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Vidéo de question : Déterminer la dérivée seconde d’équations paramétriques trigonométriques Mathématiques

Si 𝑥 = cot 𝑡 et 𝑦 = csc 𝑡, alors déterminez d²𝑦/d𝑥².

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Transcription de vidéo

Si 𝑥 est égal à cotangente 𝑡 et 𝑦 est égal à cosécante 𝑡, déterminez la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥.

Dans cette question, on nous demande de déterminer la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. Mais on ne nous donne pas 𝑦 sous la forme d’une fonction en 𝑥. Au lieu de cela, on nous donne un couple d’équations paramétriques exprimées en fonction de la variable 𝑡. Étant donné que 𝑦 n’est pas une fonction en 𝑥, on ne peut pas déterminer d𝑦 sur d𝑥 carré en dérivant simplement notre expression de 𝑦 deux fois par rapport à 𝑥. À la place, on va devoir utiliser la dérivation des fonctions paramétriques.

Pour cela, on rappelle que d deux 𝑦 sur d𝑥 carré est égal à la dérivée de d𝑦 sur d𝑥 par rapport à 𝑡 divisée par la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑡. Soulignons un détail important ici. Pour appliquer cette formule, on a besoin de d𝑦 sur d𝑥. Or, 𝑦 n’est pas une fonction de 𝑥, donc on ne peut pas directement dériver 𝑦 par rapport à 𝑥. Mais on peut déterminer d𝑦 sur d𝑥 en utilisant à nouveau la dérivation des fonctions paramétriques. Il s’agit en fait d’une application de la règle de dérivation en chaîne. Cette règle nous dit que d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑡 divisé par d𝑥 sur d𝑡.

Donc, pour déterminer la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥, on doit d’abord trouver les expressions de d𝑦 sur d𝑡 et d𝑥 sur d𝑡. Commençons par la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑡. Il s’agit de la dérivée de la cosécante de 𝑡 par rapport à 𝑡. On rappelle que la dérivée de la cosécante de 𝜃 par rapport à 𝜃 est égale à moins la cotangente de 𝜃 multipliée par la cosécante de 𝜃. Par conséquent, la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑡 est égale à moins la cotangente de 𝑡 multipliée par la cosécante de 𝑡.

On peut procéder de façon similaire pour déterminer la dérivée de 𝑥 par rapport à 𝑡. Il s’agit de la dérivée de la cotangente de 𝑡 par rapport à 𝑡. On rappelle que la dérivée de la cotangente de 𝜃 par rapport à 𝜃 est égale à moins la cosécante au carré de 𝜃. Par conséquent, d𝑥 sur d𝑡 est égal à moins cosécante carré de 𝑡. On peut maintenant remplacer ces expressions de d𝑦 sur d𝑡 et d𝑥 sur d𝑡 dans notre formule de d𝑦 sur d𝑥. On obtient alors que d𝑦 sur d𝑥 est égal à moins cotangente 𝑡 fois cosécante 𝑡, divisé par moins cosécante carré de 𝑡.

On peut simplifier cette expression. Tout d’abord, on peut simplifier par le facteur commun moins un au numérateur et au dénominateur. Ensuite, on peut simplifier par cosécante 𝑡 au numérateur et au dénominateur. Cela nous donne cotangente 𝑡 divisée par cosécante 𝑡. Mais n’oublions pas que pour déterminer d deux 𝑦 sur d𝑥 carré, on va devoir dériver cette expression par rapport à 𝑡. Il semble donc judicieux d’essayer de la simplifier au maximum. Ainsi, bien qu’on pourrait laisser notre expression telle quelle et la dériver en utilisant la règle du quotient, on va la simplifier encore un peu à l’aide des identités trigonométriques.

On va utiliser le fait que la cosécante de 𝑡 est égale au cosinus de 𝑡 divisé par le sinus de 𝑡. Et on va aussi utiliser le fait que un sur cosécante 𝑡 est égal au sinus de 𝑡. Ainsi, on peut réécrire notre numérateur comme cosinus 𝑡 divisé par sinus 𝑡. Et ce numérateur est multiplié par un sur cosécante 𝑡. Ce qui revient à multiplier par sinus 𝑡. Donc, on obtient que d𝑦 sur d𝑥 est égal au cosinus de 𝑡 sur le sinus de 𝑡, fois le sinus de 𝑡. On peut simplifier cette expression en simplifiant par sinus 𝑡 au numérateur et au dénominateur.

Ainsi, d𝑦 sur d𝑥 est égal au cosinus de 𝑡. On est maintenant prêt à appliquer notre formule de la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. Faisons un peu de place pour nos calculs. On remplace par nos expressions de d𝑦 sur d𝑥 et d𝑥 sur d𝑡 dans notre formule de d deux 𝑦 sur d𝑥 carré et on obtient que la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à la dérivée de cosinus 𝑡 par rapport à 𝑡 divisée par moins cosécante carré de 𝑡.

Commençons par le numérateur. La dérivée du cosinus de 𝜃 par rapport à 𝜃 est égale à moins le sinus de 𝜃. Donc la dérivée du cosinus de 𝑡 par rapport à 𝑡 est égale à moins sinus de 𝑡. Rappelons également que diviser par la cosécante de 𝑡 revient à multiplier par le sinus de 𝑡. Par conséquent, diviser par cosécante carré 𝑡 revient à multiplier par sinus carré 𝑡. On peut aussi passer le facteur moins un du dénominateur au numérateur. Il se neutralise avec notre autre facteur moins un. Cela nous donne sinus 𝑡 fois sinus carré 𝑡, ce qui est bien sûr égal au sinus au cube de 𝑡, qui est notre réponse finale.

Ainsi, on a montré que si 𝑥 est la cotangente de 𝑡 et si 𝑦 est la cosécante de 𝑡, alors la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale au sinus au cube de 𝑡.

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