Vidéo question :: Déterminer la borne inférieure de la norme d’une somme de vecteurs de normes données Mathématiques

Transcription de la vidéo

Si la norme du vecteur 𝐮 est cinq et que celle du vecteur 𝐯 est deux, quelle est la plus petite valeur que peut avoir la norme de la somme des vecteurs 𝐮 et 𝐯 ?

On nous donne dans cette question la norme de deux vecteurs différents. La norme de 𝐮 est cinq, et celle de 𝐯 est deux. Il nous faut utiliser ces informations pour déterminer la plus petite valeur possible de la norme de la somme des vecteurs 𝐮 et 𝐯.

Pour répondre à cette question, nous allons supposer que les vecteurs 𝐮 et 𝐯 sont bidimensionnels. Il ne s’agit pas en fait d’une hypothèse nécessaire. Le résultat sera vrai pour n’importe quels deux vecteurs de même dimension. Mais cette hypothèse facilitera tous les diagrammes que nous utiliserons par la suite. Il est possible de répondre à cette question de manière algébrique, mais c’est très difficile. Nous allons donc plutôt répondre à cette question graphiquement. Il faut pour cela se rappeler de deux choses. Tout d’abord, pour additionner deux vecteurs graphiquement, nous devons les représenter sachant que l’origine du second vecteur est située à l’extrémité du premier. Puis nous pouvons additionner les deux vecteurs en utilisant l’origine du premier vecteur et l’extrémité du second. Autrement dit, nous suivons les vecteurs. La somme 𝐮 plus 𝐯 est donnée dans le schéma ci-dessous.

On peut ensuite rappeler que la norme d’un vecteur représenté graphiquement est la longueur du segment. Donc, puisque la norme du vecteur 𝐮 est cinq et celle du vecteur 𝐯 est deux, on peut conclure que le côté bleu de ce triangle a une longueur de cinq et que le côté orange de ce triangle a une longueur de deux. La question nous demande de déterminer la plus petite valeur de la norme de 𝐮 plus 𝐯. C’est la plus petite longueur possible du segment 𝐮 plus 𝐯. Dans notre diagramme, c’est en rose. Pour y arriver, il suffit de remarquer que la longueur d’un côté du triangle est liée à la mesure de l’angle opposé à ce côté.

En effet, si on connaît la loi du cosinus, on peut trouver une relation directe entre ces quatre valeurs. Il n’est cependant pas nécessaire de répondre à cette question. Au contraire, on remarque que plus cet angle est grand, plus la longueur du côté sera grande. Ce qui signifie que la norme du vecteur 𝐮 plus 𝐯 sera plus grande. On peut continuer ainsi. On peut orienter 𝐮 et 𝐯 exactement dans la même direction.

Si on utilise dans ce cas la méthode du triangle pour additionner les deux vecteurs, on constate que la norme du vecteur 𝐮 plus le vecteur 𝐯 est égale à la norme du vecteur 𝐮 plus la norme du vecteur 𝐯. Il s’agit de la plus grande norme possible pour la somme de ces deux vecteurs. Et cela se produit quand les vecteurs sont dans la même direction.

Maintenant, voyons quelle est la plus petite valeur possible pour cette somme. De la même manière, si nous réduisons l’angle de ce triangle, la longueur du côté 𝐮 plus 𝐯 sera plus petite. Et on peut continuer à suivre ce processus pour rendre cette longueur latérale plus petite. Autrement dit, la norme de 𝐮 plus 𝐯 sera de plus en plus petite. Et tout comme nous avons montré que la plus grande norme possible de la somme de ces deux vecteurs se produit lorsqu’ils sont orientés dans la même direction, nous pouvons montrer que la plus petite norme possible de la somme de ces deux vecteurs se produit lorsqu’ils sont orientés dans des sens opposés.

En utilisant la méthode du triangle, nous pouvons additionner graphiquement les vecteurs 𝐮 et 𝐯. Nous savons notamment que la norme du vecteur 𝐮 est de cinq. La longueur du segment représentant le vecteur 𝐮 est donc de cinq. De même, la norme du vecteur 𝐯 est de deux. On peut donc calculer la norme du vecteur 𝐮 plus 𝐯 directement à partir de ce diagramme. Elle s’ajoute à deux pour faire cinq. Il a donc une norme de trois. Cela nous donne deux propriétés utiles. Si 𝐮 et 𝐯 ont la même direction, alors la norme de la somme de ces deux vecteurs est la somme de leurs normes. Et il s’agit de la plus grande norme possible de la somme de ces deux vecteurs. Et si 𝐮 et 𝐯 ont des directions exactement opposées, alors la norme de la somme de ces deux vecteurs est la valeur absolue de la différence de leurs normes. Et dans ce cas, c’est la plus petite norme possible de la somme de ces deux vecteurs.

Nous avons donc pu montrer que si 𝐮 a une norme de cinq et 𝐯 une norme de deux, alors la plus petite norme possible du vecteur 𝐮 plus le vecteur 𝐯 est cinq moins deux, ce qui donne trois.