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Vidéo de question : Évaluation de l’intégrale définie d’une fonction puissance avec un exposant fractionnaire Mathématiques

Évaluez ∫_ (1) ^ (27) 4𝑥⁻²ᐟ³ 𝑑𝑥.

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Transcription de vidéo

Évaluez l’intégrale de un à 27 de quatre 𝑥 à la puissance moins deux sur trois.

Nous avons dans cette question une intégrale définie. Nous avons une intégrale définie parce que nous connaissons les bornes de l’intégration que nous voulons réaliser. Nous pouvons utiliser cela pour trouver une aire sous un graphique.

Nous avons alors dessiné un petit croquis pour nous aider à comprendre ceci. Ce que cela signifie est que si nous avons une fonction 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥 et si nous voulons trouver sur un graphique l’aire sous cette fonction entre les bornes 𝑎 et 𝑏, alors ce que nous faisons est que nous cherchons l’intégrale de la fonction entre 𝑎 et 𝑏.

Cependant, comment calculons-nous cette valeur ? Bien, pour faire cela, ce que nous utilisons est ce qu’on appelle la formule de l’intégrale définie. Elle nous dit que si nous connaissons la primitive de 𝑓 de 𝑥 – que nous notons 𝐹 de 𝑥 avec un 𝐹 majuscule – et que si nous cherchons à trouver l’intégrale définie entre deux bornes, 𝑎 et 𝑏, de notre intégrande, qui est la fonction 𝑓 de 𝑥 que nous intégrons, alors cela va être égal à la valeur de notre primitive en 𝑏, notre borne supérieure, moins la valeur de la primitive en 𝑎, qui est notre borne inférieure. 𝑎 et 𝑏 sont tous deux substitués pour 𝑥.

Bien, nous allons maintenant utiliser cela pour évaluer notre expression. Ce que cela signifie en pratique, c’est que nous allons en fait calculer la primitive de notre expression. Ensuite, nous allons calculer les valeurs de la primitive aux bornes supérieure et inférieure. Enfin nous allons soustraire la valeur à la borne inférieure de la valeur à la borne supérieure.

Bien, allons-y. Première étape, nous allons intégrer quatre 𝑥 à la puissance moins deux sur trois, ce qui nous donne quatre 𝑥 à la puissance un tiers sur un tiers. Cela sera calculé en nos bornes un et 27. Juste un petit rappel de la façon dont nous avons réellement intégré ce terme. Bien, ce que nous avons fait, c’est que nous avons pris quatre 𝑥 à la puissance moins deux sur trois. Puis, nous avons ajouté un à l’exposant. C’est comme ajouter trois sur trois. Ainsi, cela nous a donné un sur trois. Puis, nous avons divisé par le nouvel exposant, soit un sur trois.

Très bien ! Ensuite, passons à l’étape suivante et simplifions cela. Bien, si nous simplifions, nous allons juste obtenir 12 𝑥 à la puissance un tiers, avec les mêmes bornes un et 27. Juste pour nous rappeler comment nous avons fait cela, nous avions quatre 𝑥 à la puissance un tiers. Cela a été divisé par un tiers, donc divisé par une fraction.

Nous savons que si nous divisons par une fraction, cela revient à multiplier par l’inverse de cette fraction. Ainsi, cela était égal à quatre 𝑥 à la puissance un tiers multiplié par trois, ce qui nous donne 12 𝑥 à la puissance un tiers. Bien, maintenant, pour savoir quelle est la valeur de notre intégrale définie, nous devons substituer nos bornes supérieure et inférieure dans notre primitive.

Tout d’abord, entre parenthèses, nous avons 12 multiplié par 27 à la puissance un tiers. Nous avons donc substitué notre borne supérieure de 27 pour 𝑥. Puis, nous allons avoir moins 12 multiplié par un à la puissance un tiers. La raison pour laquelle nous faisons cela est que nous avons substitué notre valeur inférieure ou borne inférieure, qui est un. Nous obtenons donc 12 multiplié par un à la puissance un tiers.

Maintenant, pour simplifier cela, nous allons utiliser cette règle des exposants qui nous dit que 𝑥 à la puissance un sur 𝑎 est la même chose que la racine 𝑎-ième de 𝑥. Ainsi, cela va être égal à 12 multiplié par la racine cubique de 27 moins 12 multiplié par la racine cubique de un, soit 12 multiplié par trois moins 12.

Nous avons obtenu cela parce que trois est la racine cubique de 27, ce qui donne finalement 36 moins 12. Nous pouvons donc dire que l’intégrale définie de un à 27 de quatre 𝑥 à la puissance moins deux sur trois est égale à 24. Pour nous rappeler ce que nous avons mentionné au début, cela signifie en pratique que si nous devions tracer la courbe de quatre 𝑥 à la puissance moins deux sur trois, alors l’aire sous la courbe entre les bornes un et 27 sera en fait égale à 24.

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