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Vidéo de la leçon : Opérations sur les nombres en écriture scientifique Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à effectuer des opérations arithmétiques avec des nombres exprimés en écriture scientifique.

15:44

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, on va travailler avec les nombres en écriture scientifique. Et certains d’entre vous connaissent sous le nom de forme standard. Essentiellement, nous parlons de nombres avec le format où nous avons quelque chose fois 10 à la puissance de quelque chose. Et c’est essentiellement une façon d’exprimer des très grands ou très petits nombres dans un format plus compact.

Ainsi, l’écriture scientifique est quand nous exprimons des nombres dans ce format particulier, un nombre fois 10 à la puissance d’un autre nombre. Maintenant, ce premier nombre, représenté par 𝑎 dans cette formule générale, doit être compris entre un et 10. Eh bien, précisément, il peut être égal à un, il est donc supérieur ou égal à un, mais il ne peut pas être égal à 10. Cela pourrait être 9,999 à l’infini, mais il ne peut pas être égal à 10. Donc, c’est un nombre compris entre un et 9,9 à l’infini.

Et l’autre nombre, représenté par ce 𝑏, est un entier positif ou négatif qui représente l’exposant, ou la puissance, de 10. Eh bien, la meilleure façon de comprendre cela est de regarder quelques exemples. Voyons un exemple.

1,5 fois 10 à la puissance trois, ou 10 au cube.

Maintenant, multiplier par 10 à la puissance trois, ou 10 au cube, revient à multiplier par 10, puis par 10, puis par 10. Donc, c’est 1,5 fois 10 fois 10 fois 10. Maintenant, il y a une façon simple de penser à cela qui rend très facile le travail avec l’écriture scientifique. Ce n’est pas strictement mathématique, mais cette méthode abrégée facilite beaucoup le travail.

Multiplier par 10 est équivalent à prendre cette virgule et à la déplacer une position vers la droite. Ainsi, 1,5 devient 15 virgule zéro, c’est à dire, 15,0. Maintenant, si nous multiplions encore par 10, nous prenons cette virgule et la déplaçons une position vers la droite. Eh bien, nous n’avions pas de nombre, mais rappelez-vous que 15 correspond à 15,0. Donc, dans cette position ici, il y aurait eu un zéro, et nous pouvons mettre une virgule ici. Donc, maintenant, nous avons multiplié par 10 deux fois, et nous avons un cinq zéro virgule, donc 150.

Nous devons juste multiplier par 10 une fois de plus. Et cela déplace la virgule d’une position à droite. Donc, ça se place ici, et nous avons notre zéro qui se trouve là. Donc, 1,5 fois 10 fois 10 fois 10 est égal à 1500. Maintenant, il est important de ne pas laisser le nombre dans ce format, car cela semble être en désordre. C’est beau et clair. 1,5 fois 10 à la puissance trois est égal à 1500. N’oubliez pas que 1,5 fois 10 vaut 15, 15 fois 10, 150 et 150 fois 10, 1500. Bon, regardons un autre exemple.

9,09 fois 10 à la puissance cinq.

Eh bien, multiplier par 10 à la puissance cinq revient à multiplier par 10, puis par 10, puis par 10, puis par 10, puis par 10 encore. Donc, nous multiplions par 10 cinq fois. Alors, regardons notre façon abrégée de résoudre ce problème. Lorsqu’on a multiplié 1,5 fois 10 à la puissance trois, on s’est retrouvé avec trois de ces petites flèches ici. Donc, en multipliant par 10 à la puissance cinq, on se retrouve avec cinq petites flèches ici.

Cela signifie que cette virgule va se déplacer d’un, deux, trois, quatre ou cinq positions vers la droite. Et nous devons écrire quelques zéros. Nous avons besoin d’un zéro ici, d’un zéro ici et d’un zéro là. Nous pourrions en écrire un après la virgule si vous le souhaitez. Donc, notre réponse est 909000.

Maintenant, lorsque vous faites vos calculs, vous n’auriez normalement pas la peine d’écrire tout ça. Vous auriez juste utilisé ce genre d’écriture simple là, ce qui est un travail approximatif, puis écrire votre réponse correctement dans un format simple, non compliqué. D’accord, j’espère que c’est assez clair. Voyons quelques exemples maintenant avec des puissances négatives de 10.

Par exemple, 7,2 fois 10 à la puissance moins quatre.

Maintenant, dans cet exposant moins quatre, les quatre nous disent que nous multiplions par 10 quatre fois et le moins un nous dit d’inverser cette fraction. Donc, au lieu de 10, c’est un sur 10. Donc, 7,2 fois 10 à la puissance moins quatre signifie 7,2 fois un dixième fois un dixième fois un dixième fois un dixième. Maintenant, multiplier par un dixième est équivalent à diviser par 10. Donc, cela signifie que nous partons de 7,2 puis divisons par 10, divisons par 10 encore, divisons par 10 encore et divisons par 10.

Passons alors à notre méthode abrégée pour faire cela. 7,2 divisé par 10 vaut 0,72, donc effectivement la virgule se déplace d’une position à gauche ici. Maintenant, nous devons le faire quatre fois, donc un, deux, trois, quatre. Donc, la virgule décimale s’arrête là. Nous avons besoin de mettre des zéros ici pour garder la position de chaque chiffre et un zéro devant la virgule pour montrer qu’il s’agit de 0,00072.

Maintenant, ces zéros étaient très importants car ils étaient des espaces qui nous indiquaient que le sept devait apparaître dans la colonne du dix-millième et les deux dans la colonne des cent-millièmes. Et encore une fois, il est important d’écrire clairement notre réponse sans que tout ce calcul soit écrit au-dessus, donc 0,00072. Maintenant, souvenez-vous, tout ce déplacement de la virgule n’est pas nécessairement mathématiquement correct, mais c’est une bonne façon de répondre à ces questions. D’accord, regardons un autre exemple.

3,05 fois 10 à la puissance moins six.

D’accord, rappelez-vous que, fois 10 à la puissance moins six, signifie que nous divisons la puissance négative, cela signifie que nous divisons par 10 six fois. Donc, nous commençons avec 3,05 et nous divisons par 10, nous divisons par 10, nous divisons par 10, nous divisons par 10, nous divisons par 10, et nous divisons encore par 10. Donc, je divise par 10 beaucoup de fois. Je dois laisser un peu d’espace à gauche de mon nombre ici.

Divisez par 10 une fois, la virgule se déplace ici, deux fois, trois fois, quatre fois, cinq fois, six fois, ce qui signifie que notre virgule s’est déplacée ici. Maintenant, je peux mettre des zéros. Il y en a un ici. Il y en a un ici. Il y en a un ici, un ici, un ici. Et je vais mettre un zéro devant la virgule aussi. Donc, c’est 0,00000305. Et c’est notre réponse bien écrite.

D’accord, alors, de quoi s’agit – il concernant cette écriture scientifique ? Dans les exemples que nous vous avons montrés, il n’y a pas beaucoup de différence entre écrire ceci et écrire cela. C’est parce que les exemples que je vous ai donnés étaient relativement faciles juste pour comprendre. Et si je me demandais quelle est la distance entre la Terre et Proxima Centauri, l’étoile la plus proche autre que le soleil ?

Eh bien, elle se trouve à plus de 40 quadrillions de mètres de la Terre. Maintenant, c’est un nombre assez important à écrire. Et une fois que nous commençons à parler à une échelle astronomique, il y a encore plus de chiffres à traiter. Maintenant, il commence à devenir plus efficace d’écrire quelque chose comme 4,0208 fois 10 à la puissance quelque chose mètres. Mais quel est ce quelque chose ?

Eh bien, si nous avons une virgule ici, pour le déplacer à la fin du chiffre ici, elle doit passer par un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 positions. Donc, cela fait 4,0208 fois 10 à la puissance 16 mètres. Et pour bien calculer cela, rappelez-vous, ce nombre ici doit être supérieur ou égal à un, mais inférieur à 10. Nous avons donc fixé le nombre à quatre virgule quelque chose. Et dans ce cas, cela nous a laissé avec 10 à la puissance 16.

Et à l’autre extrémité du spectre, nous avons de très très petites choses. Ainsi, par exemple, le diamètre d’un proton est d’environ un millionième de nanomètre, soit 0,000000000000001 mètre. Maintenant, il doit y avoir un moyen plus rapide et plus facile d’écrire cela. Eh bien, le chiffre à la fin est juste un, donc nous pouvons l’écrire comme un fois 10 à la puissance moins quelque chose mètres. Alors, quel est ce quelque chose ?

Eh bien, si nous en écrivions un avec une virgule après celui-ci, nous devrions déplacer cette virgule, un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, 10, 11, 12, 13, 14, 15, positions à gauche. Ainsi, nous pouvons écrire le nombre sous la forme de un fois 10 à la puissance moins 15 mètres. Bon, examinons quelques questions typiques que vous pourriez voir dans un test.

Écrivez 3,141579265 fois 10 à la puissance quatre sous forme d’un nombre ordinaire.

Maintenant, si vous vivez quelque part qui appelle cela la forme standard, un nombre non exprimé en forme standard sera appelé un nombre ordinaire. Mais si vous vivez quelque part où ils appellent cela écriture scientifique, ils appelleraient la version du nombre ordinaire la forme standard. Comment est-ce déroutant ? Quoi qu’il en soit, ne nous inquiétons pas de cela pour l’instant. Vous savez où vous habitez. Vous savez comment vous appelez ces choses, espérons-le.

Donc, 3,141579265 fois 10 fois la puissance quatre, dans ce cas, nous multiplions par 10 quatre fois. Nous multiplions par 10 quatre fois, de sorte que la virgule va se déplacer un, deux, trois, quatre positions à droite. Et après avoir multiplié ce nombre par 10 quatre fois, nous obtenons 31415,79265.

Qu’en est-il de celle-ci alors ?

Écrivez 6,2 fois 10 à la puissance sept sous forme de nombre ordinaire.

Eh bien, on va écrire le 6,2, puis on va multiplier par 10 sept fois. Donc, ça fait un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept. Donc, ça va être 62000000,0. Bien évidemment, dans ce cas, nous pouvons garder la virgule zéro, ce qui nous donne une réponse de 62 millions.

Maintenant, écrivez 9,603 fois 10 à la puissance moins trois sous forme de nombre ordinaire.

Nous allons donc prendre 9,603, et nous allons le multiplier par 1 sur 10 trois fois, ce qui est équivalent à diviser par 10 trois fois. Donc, cette virgule va se déplacer vers la gauche. Ça va réduire ce nombre. On va diviser par 10 une fois, deux fois, trois fois, de sorte que la virgule se place là. On peut ensuite mettre les zéros, et on peut voir que la réponse est 0,009603.

Maintenant, regardons une ou deux questions légèrement plus difficiles.

Calculez la valeur de trois fois 10 à la puissance quatre fois 1,2 fois 10 à la puissance sept, en donnant votre réponse en écriture scientifique.

Eh bien, avec la multiplication, peu importe l’ordre dans lequel nous multiplions ces éléments, alors je peux me débarrasser immédiatement de ces parenthèses. Donc, c’est la même chose que trois fois 10 à la puissance quatre fois 1,2 fois 10 à la puissance sept. Maintenant, nous pouvons multiplier les 10 à la puissance quatre et les 10 à la puissance sept ensemble et multiplier trois par 1,2. Maintenant, trois fois 1,2 est égal à 3,6. Et si je multiplie par 10 quatre fois et puis par sept autres fois, je multiplie par 10 11 fois. C’est 10 à la puissance 11. Donc, cela est équivalent à 3,6 fois 10 à la puissance 11.

Maintenant, rappelez-vous, pour être en écriture scientifique appropriée, le nombre doit être sous cette forme, 𝑎 fois 10 à la puissance 𝑏, où 𝑎 est un nombre compris entre un et 10. Il peut être égal à un, mais il ne peut pas être égal à 10. Et 𝑏 est un exposant de puissance positive ou négative de 10. Maintenant, dans notre cas, la valeur de 𝑎 est 3,6, qui est dans le bon intervalle. C’est supérieur ou égal à un, mais inférieur à 10. Et nous avons, dans ce cas, une puissance positive, ou exposant, de 10. Donc, notre réponse est 3,6 fois 10 à la puissance 11.

Bon, alors une dernière question avant de terminer.

Calculez la valeur de cinq fois 10 à la puissance 5 fois 8,2 fois 10 à la puissance 11, en donnant votre réponse en écriture scientifique.

Eh bien, encore une fois, la multiplication est commutative, donc peu importe si nous avons les parenthèses et dans quel ordre nous les écrivons. Donc, je vais faire cinq fois 8,2 fois 10 à la puissance cinq fois 10 à la puissance 11, dans cet ordre. Maintenant, cinq fois 8,2 est égal à 41. Et si je multiplie par 10 à la puissance cinq, cela est équivalent à multiplier par 10 cinq fois, puis par 10 à la puissance de 11, cela est équivalent à multiplier par 10 encore 11 fois, c’est un total de 16 fois. Donc, c’est 10 à la puissance 16. Donc, cela est équivalent à 41 fois 10 à la puissance 16.

Mais attendez une minute ! Ce n’est pas notre réponse ! Ce nombre ici doit être compris entre un et 10. 41 n’est pas entre un et 10. Mais regardez, je pourrais l’écrire 4,1 fois 10 à la puissance quelque chose. Eh bien, en fait, dans ce cas, il faudrait multiplier par 10 à la puissance un, car je dois multiplier 4,1 par 10 une fois pour le transformer en 41. Ainsi, 41 est équivalent à 4,1 fois 10 à la puissance un.

Et c’est le nombre qui doit être multiplié par 10 à la puissance 16. Eh bien, nous pouvons voir que nous avons 4,1 fois 10 une fois, fois 10 pour 16 autre fois, ce qui signifie que c’est fois 10 pour 17 fois au total. Et le voilà le nombre attendu. Nous avons maintenant notre nombre en écriture scientifique appropriée. Ce premier terme est 4,1. C’est entre un et 10. Et nous avons fois 10 à la puissance 17.

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