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Vidéo de question : Déterminer les racines carrées de nombres imaginaires Mathématiques

Déterminez les racines carrées de 𝑧 sachant que 𝑧 = −8𝑖.

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Transcription de vidéo

Déterminez les racines carrées de 𝑧 sachant que 𝑧 est égal à moins huit 𝑖.

Nous pouvons utiliser la formule de De Moivre pour les racines pour nous aider à trouver les racines de nombres complexes. La formule de De Moivre dit que pour un nombre complexe de la forme 𝑟 cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃, la 𝑛ième racine est donnée par 𝑟 à la puissance un sur 𝑛 fois cos de 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sin 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛, où 𝑘 prend des valeurs entières de zéro à 𝑛 moins un. Maintenant, notre nombre complexe est en fait écrit sous forme algébrique. Et pour pouvoir appliquer la formule de De Moivre, nous allons commencer par l’écrire sous forme trigonométrique.

La partie réelle de ce nombre est zéro, tandis que sa partie imaginaire est moins huit. Et nous pouvons donc le représenter dans le plan complexe par le point de coordonnées zéro, moins huit. 𝑟, qui est le module du nombre complexe, est la longueur du segment qui relie ce point à l’origine. Et nous voyons donc que 𝑟 est égal à huit.

Ensuite, nous trouvons 𝜃 en mesurant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, l’angle formé par l’axe des réels positifs et le segment que nous avons tracé. Alternativement, nous pouvons nous déplacer dans la direction opposée, en notant bien sûr qu’aller dans le sens des aiguilles d’une montre donne une valeur négative pour 𝜃. Ceci nous donnera l’argument 𝜃 situé dans l’intervalle caractéristique de l’argument principal. Maintenant, nous voyons qu’en nous déplaçant dans cette direction, nous parcourons un quart de tour, ce qui correspond à 𝜋 sur deux radians. Donc, notre argument est moins 𝜋 sur deux. Nous voyons ainsi que 𝑧 peut s’écrire sous forme trigonométrique huit fois cos de moins 𝜋 sur deux plus 𝑖 sin de moins 𝜋 sur deux.

Puisque nous cherchons les racines carrées de 𝑧, nous élevons chaque membre à la puissance un demi. Faisons un peu de la place et réalisons cette étape. Nous allons poser 𝑛 comme égale deux. Et donc le module de la racine carrée de 𝑧 sera égal à huit à la puissance un demi soit la racine carrée de huit. Ensuite, le reste de notre racine carrée est comme indiqué. Nous voyons que l’argument est moins 𝜋 sur deux plus deux 𝜋 𝑘 sur deux. Et puisque nous avons 𝑛 est égal à deux, alors 𝑘 prendra des valeurs de zéro à deux moins un, c’est à dire un. En d’autres termes, 𝑘 ne peut être égal qu’à zéro ou un. Voyons donc ce qui se passe lorsque nous remplaçons 𝑘 par ces valeurs.

Lorsque 𝑘 est égal à zéro, la racine carrée de 𝑧 est la racine carrée de huit fois cos de moins 𝜋 sur deux plus zéro sur deux plus 𝑖 sin de moins 𝜋 sur deux plus zéro sur deux. En simplifiant l’expression à l’intérieur de nos parenthèses, nous voyons que l’argument est égal à moins 𝜋 sur quatre. Mais en fait, cos de moins 𝜋 sur quatre est égal à racine de deux sur deux et sin de moins 𝜋 sur quatre est égal à moins racine de deux sur deux.

Et nous pouvons donc représenter ceci sous forme algébrique comme la racine carrée de huit fois la racine de deux sur deux plus la racine carrée de huit fois moins la racine de deux sur deux 𝑖. Ensuite, la racine carrée de huit fois la racine carrée de deux est la racine carrée de 16, qui est bien sûr égale à quatre. Et donc la racine carrée de 16 divisée par deux devient quatre divisé par deux, ce qui est deux. Et donc sous forme algébrique, la première racine carrée de 𝑧 est deux moins deux 𝑖.

Nous allons maintenant remplacer 𝑘 par un. Nous obtenons un argument de moins 𝜋 sur deux plus deux 𝜋 sur deux. Le numérateur dans chaque partie se simplifie en trois 𝜋 sur deux, puis trois 𝜋 sur deux divisé par deux ce qui fait trois 𝜋 sur quatre. Tout ce qui reste à faire maintenant c’est de convertir ceci sous forme algébrique. Cette fois, lorsque nous calculons cos de trois 𝜋 sur quatre, nous obtenons moins racine de deux sur deux et sin de trois 𝜋 sur quatre est égal à racine de deux sur deux. Nous obtenons donc la racine carrée de huit fois moins racine de deux sur deux plus racine de huit fois racine de deux sur deux 𝑖, ce qui se simplifie en moins deux plus deux 𝑖.

En notation ensembliste nous concluons que la racine carrée de 𝑧 est l’ensemble contenant les éléments deux moins deux 𝑖 et moins deux plus deux 𝑖.

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