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Vidéo de question : Utiliser des identités paires, impaires et de périodicité pour trouver la valeur d’une fonction trigonométrique impliquant des angles remarquables Mathématiques

Déterminez la valeur de cos (−960°) sans utiliser de calculatrice.

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Transcription de vidéo

Déterminez la valeur de cosinus de moins 960 degrés sans utiliser de calculatrice.

Notre première étape est de réécrire cette expression avec le plus petit angle positif possible en ajoutant 360 degrés à plusieurs reprises à moins 960 jusqu’à ce que nous obtenions quelque chose de positif. Si nous ajoutons 360, nous obtenons moins 600, nous devons donc ajouter un autre 360 car cela n’est pas encore positif. Après avoir de nouveau ajouté 360, nous sommes à moins 240. Enfin, après avoir de nouveau ajouté 360, nous obtenons 120.

Pour nous aider à visualiser cela, nous pouvons voir ici 120 degrés. Cela est égal à moins 960 degrés car si nous partons d’ici à zéro degré et allons à gauche, c’est-à-dire dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, nous arrivons à 120 degrés. Cependant, pour moins 960 degrés, une rotation complète en arrière nous amène à moins 360. Après une autre rotation complète, nous sommes à moins 720, soit encore 360 degrés dans le sens négatif.

Enfin, si au lieu de tourner encore de 360, nous tournons de 240, nous arrivons au même endroit. Maintenant, l’étape suivante est d’observer le plus petit angle positif, qui est de 60 degrés, car toute la moitié supérieure est de 180 degrés. Donc si nous avons déjà 120 d’un côté, il reste 60 de l’autre.

Sachant que notre point de coordonnées 𝑥, 𝑦 est cosinus de 𝜃, sinus de 𝜃, c’est-à-dire que 𝑥 est le cosinus de 𝜃 et 𝑦 est le sinus de 𝜃. Le sinus et cosinus de l’angle remarquable de 60 degrés sont tels que le sinus de 60 degrés est la racine carrée de trois sur deux, et le cosinus de 60 degrés est un demi. Nous substituons donc un demi pour cosinus de 𝜃, qui est notre abscisse 𝑥, et racine carrée de trois sur deux pour le sinus de 𝜃, qui est notre ordonnée 𝑦.

Cependant, nous devons faire attention aux signes de 𝑥 et 𝑦. L’angle qui nous intéresse est dans le coin supérieur gauche ; cela s’appelle le deuxième quadrant. Et dans le deuxième quadrant, 𝑥 est négatif et 𝑦 est positif, nous devons donc ajouter le signe moins à notre valeur 𝑥.

Donc puisqu’il est demandé de trouver le cosinus de moins 960 degrés, c’est-à-dire de 120, nous avons examiné le plus petit angle positif de 60 degrés, et nous avons constaté que le cosinus est égal à moins un demi. Par conséquent, le cosinus de moins 960 degrés est égal à moins un demi.

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