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Déterminez la primitive de cosécante de deux 𝑥 multiplié par 57 sinus au carré de deux 𝑥 plus 33 cotangente de deux 𝑥 par rapport à 𝑥.
Dans cette question, on nous demande de trouver la primitive d’une fonction trigonométrique. Cette fonction semble difficile à intégrer. Commençons par simplifier l’intégrande. On remarque d’abord qu’on multiplie par cosécante de deux 𝑥, et on sait que c’est égal à un divisé par le sinus de deux 𝑥. En distribuant un divisé par le sinus de deux 𝑥 dans les parenthèses, on divise le premier terme à l’intérieur des parenthèses par le sinus de deux 𝑥 et le deuxième terme par ceci. Mais nous allons choisir de multiplier le deuxième terme par cosécante de deux 𝑥. En simplifiant le premier terme, nous obtenons l’intégrale de 57 fois le sinus de deux 𝑥 plus 33 cosécante de deux 𝑥 fois la cotangente de deux 𝑥 par rapport à 𝑥.
Maintenant, chacun des deux termes de l’intégrande est sous une forme standard que l’on sait intégrer grâce aux règles d’intégration. Il suffit donc d’intégrer chaque terme séparément. Commençons par le premier terme. Rappelons pour toute constante réelle 𝑎 non nulle, l’intégrale du sinus de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins un sur 𝑎 multiplié par le cosinus de 𝑎𝑥 plus la constante d’intégration 𝑐. Ici, 𝑎 est égal à deux. On obtient donc moins 57 sur deux multiplié par le cosinus de deux 𝑥. Rappelons que, comme on calcule la primitive de la somme de deux termes, il suffit d’ajouter la constante d’intégration à la fin.
Ensuite, il faut calculer la primitive de 33 cosécante de deux 𝑥 fois cotangente de deux 𝑥. On peut le faire de plusieurs façons. Par exemple, on sait que la dérivée de cosécante de 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins cosécante de 𝑥 fois cotangente de 𝑥. Ce qui donne une formule de primitive standard. La primitive de cosécante de 𝑥 fois cotangente de 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins cosécante de 𝑥 plus 𝑐. On peut ensuite utiliser une substitution pour réécrire l’intégrande sous cette forme, puis appliquer cette formule. Cependant, on peut utiliser la même méthode pour trouver une formule générale en fonction d’un argument multiple.
Pour toutes constantes réelles 𝑘 et 𝑎, avec 𝑎 non nul, la primitive de 𝑘 fois cosécante de 𝑎𝑥 multipliée par cotangente de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est moins 𝑘 sur 𝑎 fois cosécante de 𝑎𝑥 plus la constante d’intégration 𝑐. Et il est bien plus facile d’appliquer cette formule. On a 𝑘 égale 33 et 𝑎 égale deux. On obtient moins 57 sur deux fois le cosinus de deux 𝑥 moins 33 sur deux fois cosécante de deux 𝑥 plus 𝑐, ce qui est notre réponse finale. Donc, en simplifiant l’intégrande et en appliquant des formules de primitives, nous avons montré que la primitive de cosécante de deux 𝑥 fois 57 sinus au carré de deux 𝑥 plus 33 cotangente de deux 𝑥 par rapport à 𝑥 est moins 57 sur deux cosinus de deux 𝑥 moins 33 sur deux cosécante de deux 𝑥 plus 𝑐.
