Vidéo : Travailler avec des nombres en notation scientifique (ou sous forme standard)

Apprenez à représenter des nombres très grands ou très petits en utilisant la notation scientifique (également connue sous le nom de formulaire standard).

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, on va travailler avec les nombres en notation scientifique. Et certains d’entre vous connaissent le nom de forme standard. Fondamentalement, nous parlons de nombres dans le format où nous avons obtenu quelque chose fois 10 puissance quelque chose. Et c’est essentiellement une façon d’écrire des nombres très grands ou très petits dans un format plus compact.

Ainsi, la notation scientifique est quand nous mettons des nombres dans ce format particulier, un nombre fois 10 à la puissance d’un autre nombre. Maintenant, ce premier nombre, représenté par 𝑎 dans cette formule générale, doit être compris entre un et 10. Eh bien, précisément, il peut être égal à un, il est donc supérieur ou égal à un, mais il ne peut pas être aussi grand comme 10. Cela pourrait être 9.999 à l’infini, mais il ne peut pas être aussi grand que 10. Donc, c’est un nombre entre un et 9.9 à l’infini.

Et l’autre nombre, représenté par ce 𝑏, est un entier positif ou négatif qui représente l’exposant, ou la puissance, de 10. Eh bien, la meilleure façon de comprendre cela est de jeter un œil à quelques exemples. Voyons un exemple.

1.5 fois 10 à la puissance trois, ou 10 à la puissance trois.

Or, multiplier par 10 à la puissance trois, ou 10 au cube, revient à multiplier par 10, puis par 10, puis par 10. Donc, c’est 1.5 fois 10 fois 10 fois 10. Maintenant, il y a une façon simple de penser à cela qui rend très facile le travail avec la notation scientifique. Ce n’est pas strictement mathématique, mais cette méthode abrégée facilite beaucoup le travail.

Multiplier par 10 équivaut à prendre ce point décimal et à le déplacer d’un endroit vers la droite. Ainsi, 1.5 devient 15 points, eh bien, 15.0. Maintenant, si nous multiplions encore par 10, nous prenons ce point décimal et le déplaçons d’un endroit vers la droite. Eh bien, nous n’avions pas de numéro, mais rappelez-vous que 15 correspond à 15.0. Donc, dans cette position ici, il y aurait eu un zéro, et nous pouvons mettre une virgule décimale ici. Donc, maintenant, nous avons multiplié par 10 deux fois, et nous avons un point de cinq zéro, donc 150.

Nous devons juste multiplier par 10 une fois de plus. Et cela déplace la virgule d’un autre endroit à droite. Donc, ça bouge ici, et nous avons notre zéro qui remplit ici. Donc, 1.5 fois 10 fois 10 fois 10, 10 équivaut à 1500. À présent, il est important de ne pas laisser votre numéro dans ce format, car cela semble être un véritable gâchis. C’est beau et clair. 1.5 fois 10, la puissance de trois équivaut à 1500. N’oubliez pas que 1.5 fois 10 valait 15, 15 fois 10, 150 et 150 fois 10, 1500. Bon, regardons un autre exemple.

9.09 fois 10 à la puissance cinq.

Eh bien, multiplier par 10 à la puissance cinq revient à multiplier par 10, puis par 10, puis par 10, puis par 10, puis par 10 encore. Donc, nous multiplions par 10 cinq fois. Alors, regardons notre façon abrégée de résoudre ce problème. Lorsque nous avons multiplié 1.5 fois 10 à la puissance trois, nous avons fini avec trois de ces petites flèches ici. Donc, en multipliant par 10 à la puissance cinq, nous finissons avec cinq petites flèches ici.

Cela signifie que cette virgule va se déplacer d’un, deux, trois, quatre ou cinq places vers la droite. Et nous devons remplir quelques zéros. Nous avons besoin d’un zéro ici, d’un zéro ici et d’un zéro ici. Nous pourrions en écrire un après le point décimal si vous le souhaitez. Donc, notre réponse est 909000.

Maintenant, lorsque vous vous entraînez, vous n’auriez normalement pas la peine d’écrire ceci ou quoi que ce soit. Vous voudriez juste utiliser ce genre de notation courte ici, ce qui est un travail rudimentaire, puis écrire votre réponse correctement dans un format facile, agréable et épuré. D’accord, j’espère que c’est assez clair. Regardons quelques exemples maintenant avec des puissances négatives de 10.

Par exemple, 7.2 fois 10 à la puissance moins quatre.

Maintenant, dans cet exposant moins quatre, les quatre nous disent que nous multiplions par 10 quatre fois et le moins un nous dit de retourner cette fraction. Donc, au lieu de 10, c’est un sur 10. Donc, 7.2 fois 10 à la puissance moins quatre signifie 7.2 fois un dixième fois un dixième fois un dixième fois un dixième. Maintenant, multiplier par un dixième équivaut à diviser par 10. Donc, cela signifie que nous partons de 7.2 puis divisons par 10, divisons par 10 encore, divisons par 10 encore et divisons par 10.

Passons simplement à notre notation abrégée pour le faire alors. 7.2 divisé par 10 va être 0.72, donc effectivement le point décimal se déplace gauche d’une place ici. Maintenant, nous devons le faire quatre fois, donc un, deux, trois, quatre. Donc, notre virgule décimale se termine ici. Nous avons besoin de mettre des zéros ici comme espaces réservés et un zéro devant le point décimal pour que nous sachions qu’il est 0.00072.

Maintenant, ces zéros étaient très importants car c’étaient des espaces réservés qui nous indiquaient que les sept devaient figurer dans la colonne du dix-millième et les deux dans la colonne des cent-millièmes. Et encore une fois, il est important d’écrire clairement notre réponse sans que tout ce travail horrible ne soit gribouillé dessus, donc 0.00072. Maintenant, souvenez-vous, tout ce qui déplace la virgule décimale n’est pas nécessairement mathématiquement correct dans notre façon de voir les choses, mais c’est une bonne façon de faire la synthèse de la réponse à ces questions. Ok, regardons un autre exemple.

3.05 fois 10 puissance moins six.

Ok, fois 10 puissance moins six, rappelez-vous, cela signifie que nous divisons la puissance négative, cela signifie que nous divisons par 10 six fois. Donc, nous commençons avec 3.005 [3.05] et nous divisons par 10, nous divisons par 10, nous divisons par 10, nous divisons par 10, nous divisons par 10, et nous divisons encore par 10. Donc, je divise par 10 beaucoup de fois. Je dois laisser un peu d’espace à gauche de mon numéro ici.

Divisez par 10 une fois, le point décimal se déplace ici, deux fois, trois fois, quatre fois, cinq fois, six fois, ce qui signifie que notre point décimal a été déplacé ici. Maintenant, je peux remplir avec les zéros. Il y en a un ici. Il y en a un ici. Il y en a un ici, un ici, un ici. Et je vais mettre un zéro devant la virgule ainsi. Donc, c’est 0.00000305. Et c’est notre réponse bien écrite.

D’accord, alors, en quoi consiste toute cette notation scientifique ? Dans les exemples que nous vous avons montrés, il n’y a pas beaucoup de différence entre écrire ceci et écrire cela. C’est parce que les exemples que je vous ai donnés étaient relativement faciles à faire comprendre. Et si je demandais quelle est la distance de la Terre à Proxima Centauri, l’étoile la plus proche autre que le soleil ?

Eh bien, il se trouve à plus de 40 quadrillions de mètres de la Terre. Maintenant, c’est un nombre assez important à écrire. Et une fois que nous commençons à parler à une échelle astronomique, il y a encore plus de chiffres à traiter. Maintenant, il commence à devenir plus efficace d’écrire quelque chose comme 4.0208 fois 10 à la puissance quelque chose mètres. Mais quel est ce quelque chose ?

Eh bien, si nous avons un point décimal ici, pour le déplacer à la fin du chiffre ici, il doit sauter par-dessus un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 places. Donc, cela fait 4.0208 fois 10 fois la puissance de 16 mètres. Et pour bien calculer cela, rappelez-vous, ce nombre ici doit être supérieur ou égal à un, mais inférieur à 10. Nous avons donc fixé le point à quatre points. Et dans ce cas, cela nous a laissé 10 à la 16e puissance.

Et à l’autre bout du spectre, nous avons de très très petites choses. Ainsi, par exemple, le diamètre d’un proton est d’environ un millionième de nanomètre, soit 0.000000000000001 mètre. Maintenant, il doit y avoir un moyen plus rapide et plus facile d’écrire cela. Eh bien, voici le chiffre à la fin est juste un, donc nous pouvons l’écrire comme une fois 10 à la puissance moins quelque chose mètres. Alors, quel est ce quelque chose ?

Eh bien, si nous en écrivions un avec un point après celui-ci, nous devrions déplacer ce point, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, 10, 11, 12, 13, 14, 15, places à gauche. Ainsi, nous pouvons écrire le nombre sous la forme une fois 10 puissance moins 15 mètres. Bon, examinons quelques questions typiques que vous pourriez voir dans un test.

Écrivez 3.141579265 fois 10 à la puissance quatre sous forme de nombre ordinaire.

Maintenant, si vous vivez quelque part qui appelle cette forme standard, un numéro non écrit sous forme standard sera appelé un nombre ordinaire. Mais si vous vivez quelque part où ils appellent ce format de notation scientifique, ils appelleraient le formulaire standard de version à numéro ordinaire. Comment est-ce déroutant ? Quoi qu’il en soit, ne nous inquiétons pas de cela pour l’instant. Tu sais où tu habites. Vous savez comment vous appelez ces choses, espérons-le.

Donc, 3.141579265 fois 10 fois la puissance de quatre, dans ce cas, nous multiplions par 10 le positif quatre fois. Nous multiplions par 10 quatre fois, de sorte que le point décimal va devoir déplacer un, deux, trois, quatre places à droite. Et après avoir multiplié ce nombre par 10 quatre fois, nous obtenons 31415.79265. Que diriez-vous de celui-ci alors ?

Écrivez 6.2 fois 10, puissance sept, sous forme de nombre ordinaire.

Eh bien, on va écrire sur le 6.2, puis on va multiplier par 10 sept fois. Donc, ça fait un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept. Donc, ça va être 62000000.0. Bien évidemment, dans ce cas, nous pouvons laisser le point zéro, ce qui nous donne une réponse de 62 millions de dollars.

Maintenant, écrivez 9.603 fois 10 puissance moins trois sous forme de nombre ordinaire.

Nous sommes donc va prendre 9.603, et nous sommes va multiplier par 1 sur 10 à trois fois, ce qui divise par 10 trois fois. Donc, ce point décimal va se déplacer vers la gauche. Ça va réduire ce nombre. Divisez par 10 une fois, deux fois, trois fois, donc ma virgule décimale va aller ici. Je peux ensuite mettre dans mes zéros de maintien, et nous pouvons voir que la réponse est 0.009603. Maintenant, regardons une ou deux questions légèrement plus difficiles.

Calculez la valeur de trois fois 10 à quatre fois 1.2 fois 10 à la puissance sept, en donnant votre réponse en notation scientifique.

Eh bien, avec la multiplication, peu importe l’ordre dans lequel nous multiplions ces éléments, afin que je puisse me débarrasser immédiatement de ces parenthèses. Donc, c’est la même chose que trois fois 10 puissance quatre fois 1.2 fois 10 puissance sept. Maintenant, nous pouvons multiplier les 10 puissance quatre et les 10 puissance sept ensemble et multiplier les trois par 1.2. Maintenant, trois fois 1.2 est 3.6. Et si je multiplie par 10 quatre fois, puis par sept autres fois, je multiplie par 10 11 fois. C’est 10 à la puissance 11. Donc, cela équivaut à 3.6 fois 10 à la puissance 11.

Maintenant, rappelez-vous, être en notation scientifique appropriée, le nombre doit être dans ce format, 𝑎 fois 10 à la puissance 𝑏, où 𝑎 est un nombre entre un et 10. Il peut être égal à un, mais il ne peut pas égal à 10. Et 𝑏 est un exposant de puissance positive ou négative de 10 Maintenant, dans notre cas, la 𝑎 valeur, ce 3.6, qui est dans la bonne gamme. C’est supérieur ou égal à un, mais inférieur à 10. Et nous avons, dans ce cas, un pouvoir positif, ou exposant, de 10. Donc, notre réponse est 3.6 fois 10 à la puissance 11. Bon, alors une dernière question avant de partir.

Calculez la valeur de cinq fois 10 puissance 5 fois 8.2 fois 10 à la puissance 11, en donnant votre réponse en notation scientifique.

Eh bien, encore une fois, la multiplication est commutative, donc peu importe si nous avons les parenthèses et dans quel ordre nous les écrivons. Donc, je vais faire cinq fois 8.2 fois 10 à la puissance cinq fois 10 à la puissance 11, dans cet ordre. Maintenant, cinq fois 8.2 est 41. Et si je multiplie par 10 la puissance cinq, cela multiplie par 10 cinq fois, puis par 10 à la puissance de 11, cela multiplie par 10 encore 11 fois, c’est un total de 16 fois. Donc, c’est 10 à la puissance 16. Donc, cela équivaut à 41 fois 10 à la puissance 16.

Mais attendez une minute ! Ce n’est pas notre réponse ! Ce nombre ici doit être compris entre un et 10. 41 ce n’est pas entre un et 10. Mais regardez, je pourrais l’écrire 4.1 fois 10 puissance quelque chose. Eh bien, en fait, dans ce cas, il faudrait multiplier par 10 à la puissance un, car je dois multiplier par 4.1 fois une fois pour le transformer en 41. Ainsi, 41 équivaut à 4.1 fois le multiplicateur par 10 de la puissance d’un.

Et c’est le nombre qui doit être multiplié par 10 pour atteindre la puissance 16. Eh bien, nous pouvons voir que nous avons 4.1 fois 10 fois 10 fois sur 16 fois sur 16, ce qui signifie 10 fois au total 17 fois. Et là nous l’avons. Nous avons maintenant notre nombre en notation scientifique appropriée. Ce premier terme est 4.1. C’est entre un et 10. Et nous avons fois 10 à la puissance 17.

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