne et soustrait deux ou plusieurs expressions algébriques, les
seules valeurs qui peuvent être combinées sont les termes semblables.