Transcription de la vidéo
Deux avions se précipitent sur le même aérodrome, l’un montant à un angle de 45 degrés par rapport au sol et l’autre à 20 degrés du sol, comme le montre le schéma. Lorsque les deux avions sont horizontalement distants de 2500 mètres du terrain, l’avion qui a monté à un angle moins raide est verticalement à une distance h un mètres au-dessus du sol et l’avion qui a grimpé à un angle plus raide est verticalement distant de ℎ deux mètres au-dessus du sol. Quelle est la distance verticale séparant ℎ un et ℎ deux au mètre près ? Lequel déplacement par rapport à l’aérodrome est le plus grand entre l’avion en montée plus raide et l’avion en montée moins raide lorsque l’avion en montée raide est à ℎ deux mètres du sol ? Répondez au mètre près.
D’accord, on nous dit dans cette question que nous avons deux avions, chacun grimpant à un angle différent par rapport au sol lorsqu’ils quittent un aérodrome. Ceci est montré dans le schéma où nous pouvons voir que nous avons un avion à un angle de 45 degrés par rapport au sol et l’autre à un angle de 20 degrés. Le schéma montre également que lorsque les deux avions ont parcouru une distance de 2500 mètres par rapport à l’horizontale, l’avion en montée plus raide a atteint une hauteur de ℎ deux mètres au-dessus du sol et celui en montée moins raide, une hauteur de ℎ un mètre.
Ainsi, toutes les informations qui nous sont données dans la partie principale du texte de la question sont également présentées dans le schéma. Cela signifie que nous pouvons tranquillement nous débarrasser de ce morceau de texte principal pour nous libérer de l’espace. Commençons par la première partie de la question. Cela dit, quelle est la distance verticale séparant ℎ un et ℎ deux au mètre près ? Nous savons que ℎ deux est la hauteur que l’avion en montée plus raide a atteint après avoir parcouru une distance horizontale de 2500 mètres par rapport au terrain d’aviation. Et nous savons que ℎ un est la hauteur que l’avion en montée moins raide a atteint après avoir parcouru cette même distance horizontale.
On nous demande de combien ℎ deux est supérieur à ℎ un verticalement. Voilà donc cette distance ici dans notre schéma, et elle doit être égale à cette distance ici, qui est ℎ deux mètres, moins cette distance ici, qui est ℎ un mètre. En d’autres termes, la question nous demande de calculer la valeur de ℎ deux moins ℎ un. Cela signifie que nous devons commencer par calculer les valeurs de ℎ deux et ℎ un. Commençons par la distance ℎ deux, la hauteur de l’avion en montée plus raide.
Nous pouvons identifier un triangle rectangle dans le schéma ; l’hypoténuse de ce triangle est la trajectoire que suit l’avion en montée plus raide. Et puis il y a un côté horizontal avec une longueur de 2500 mètres - c’est la distance horizontale parcourue par l’avion - et un côté vertical avec une longueur de ℎ deux. C’est la hauteur que cet avion a montée lorsqu’il a parcouru ces 2500 mètres horizontalement. Nous savons que l’angle que l’avion en montée plus raide est de 45 degrés. Et voilà donc la valeur de cet angle dans le coin inférieur gauche du triangle.
Pour trouver la valeur de ℎ deux, nous devons rappeler une équation trigonométrique utile. Considérons un triangle rectangle général et supposons que cet angle ait une valeur de 𝜃. Nous étiquetons la longueur du côté opposé à cet angle comme 𝑜 qui est l’abréviation de l’opposé et la longueur du côté adjacent à celui-ci comme 𝑎 pour adjacent. Ensuite, pour ce triangle rectangle général, l’équation trigonométrique que nous allons trouver utile dit que tan 𝜃 est égal à 𝑜 divisé par 𝑎. Si nous comparons ce triangle rectangle général à celui que nous avons identifié dans notre schéma, nous pouvons voir précisément pourquoi cette équation va nous être utile.
L’équation relie l’angle 𝜃, la longueur du côté adjacent à l’angle et la longueur du côté opposé. Cela signifie que si nous connaissons deux de leurs valeurs, nous pouvons utiliser cette équation pour calculer la troisième. Dans le triangle de cette figure, nous connaissons la valeur de l’un des angles. Il fait 45 degrés. Et donc, c’est notre valeur pour l’angle 𝜃. Nous savons également que la longueur du côté du triangle adjacent à cet angle est de 2500 mètres. Voilà donc notre valeur du côté adjacent 𝑎.
Ce côté vertical du triangle a une longueur de ℎ deux. Et c’est ce que nous essayons de trouver ici. C’est le côté du triangle qui est opposé à l’angle 𝜃. Et donc, ℎ deux est notre valeur pour la l’angle 𝑜. Donc, nous avons des valeurs pour 𝜃 et 𝑎, et nous voulons trouver la valeur de 𝑜. Cela signifie que nous devons réorganiser cette équation pour faire de 𝑜 le sujet. Pour ce faire, nous multiplions simplement les deux membres de l’équation par 𝑎. Ensuite, sur le membre droit, le 𝑎 au numérateur est annulé avec le 𝑎 au dénominateur. Et en écrivant l’équation dans l’autre sens, nous avons que 𝑜 est égal à 𝑎 multiplié par tan 𝜃.
Prenons maintenant nos valeurs pour 𝑎 et 𝜃 et les substituons dans la partie droite de cette équation. Au lieu de 𝑜, nous avons écrit ℎ deux parce que c’est le côté opposé de ce triangle et c’est égal à 2500 mètres, ce qui est notre valeur pour 𝑎, multipliée par le tan de 45 degrés, qui est notre angle 𝜃. La tangente de 45 degrés est tout simplement un. Et donc, ℎ deux est égal à 2500 mètres multiplié par un, ce qui équivaut à 2500 mètres. Nous avons donc trouvé notre valeur pour ℎ deux, la hauteur atteinte par l’avion en montée plus raide.
Nous pouvons remarquer que cette hauteur est la même que la distance horizontale de 2500 mètres parcourue par l’avion. Étant donné que cet avion se déplace sous un angle de 45 degrés par rapport au sol, qui se trouve à mi-chemin entre la direction horizontale et la position verticale, il est donc logique que la distance verticale montée soit égale à la distance horizontale parcourue. Puisque nous avons calculé la valeur de ℎ deux, il est temps de passer à la recherche de la valeur de ℎ un.
Pour ce faire, nous devons identifier un deuxième triangle rectangle dans notre diagramme; Plus précisément, c’est ce triangle représenté en rose. L’hypoténuse de ce triangle est la trajectoire de l’avion en montée moins raide. L’angle inférieur gauche de ce triangle est de 20 degrés, car c’est l’angle que fait cet avion par rapport au sol. Ces deux avions parcourent la même distance horizontale. Et donc, ce triangle a un côté horizontal de 2500 mètres de longueur, tout comme le premier. Le côté vertical de ce triangle est la hauteur ℎ atteinte par cet avion moins brutal.
De la même manière que précédemment, nous pouvons identifier notre angle 𝜃 à 20 degrés, notre côté adjacent 𝑎 à 2500 mètres et notre côté opposé 𝑜 à ℎ un. Encore une fois, comme nous le faisions auparavant, nous pouvons prendre nos valeurs pour 𝜃 et 𝑎 et les substituer dans cette équation. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons que notre côté opposé ℎ un est égal à 2500 mètres - c’est notre côté adjacent 𝑎 - multiplié par la tangente de 20 degrés, qui est notre angle 𝜃. La tangente de 20 degrés équivaut 0.36397 et ainsi de suite avec d’autres décimales. Et puis en évaluant cette expression, nous constatons que ℎ un est égal à 909,9256 mètres, encore une fois avec des décimales supplémentaires.
Une fois que nous avons calculé ℎ deux et ℎ un, alors tout ce que nous devons faire pour calculer cette distance, qui est la hauteur verticale de ℎ deux au-dessus de ℎ un, est de soustraire notre valeur de ℎ un de notre valeur de ℎ deux. Depuis que nous avons vu que cette distance est égale à ℎ deux moins ℎ un. Nous avons que ℎ deux moins ℎ un est égal à 2500 mètres moins 909,9256 mètres, ce qui équivaut à 1590,074 mètres. On nous dit de donner notre réponse au mètre près. Et donc, en arrondissant notre résultat au mètre près, on obtient notre réponse à cette première partie de la question comme étant 1590 mètres.
Finalement, laissons un peu d’espace pour pouvoir examiner la deuxième partie de la question.
Quelle est la différence entre le déplacement par rapport à l’aérodrome de l’avion en montée plus raide et le déplacement par rapport à l’aérodrome de l’avion en montée moins raide lorsque celui en montée plus raide est à ℎ deux mètres du sol? Répondez au mètre près.
Le déplacement de chaque avion de l’aérodrome est la distance en ligne droite de l’aérodrome à la position actuelle de cet avion. Ainsi, lorsque l’avion en montée plus raide est à ℎ deux mètres du sol, représenté sur le schéma, le déplacement de cet avion en montée plus raide depuis l’aérodrome est représenté par cette flèche bleue de l’aérodrome à l’avion. Et le déplacement de l’avion en montée moins raide depuis l’aérodrome est donné par la flèche bleue de l’aérodrome à cet avion.
On nous demande de combien le déplacement de cet avion en montée plus raide est supérieur à celui de l’avion en montée moins raide. Donc, cela nous demande de déterminer de combien cette flèche bleue est plus longue que celle-ci. Pour ce faire, nous allons devoir rappeler les deux triangles rectangles que nous avons identifiés dans le diagramme en répondant à la première partie de la question. Cette fois, nous devons trouver la différence entre la longueur de cette hypoténuse et la longueur de celle-ci. Étiquetons la longueur de l’hypoténuse représentant le déplacement de l’avion rapide 𝑑 un et celle de l’avion lent 𝑑 deux. Ensuite, ce que nous essayons de trouver dans la deuxième partie de la question est 𝑑 un moins 𝑑 deux.
La première étape pour ce faire est de trouver les valeurs de 𝑑 un et 𝑑 deux. Il y a deux façons possibles que nous pourrions utiliser. Une approche utilise le théorème de Pythagore, qui dit que pour un triangle rectangle avec une hypoténuse de longueur 𝑐 et d’autres côtés de longueurs 𝑎 et 𝑏, 𝑐 au carré est égal à 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré.
Dans les triangles que nous avons sur notre figure, nous savons que la longueur de l’un des côtés autre que l’hypoténuse est de 2500 mètres pour les deux triangles. Nous savons également que le côté vertical du triangle bleu a une longueur de ℎ deux et le côté vertical du triangle rose a une longueur de ℎ un. Et dans la première partie de la question, nous avons trouvé les valeurs de ℎ un et ℎ deux. Ainsi, nous pourrions utiliser nos valeurs calculées pour ℎ un et ℎ deux avec la longueur de l’autre côté de 2500 mètres pour calculer la longueur de l’hypoténuse de chaque triangle en utilisant cette équation du théorème de Pythagore.
La deuxième approche consiste à utiliser une équation trigonométrique, qui dit que pour un triangle rectangle avec un angle 𝜃, un côté adjacent à cet angle 𝜃 de longueur 𝑎 et une hypoténuse de longueur ℎ, donne que cos 𝜃 est égal à 𝑎 divisé par ℎ. Dans les triangles de cette figure, nous connaissons la valeur de l’angle 𝜃 dans chaque cas, et nous connaissons la longueur du côté adjacent 𝑎. Ainsi, nous pourrions réorganiser cette équation pour faire de l’hypoténuse ℎ le sujet et utiliser ces valeurs pour calculer l’hypoténuse de chacun de nos triangles.
Dans cette vidéo, nous allons utiliser la deuxième approche. Bien qu’elle soit peut-être un peu plus compliquée que la première approche basée sur le théorème de Pythagore, elle présente l’avantage de ne pas s’appuyer sur des informations que nous avons calculées nous-mêmes au cours de la première partie de la question. Donc, même si nous n’avons pas obtenu la première partie correcte, cela n’affecterait pas notre résultat pour cette deuxième partie. Nous avons dit que nous allions devoir réorganiser cette équation pour faire de ℎ le sujet.
Pour ce faire, nous multiplions d’abord les deux membres de l’équation par ℎ. Les ℎ sur le membre droit s’annulent. À partir de là, nous divisons ensuite les deux membres de l’équation par cos 𝜃 afin que les termes cos 𝜃 du membre gauche s’annulent. Cela nous laisse avec une équation qui dit que l’hypoténuse ℎ est égale au côté adjacent 𝑎 divisé par cos 𝜃.
Nous pouvons maintenant appliquer cette équation à chacun des triangles de notre diagramme. Commençons par le triangle bleu qui a un angle 𝜃 de 45 degrés, un côté adjacent à celui-ci d’une longueur de 2500 mètres, donc c’est notre valeur pour 𝑎, et son hypoténuse qui est 𝑑 un est notre valeur pour ℎ. En substituant ces valeurs dans cette équation, nous avons que 𝑑 un est égal à 2500 mètres divisé par cos de 45 degrés. Cela équivaut à 3535,53 mètres, où les ellipses montrent que cela a d’autres décimales.
Maintenant que nous avons notre valeur pour 𝑑 un, la valeur du déplacement de cet avion en montée plus raide, il est temps de faire la même chose pour trouver la valeur de 𝑑 deux. Donc, dans ce cas, 𝑑 deux est notre valeur pour l’hypoténuse ℎ. Notre côté adjacent 𝑎 a la même longueur de 2500 mètres. Et notre angle 𝜃 est égal à 20 degrés. En utilisant ces valeurs dans cette équation, nous obtenons que 𝑑 deux est égal à 2500 mètres divisé par cos 20 degrés. Cela équivaut à 2660,44 mètres. Et comme avant, ce résultat a d’autres décimales.
Nous avons maintenant calculé les valeurs de 𝑑 un et 𝑑 deux. Et nous avons dit que la réponse à cette partie de la question sera 𝑑 un moins 𝑑 deux, alors nous allons libérer de l’espace et travailler sur cette soustraction. En utilisant les valeurs que nous avons calculées, nous avons que 𝑑 un moins 𝑑 deux est égal à 3535,53 mètres moins 2660,44 mètres. Cela équivaut à 875,09 mètres. Enfin, en arrondissant ce résultat au mètre près, comme on nous demande, nous obtenons notre réponse de 875 mètres.
