Transcription de vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment développer le carré de la différence ou de la somme de deux monômes. Un monôme n’est qu’un seul terme algébrique tel que 𝑥, deux ou 𝑦. La différence ou la somme de deux monômes donne une expression telle que 𝑥 plus deux ou 𝑎 moins 𝑏, qui est appelée binôme. Habituellement, lorsque nous voyons des mots avec bi- au début, il y a un lien avec le nombre deux, par exemple, les bicyclettes qui ont deux roues. Ainsi, un binôme est simplement une expression algébrique à deux termes.
Mettre au carré un binôme signifie multiplier un binôme par lui-même. Ainsi, par exemple, nous cherchons le résultat de 𝑥 plus deux multiplié par 𝑥 plus deux, que nous pouvons écrire comme 𝑥 plus deux le tout au carré. C’est une compétence algébrique importante car elle nous permet de manipuler des expressions algébriques plus complexes et sera souvent requise dans des problèmes d’autres domaines mathématiques, tels que des problèmes impliquant l’aire de figures bidimensionnelles. Dans cette vidéo, nous examinerons une variété de méthodes différentes pour mettre des binômes au carré, afin que vous puissiez choisir celle qui vous semble la plus logique.
Commençons donc par notre premier exemple.
Développez 𝑚 plus quatre au carré.
Donc, nous avons un binôme, 𝑚 plus quatre. Et la première chose très importante à noter est que nous mettons au carré tout ce binôme. Cela signifie que nous prenons l’expression 𝑚 plus quatre et la multiplions par elle-même. Ainsi, une autre façon d’écrire ceci serait 𝑚 plus quatre multiplié par 𝑚 plus quatre. Le mot « développer » est une autre façon de dire distribuer. Donc, nous voulons développer les parenthèses ou distribuer les parenthèses. Nous devons multiplier les deux termes du premier binôme par les deux termes du second.
Voyons une interprétation géométrique, premièrement en utilisant l’aire. Supposons que nous ayons une longueur de 𝑚 plus quatre unités. Nous pouvons décomposer cela en une longueur de 𝑚 unités et une longueur de quatre unités. Lorsque nous multiplions 𝑚 plus quatre par lui-même, cela équivaut à trouver une expression pour l’aire d’un carré avec des longueurs de côté de 𝑚 plus quatre unités. Nous pouvons diviser cette aire en quatre régions plus petites et trouver chacune de leurs aires. Ce sont chacun des rectangles ou des carrés, nous trouvons donc leurs aires en multipliant leurs dimensions ensemble.
La première région a une aire de 𝑚 multiplié par 𝑚 qui est 𝑚 au carré. La deuxième région a une aire de 𝑚 multiplié par quatre, qui est quatre 𝑚. La troisième région a une aire de quatre multiplié par 𝑚, ce qui est un autre lot de quatre 𝑚. Et la dernière région a une aire de quatre multiplié par quatre, soit 16. L’aire totale peut être trouvée en additionnant les quatre aires individuelles, donnant 𝑚 au carré plus quatre 𝑚 plus quatre 𝑚 plus 16. Maintenant, nous devons nous rappeler de simplifier cette expression en regroupant des termes similaires. Et les seuls termes similaires sont ceux au centre de notre développement, plus quatre 𝑚 plus quatre 𝑚, ce qui fait plus huit 𝑚. Notre expression se simplifie donc à 𝑚 au carré plus huit 𝑚 plus 16. Et c’est la forme développée de 𝑚 plus quatre le tout au carré.
Maintenant, remarquez que, à ce stade ici, nous avons quatre termes dans notre développement, et les deux au milieu sont exactement les mêmes. Une fois que nous avons regroupé les termes similaires, nous avons trois termes dans notre développement. Ce sera toujours le cas lors de la mise au carré d’un binôme. Donc, si vous trouvez que vous avez un nombre différent de termes ou que vous n’avez pas deux termes qui sont exactement les mêmes, alors quelque chose ne va pas. Alors, vous devez vérifier votre calcul. Donc, c’est une approche pour considérer ce développement comme l’aire d’un carré avec des longueurs de côté de 𝑚 plus quatre unités. Ceci est également parfois appelé méthode de quadrillage car elle suit les mêmes principes que la méthode de quadrillage pour la multiplication.
Une deuxième méthode que nous pourrions envisager serait d’utiliser la propriété de distributivité de la multiplication. Si nous multiplions 𝑚 plus quatre par 𝑚 plus quatre, alors nous pouvons l’écrire comme 𝑚 multiplié par 𝑚 plus quatre plus quatre multiplié par 𝑚 plus quatre. Nous avons donc distribué les termes dans notre premier binôme sur le second. Nous devons ensuite multiplier, développer ou distribuer chacun de ces ensembles de parenthèses. 𝑚 multiplié par 𝑚 donne 𝑚 au carré. 𝑚 multiplié par quatre donne quatre 𝑚. Nous avons ensuite quatre multiplié par 𝑚, ce qui donne un autre lot de quatre 𝑚, et enfin quatre multiplié par quatre, ce qui donne 16.
Notre expression est maintenant identique à celle que nous avions à ce stade ici dans notre première méthode. Et la seule étape restante est de regrouper les termes similaires au centre de notre développement. Comme précédemment, nous constatons que 𝑚 plus quatre le tout au carré est égal à 𝑚 au carré plus huit 𝑚 plus 16. Donc, c’est deux méthodes possibles, mais il y en a une troisième. Et celle-ci est peut-être la plus populaire. Cela s’appelle la méthode FOIL. Et le mot FOIL est un acronyme, ce qui signifie que chacune de ses lettres désigne un mot. C’est juste un moyen de nous assurer de multiplier toutes les bonnes paires de termes ensemble, et de ne rien manquer.
La lettre F dans le mot FOIL signifie « first » (premier). Donc, cela signifie que nous multiplions le premier terme du premier binôme par le premier terme du second. C’est 𝑚 multiplié par 𝑚, ce qui est, bien sûr, 𝑚 au carré. La lettre O signifie « outside » (extérieur). Donc, nous multiplions les termes qui sont à l’extérieur de notre développement. C’est le 𝑚 dans le premier binôme et le quatre dans le second, 𝑚 multiplié par quatre, soit quatre 𝑚. Vous avez probablement deviné que le I signifie « inside » (intérieur), nous multiplions donc les termes à l’intérieur du développement. C’est le quatre dans le premier binôme et le 𝑚 dans le second, quatre multiplié par 𝑚, ce qui donne quatre 𝑚. Et enfin, L signifie « last » (dernier). Nous multiplions le dernier terme dans chaque binôme. C’est le quatre dans le premier binôme et le quatre dans le deuxième, quatre multiplié par quatre, soit 16.
Comme vu précédemment, nous devrions toujours avoir quatre termes dans notre développement à ce stade. Et nous avons deux termes similaires au centre du développement, qui peuvent être combinés. En utilisant les trois méthodes, nous sommes arrivés au même résultat. Lorsque nous développons 𝑚 plus quatre le tout au carré, ce qui signifie que nous multiplions le binôme 𝑚 plus quatre par lui-même, nous obtenons la réponse 𝑚 au carré plus huit 𝑚 plus 16. Il est habituel, bien que ce ne soit pas essentiel, d’écrire les termes de notre développement dans cet ordre, c’est-à-dire des puissances décroissantes de 𝑚. Donc, nous avons d’abord notre terme 𝑚 au carré, puis notre terme 𝑚, et enfin le terme constant.
Avant de passer à d’autres exemples, corrigeons une erreur vraiment courante. Nous avons vu dans notre premier exemple que le développement correct de 𝑚 plus quatre le tout au carré est 𝑚 au carré plus huit 𝑚 plus 16. Malheureusement, l’erreur commise si souvent est de penser que lorsque nous mettons au carré un binôme tel que 𝑚 plus quatre, nous mettons au carré simplement chaque terme, donnant 𝑚 au carré plus quatre au carré. Cela se simplifierait bien sûr en 𝑚 au carré plus 16. Mais comme nous pouvons le voir, ce n’est pas la même chose que la réponse que nous avons déjà trouvée. Il nous manque ce terme de plus huit 𝑚.
Cela équivaut à oublier environ deux régions de l’aire dans la première méthode que nous avons utilisée. Nous avons le 𝑚 au carré et le 16. Mais nous n’avons pas les deux aires qui correspondent à la multiplication de 𝑚 par quatre à chaque fois. Mais c’est une erreur si courante, même commise par des étudiants en mathématiques à des niveaux avancés en cas de raisonnement incorrect. Donc, assurez-vous que vous ne le faites pas. Une autre erreur courante qui mérite d’être mentionnée serait de penser que 𝑚 multiplié par 𝑚 donne deux 𝑚. Rappelez-vous, cependant, qu’il s’agit de la multiplication des termes et non pas de leur addition, donc la bonne réponse est 𝑚 au carré.
Passons maintenant à d’autres exemples.
Développez moins 𝑥 plus deux 𝑦 le tout au carré.
Dans cette question, nous avons donc un binôme, moins 𝑥 plus deux 𝑦. Et nous le mettons au carré. Cela signifie que nous multiplions ce binôme par lui-même. Donc, nous cherchons le résultat de la multiplication de moins 𝑥 plus deux 𝑦 par moins 𝑥 plus deux 𝑦. Il existe de nombreuses méthodes différentes que nous pouvons utiliser. Dans cette question, je vais choisir d’utiliser la méthode FOIL. Maintenant, nous devons juste être un peu prudents car l’un des termes de notre binôme est négatif. Et nous ne voulons pas laisser cela nous tromper. Nous devons être très prudents avec les signes lorsque nous multiplions chaque paire de termes ensemble.
Donc, F, rappelez-vous, représente « first » (premier). Nous multiplions le premier terme dans chaque binôme ensemble. C’est moins 𝑥 multiplié par moins 𝑥, ce qui donne 𝑥 au carré. Rappelez-vous, un négatif multiplié par un négatif donne un positif. Ensuite, la lettre O signifie « outside » (extérieur). Nous multiplions les termes en dehors de notre développement. C’est le moins 𝑥 dans le premier binôme par le plus deux 𝑦 dans le second, donnant moins deux 𝑥𝑦. I signifie « inside » (intérieur). Donc, nous multiplions les termes au centre de notre développement. C’est le deux 𝑦 dans le premier binôme et le moins 𝑥 dans le second, ce qui donne un autre lot de moins deux 𝑥𝑦. Enfin, la lettre L signifie « last » (dernier), donc nous multiplions le dernier terme dans chaque binôme ensemble. C’est plus deux 𝑦 multiplié par plus deux 𝑦, qui est quatre 𝑦 au carré.
Ainsi, après avoir terminé nos quatre multiplications, nous avons maintenant quatre termes dans notre développement, 𝑥 au carré moins deux 𝑥𝑦 moins deux 𝑥𝑦 plus quatre 𝑦 au carré. Rappelez-vous, il devrait toujours y avoir deux termes identiques au centre de notre développement. En effet, il y en a. Nous avons moins deux 𝑥𝑦 moins un autre lot de deux 𝑥𝑦. Nous pouvons donc simplifier notre développement en regroupant des termes similaires, et nous avons notre réponse finale au problème. Le développement simplifié de moins 𝑥 plus deux 𝑦 le tout au carré est 𝑥 au carré moins quatre 𝑥𝑦 plus quatre 𝑦 au carré.
Très bien, nous gagnons de la confiance en appliquant ces méthodes maintenant. Voyons un autre exemple qui est un peu plus complexe, mais uniquement parce que les termes du binôme que nous mettons au carré ne sont pas aussi simples.
Développez quatre 𝑥 au carré plus trois sur deux 𝑦 au carré le tout au carré.
Maintenant, à première vue, cette question semble relativement compliquée. Mais, en fait, nous avons un binôme. C’est la somme de deux termes algébriques. Puis nous le mettons au carré. Cela signifie que nous multiplions ce binôme par lui-même. Donc, nous cherchons une expression algébrique pour le résultat de la multiplication de quatre 𝑥 au carré plus trois sur deux 𝑦 au carré par quatre 𝑥 au carré plus trois sur deux 𝑦 au carré. Bien que cela puisse sembler compliqué, les processus standard que nous suivons sont exactement les mêmes. Utilisons la méthode de la distributivité. Donc, nous prenons les deux termes dans notre premier binôme et nous les distribuons sur le second, donnant quatre 𝑥 au carré multiplié par quatre 𝑥 au carré plus trois sur deux 𝑦 au carré plus trois sur deux 𝑦 au carré multiplié par quatre 𝑥 au carré plus trois sur deux 𝑦 au carré.
Nous avons maintenant deux parenthèses individuelles à distribuer. Quatre 𝑥 au carré multiplié par quatre 𝑥 au carré donne 16𝑥 à la puissance quatre car quatre multiplié par quatre est 16. Et 𝑥 au carré multiplié par 𝑥 au carré est 𝑥 à la puissance quatre. Rappelez-vous, nous additionnons les exposants. Nous avons alors quatre 𝑥 au carré multiplié par trois sur deux 𝑦 au carré. Et nous pouvons simplifier le coefficient ici. Pour l’instant, nous avons quatre multiplié par trois sur deux 𝑥 au carré 𝑦 au carré.
C’est la première série de parenthèses développée. Maintenant, considérons la seconde. Nous avons plus trois sur deux 𝑦 au carré multiplié par quatre 𝑥 au carré. Et encore une fois, nous allons simplifier le coefficient ici dans un instant. Pour le moment, nous l’écrirons simplement comme trois sur deux multiplié par quatre 𝑥 au carré 𝑦 au carré. Enfin, nous avons trois sur deux 𝑦 au carré multiplié par trois sur deux 𝑦 au carré, ce que nous écrirons comme trois sur deux multiplié par trois sur deux 𝑦 à la puissance quatre. Encore une fois, rappelez-vous, nous additionnons les exposants.
Notez que nous avons quatre termes dans notre développement à ce stade et que les deux termes au centre sont identiques, bien que le quatre et le trois sur deux aient été écrits dans l’ordre inverse. Maintenant, nous pouvons simplifier. 16𝑥 à la puissance quatre ne nécessite aucune simplification. Dans notre deuxième terme, nous avons quatre multiplié par trois sur deux. Ainsi, nous pouvons annuler un facteur de deux au numérateur et au dénominateur pour donner deux multiplié par trois sur un, qui est simplement six.
Notre deuxième terme est donc six 𝑥 au carré 𝑦 au carré. Avec exactement le même raisonnement, notre troisième terme est aussi six 𝑥 au carré 𝑦 au carré. Et pour simplifier le coefficient dans notre dernier terme, nous multiplions les numérateurs ensemble, donnant neuf, et multiplions les dénominateurs, donnant quatre. Donc, notre dernier terme est
neuf sur quatre 𝑦 à la puissance quatre.
Il ne reste plus qu’à simplifier notre développement en regroupant les termes similaires au centre. Six 𝑥 au carré 𝑦 au carré plus six 𝑥 au carré 𝑦 au carré est 12𝑥 au carré 𝑦 au carré. Donc, nous avons notre développement simplifié ; quatre 𝑥 au carré plus trois sur deux 𝑦 au carré le tout au carré est égal à 16𝑥 à la puissance quatre plus 12𝑥 au carré 𝑦 au carré plus neuf sur quatre 𝑦 à la puissance quatre.
Donc, bien que cet exemple ait semblé un peu plus compliqué, les processus que nous utilisons sont exactement les mêmes. Dans notre dernier exemple, nous verrons comment appliquer ces méthodes à une question impliquant la résolution de problèmes.
Si 𝑥 plus 𝑦 le tout au carré est égal à 100 et 𝑥𝑦 est égal à 20, quelle est la valeur de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré ?
Alors, nous avons reçu deux informations sur ces nombres 𝑥 et 𝑦 et on nous a demandé de les utiliser pour déterminer la valeur de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré. Maintenant, votre première pensée peut être que 𝑥 plus 𝑦 le tout au carré est égal à 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré. Dans ce cas, la valeur que nous recherchons est la valeur donnée dans la question ; c’est 100. Mais si c’est le cas, pourquoi avons-nous également reçu la valeur de 𝑥𝑦 ?
En fait, si nous avions répondu à la question de cette façon, nous aurions commis l’une des erreurs les plus courantes en mathématiques parce que nous avons développé le binôme de manière incorrecte. Rappelez-vous que 𝑥 plus 𝑦 le tout au carré signifie 𝑥 plus 𝑦 multiplié par 𝑥 plus 𝑦. Donc, en fait, nous multiplions un binôme par lui-même, pas simplement en mettant au carré chacun des termes individuels.
Voyons ce qui se passe si nous développons correctement 𝑥 plus 𝑦 le tout au carré. En utilisant la méthode FOIL qui, rappelez-vous, signifie (first) premier, (outside) extérieur, (inside) intérieur, (last) dernier, cela donne 𝑥 au carré plus 𝑥𝑦 plus 𝑥𝑦 plus 𝑦 au carré, ce qui se simplifie à 𝑥 au carré plus deux 𝑥𝑦 plus 𝑦 au carré. Ce que nous avons maintenant est une équation reliant 𝑥 plus 𝑦 le tout au carré, dont nous connaissons la valeur, 𝑥𝑦, dont nous connaissons la valeur, et 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré, dont nous voulons calculer la valeur.
En substituant 100 dans 𝑥 plus 𝑦 le tout au carré et 20 dans 𝑥𝑦, nous avons 100 est égal à 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus deux multiplié par 20. Cela se simplifie à 100 est égal à 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 40. Et en soustrayant 40 de chaque membre de l’équation, nous constatons que 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré est égal à 60. Donc, nous avons résolu le problème. En développant correctement le binôme 𝑥 plus 𝑦 le tout au carré, puis en substituant les valeurs données dans la question, nous avons trouvé que 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré est égal à 60.
Passons maintenant en revue les points clés que nous avons vus dans cette vidéo. Une méthode vraiment utile pour mettre au carré des binômes est la méthode FOIL, où chaque lettre représente un couple différent de termes que nous devons multiplier : (firsts) les premiers, (outsides) les extérieurs, (insides) les intérieurs, (lasts) les derniers. La méthode de quadrillage ou de l’aire peut être utile pour visualiser pourquoi nous devons multiplier chaque terme du premier binôme par chaque terme du second. Nous l’imaginons comme la détermination d’une expression pour l’aire du carré dont les longueurs de côté sont égales au binôme que nous mettons au carré. Nous aurons toujours quatre termes dans notre développement initial. Les deux termes au centre seront identiques. Et nous les simplifions ensuite en regroupant des termes similaires pour donner une expression algébrique à trois termes.
La forme générale lors du développement d’un binôme de la forme 𝑥 plus 𝑦 le tout au carré est 𝑥 au carré plus deux 𝑥𝑦 plus 𝑦 au carré. Enfin, une idée fausse incroyablement courante face à laquelle nous devons tout faire pour l’éviter : lorsque nous mettons au carré un binôme, nous ne mettons pas simplement les termes individuels au carré. 𝑥 plus 𝑦 le tout au carré n’est pas égal à 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré. Au lieu de cela, nous devons utiliser l’une des méthodes formelles pour mettre au carré un binôme, telle que la méthode FOIL, la méthode de quadrillage ou de l’aire, ou la propriété de distributivité.
