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Vidéo de question : Utilisation de la loi de Boyle et de la loi de Gay-Lussac pour déterminer la pression d’un gaz Physique

Un gaz a une pression initiale de 500 Pa, un volume de 0,1 m³ et une température de 300 K. Il peut se dilater sans changer de température jusqu’à ce que son volume soit de 1 m³. Ensuite, la température du gaz est augmentée, tandis que le volume est maintenu constant, à 360 K. Quelle est la pression finale du gaz ?

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Transcription de vidéo

Un gaz a une pression initiale de 500 pascals, un volume de 0,1 mètre cube et une température de 300 kelvins. Il peut se dilater sans changer de température jusqu’à ce que son volume soit d’un mètre cube. Ensuite, la température du gaz est augmentée, tandis que le volume est maintenu constant, à 360 degrés kelvin. Quelle est la pression finale du gaz ?

Alors, dans cette question, on a un gaz qui subit un changement en deux étapes. Au départ, sa pression est de 500 pascals, son volume de 0,1 mètre cube et sa température de 300 kelvins.

La première étape du changement est une détente. Et elle se produit sans variation de température. Ainsi, la température reste constante. De plus, cette détente se produit jusqu’à ce que le volume soit d’un mètre cube. Ensuite, la deuxième étape de la détente consiste à augmenter la température du gaz alors que son volume est cette fois-ci maintenu constant. Et la température est augmentée à 360 degrés kelvin. On nous demande de trouver la pression finale du gaz.

Commençons par tracer des schémas représentant le gaz avant toute modification, ainsi qu’après la première étape du changement et la deuxième étape du changement. Voici ici notre gaz à l’état initial, avant que les changements ne se produisent.

On nous a dit que la pression du gaz est initialement de 500 pascals. Appelons cette pression initiale 𝑃 indice zéro. Et elle vaut 500 pascals. Par ailleurs, on nous dit que le volume de gaz au départ – on appellera ce volume initial 𝑉 indice zéro - est de 0,1 mètre cube.

De plus, on nous donne la température initiale, que l’on appellera 𝑇 indice zéro. Et il se trouve qu’elle est de 300 kelvin. À présent, le gaz subit la première étape du changement. Dans cette étape, ce qui arrive au gaz, c’est que le volume augmente à un mètre cube. Donc, notre schéma va sembler légèrement plus gros.

Ici, si le volume augmente et que la température, on rappelle, est maintenue constante, alors la pression doit également varier. Appelons la pression ici 𝑃 indice un, car il s’agit de la pression après la première étape du changement. Et on ne sait pas encore ce que vaut cette pression. Donc, la chose la plus facile à faire est de supposer qu’elle varie, ce que l’on verra plus tard. En plus de cela, on nous dit que le volume augmente à un mètre cube. On l’appelle 𝑉 indice un.

Maintenant, ce qui est intéressant, c’est que la température est maintenue constante. Donc, 𝑇 indice un, la température après la première étape, est la même que 𝑇 indice zéro, car la température a été maintenue constante tout au long de ce processus. Et elle vaut 300 kelvin. On a ici toutes les informations qui nous ont été données après la première étape du changement.

Passons donc à la deuxième étape. Cette fois, la température augmente, tandis que le volume est maintenu constant. Donc, la taille de la boîte représentant notre gaz va rester la même puisque le volume reste constant. En ce qui concerne la pression, cependant, encore une fois, on ne la connait pas On dira donc que 𝑃 indice deux est égale à point d’interrogation, où 𝑃 indice deux représente la pression après la deuxième étape du changement.

D’autre part, on nous dit que cette étape implique un volume constant. Donc, le volume reste le même de là à là. Par conséquent, 𝑉 indice deux est égal à 𝑉 indice un, le volume après la première étape. Et ce volume était égal à un mètre cube, d’après ce qui nous a été dit dans la question.

Par ailleurs, en ce qui concerne la température, on nous dit que la température augmente à 360 degrés kelvin. La question nous demande de trouver la pression finale du gaz. En d’autres termes, quelle est la pression après les deux étapes du changement ? Et il s’agit de cette pression ici.

On cherche à trouver la valeur de 𝑃 indice deux. Dans ce cas, il y a deux façons principales de le faire. Il y en a peut-être même d’autres. Mais on en verra seulement deux dans cette vidéo. L’une d’entre elles implique un peu plus de mémorisation, tandis que l’autre implique un peu plus d’analyse. Et c’est à vous de choisir la méthode que vous préférez car, au final, elles aboutissent toutes les deux aux mêmes conclusions, simplement de façons différentes.

Jusqu’ici, on a extrait toutes les informations possibles de l’énoncé. Effaçons cela et voyons les deux méthodes. Commençons par la méthode qui nécessite un peu plus de mémorisation en termes de ce que l’on connait plutôt que de ce que l’on peut calculer. Dans cette méthode, on va pouvoir calculer la valeur de 𝑃 un, puis la valeur de 𝑃 deux.

Ceci se fera en deux étapes, d’abord en étudiant la variation du gaz d’ici à là, puis d’ici à là. Voyons d’abord la première étape. La première étape consiste à augmenter le volume du gaz à une température constante. La température reste la même. Elle est de 300 kelvins en tout point.

Ici, puisque la température est maintenue constante et que l’on s’intéresse également à la variation de volume et une variation de pression éventuelle, rappelons ce que dit la loi de Boyle. La loi de Boyle nous dit que le produit de la pression et du volume est constant si la température est constante. Et on remplit ici effectivement la condition : « si ».

Dans ce cas, au cours de la première étape, la température reste constante. La loi de Boyle nous dit donc que, avant que les changements ne se produisent, le produit de la pression et du volume est le même qu’après les changements, soit 𝑃 un multipliée par 𝑉 un, car le produit de la pression et du volume reste constant. Il doit donc être le même avant et après le changement.

Cette équation va nous permettre de calculer la valeur de 𝑃 un, car on connait la valeur de 𝑃 zéro, on connait la valeur de 𝑉 zéro et on connait la valeur de 𝑉 un. On peut donc réorganiser l’équation en divisant les deux côtés par 𝑉 un. Et cela nous donne une expression pour 𝑃 un.

À partir de là, on peut remplacer les valeurs. On a donc 𝑃 un est égale à P zéro fois 𝑉 zéro divisé par 𝑉 un. Et lorsque l’on calcule la fraction du côté droit, on obtient que 𝑃 un est égale à 50 pascals, auquel cas on peut dire qu’en appliquant la loi de Boyle à la première étape du changement de gaz on trouve 𝑃 un est égale à 50 pascals.

On connait maintenant toutes les caractéristiques du gaz après la première étape du changement. On connaissait déjà 𝑉 un et 𝑇 un. Et on vient de calculer 𝑃 un. On peut donc passer à la deuxième étape du changement que subit le gaz, de là à là. Mais avant cela, notons que 𝑃 un est égale à 50 pascals.

Bien, maintenant, dans la deuxième étape de la transformation, le volume est maintenu constant et la température augmente. Et la pression change probablement aussi. Donc, pour comprendre ce qui se passe ici, rappelons une autre loi. La loi de Gay-Lussac. Cette loi nous dit que la pression divisée par la température est constante si le volume est maintenu constant.

On sait que l’on remplit cette condition car le volume est maintenu constant. Il reste de un mètre cube. Ainsi, la pression divisée par la température doit également rester constante lors de la deuxième étape. En d’autres termes, on peut dire que la pression avant la deuxième étape divisée par la température avant la deuxième étape est égale à la pression après la deuxième étape divisée par la température après la deuxième étape.

Ici, dans cette équation, on connait déjà 𝑃 un que l’on vient de calculer ici. On connait aussi T un qui est donnée dans la question. Et on connait 𝑇 deux qui est également donnée dans la question. Il s’agit ici de trouver 𝑃 deux. On réorganise donc l’équation en multipliant les deux côtés par 𝑇 deux. Cela nous donne 𝑃 un multipliée par 𝑇 deux divisée par 𝑇 un est égale à 𝑃 deux.

À partir de là, on peut remplacer les valeurs connues. On dit que 𝑃 deux est égale à 𝑃 un multipliée par 𝑇 deux divisée par 𝑇 un. En calculant alors le côté droit de l’équation, on obtient que 𝑃 deux est de 60 pascals. Et c’est la réponse finale à notre question car rappelons-nous que l’on cherchait à trouver la pression finale du gaz.

Cette méthode que l’on a utilisée nécessite un peu de mémorisation, car il faut se rappeler de la loi de Boyle et de la loi de Gay-Lussac. Et il faut appliquer ces lois aux informations données dans l’énoncé. Il faut aussi s’assurer de connaitre les deux lois dans le bon ordre. Par exemple, il faut que 𝑃𝑉 soit constant. Mais il est très facile de s’en rappeler incorrectement et de dire que quelque chose comme 𝑃 divisée par 𝑉 est constant ou une erreur similaire.

Donc, si vous êtes sûrs de connaitre vos lois sur les gaz et que vous vous souvenez bien de laquelle est laquelle, alors utilisez cette méthode. Si vous n’êtes pas certains des lois sur les gaz, alors il existe une autre façon de faire. Et heureusement, il suffit de ne se rappeler que d’une seule chose. Mais avant de voir cette seconde méthode, retraçons nos schémas pour n’indiquer que les informations que l’on connaissait auparavant. Rappelons-nous que la valeur de 𝑃 un a été déterminée dans la première méthode. On ne connaissait pas cette valeur initialement. Et bien sûr, il en va de même pour 𝑃 deux.

Voyons maintenant la seconde méthode. Pour cette méthode, il ne faut retenir qu’une seule chose, comme on l’a déjà dit. Il faut se rappeler de l’équation des gaz parfait. Une des formes de cette équation s’écrit de la façon la suivante. La pression d’un gaz idéal multipliée par son volume est égale au nombre de moles de gaz que l’on a multiplié par la constante molaire du gaz, qui n’est qu’un nombre - c’est juste une constante - multiplié par la température du gaz.

Ce qui est malin avec cette équation, c’est que si on la réorganise en divisant les deux côtés par la température, alors du côté gauche sont regroupées toutes les choses qui changent au cours des divers processus qui se produisent dans le gaz. Mais du côté droit, sont regroupées des grandeurs qui restent constantes tout au long des étapes, car tout d’abord, on a 𝑅, qui est juste une constante - c’est la constante des gaz parfaits. Et deuxièmement, on a 𝑛, le nombre de moles de gaz.

Ici, même si le gaz se dilate et change de température, on ne nous a rien dit au sujet d’un changement du nombre de moles dans le gaz. En d’autres termes, la quantité de gaz ou le nombre de moles de gaz que l’on a ici est le même tout au long des deux étapes.

Par conséquent, on peut dire en toute logique que quels que soient la pression, le volume ou la température à n’importe quelle étape du processus, la valeur de 𝑃 multipliée par 𝑉 divisée par 𝑇 doit rester exactement la même. Elle est constante. En effet, si 𝑛 est une constante et 𝑅 est une constante, alors 𝑛𝑅 est une constante. Et tout le côté droit de l’équation est une constante. C’est donc le raisonnement logique que l’on appliquera aux deux étapes afin de déterminer la valeur de 𝑃 deux.

Encore une fois, pour nous faciliter la vie, on peut la décomposer en deux étapes. Dans notre cas, comme 𝑃 multipliée par 𝑉 divisée par 𝑇 est constante tout au long des changements, intéressons-nous à la pression initiale, le volume et la température initiale ainsi que la pression, le volume et la température après la première étape.

Dans cette équation, on connait les valeurs de P zéro, 𝑉 zéro et 𝑇 zéro car elles sont données dans la question. De plus, on connait 𝑉 un et 𝑇 un. Donc, la seule chose que l’on ne connait pas est 𝑃 un. Et encore une fois, on va calculer 𝑃 un. Cependant, cette fois, nous n’avons pas eu besoin de nous rappeler de la loi de Boyle. Tout ce que nous avons eu besoin de retenir est l’équation des gaz parfaits, qui est une équation vraiment importante à connaître de toute façon. Et on l’a réorganisée pour avoir une constante d’un côté. Utilisons alors cette méthode pour calculer 𝑃 un.

La première chose à faire est de réorganiser l’équation. On multiplie les deux côtés par 𝑇 un et on divise par 𝑉 un. Cela nous laisse avec 𝑇 un divisée par 𝑉 un multipliée par T zéro fois 𝑉 zéro sur 𝑇 zéro égale 𝑃 un, où on peut insérer toutes nos valeurs.

Donc, ce que l’on a ici est 𝑇 un divisée par 𝑉 un multipliée par T zéro fois 𝑉 zéro sur 𝑇 zéro. Et comme la température est maintenue constante dans la première étape, 𝑇 zéro est égale à 𝑇 un. Et on retrouve donc la même fraction que précédemment. On a 500 fois 0,1 divisé par un, sauf que comme on l’a déjà dit, on est parvenu à cette conclusion sans avoir besoin de se souvenir des lois sur les gaz. Et donc encore une fois, on obtient que 𝑃 un est égal à 50 pascals.

Ici, on peut appliquer la même logique aux propriétés du gaz avant la deuxième étape et aux propriétés après la deuxième étape. En effet, maintenant que l’on a calculé 𝑃 un et que l’on connait déjà 𝑉 un et T un depuis l’énoncé, de même que 𝑉 deux et 𝑇 deux, on peut calculer la valeur de 𝑃 deux.

Encore une fois, on réorganise de la même manière pour dire que 𝑇 deux divisée par 𝑉 deux multipliée par 𝑃 un fois 𝑉 un sur 𝑇 un est égale à 𝑃 deux. Ici, on peut insérer les valeurs connues, comme suit. 𝑇 deux divisée par 𝑉 deux est égale à 𝑃 un multipliée par 𝑉 un divisée par 𝑇 un.

Mais rappelons-nous que 𝑉 un est identique à 𝑉 deux car le volume est maintenu constant lors de la deuxième étape. Et c’est exactement ce que l’on voit ici. Un mètre cube et un mètre cube pour les volumes de 𝑉 un et 𝑉 deux s’annulent. Et puis lorsque l’on calcule la fraction du côté gauche, on obtient que 𝑃 deux est égale à 60 pascals. Donc, les deux méthodes sont arrivées à la même conclusion. La pression finale du gaz est de 60 pascals. Alors choisissez la méthode qui vous convient le mieux.

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