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Vidéo de question : Appliquer le théorème de Pythagore pour résoudre un problème complexe Mathématiques

𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ est un cube. Déterminez les longueurs de 𝐴′𝐵 et de 𝐴𝐶.

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Transcription de vidéo

𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴 prime 𝐵 prime 𝐶 prime 𝐷 prime est un cube. Déterminez les longueurs du segment 𝐴 prime 𝐵 et du segment 𝐴𝐶.

La première chose à faire ici est d’identifier les segments 𝐴 prime 𝐵 et 𝐴𝐶. Voici le segment 𝐴 prime 𝐵, et le segment 𝐴𝐶 est surligné en orange. Le segment 𝐴 prime 𝐵 fait partie du triangle 𝐴 𝐵 𝐴 prime. Comme nous savons que cette figure est un cube, chacune de ses faces est un carré. Et donc sur chaque face, l’angle de tous les sommets est un angle droit. Cela signifie également que chaque longueur de côté mesure 97 centimètres.

Nous pouvons alors voir que 𝐴 prime 𝐵 est l’hypoténuse d’un triangle rectangle. Donc la longueur de 𝐴 prime 𝐵 au carré est égale à la longueur de 𝐴 𝐴 prime au carré plus la longueur de 𝐴𝐵 au carré.

Il s’agit en fait du théorème de Pythagore. La longueur de l’hypoténuse au carré est égale à la somme des carrés des deux autres côtés. 97 au carré plus 97 au carré égale 18 818. Et cela correspond à la longueur au carré de l’hypoténuse. Nous devons donc prendre la racine carrée.

Pour calculer la racine carrée de 18 818, nous allons reformuler le nombre sous la racine. 18 818 est en effet égal à 97 au carré fois deux, ce qui nous permet de séparer la racine carrée. Elle devient racine carrée de 97 au carré fois racine carrée de deux. Racine carrée de 97 au carré est simplement égal à 97. Et nous laissons la racine carrée de deux telle quelle. La mesure du segment 𝐴 prime 𝐵 est donc égale à 97 racine carrée de deux centimètres.

Passons maintenant à la longueur de 𝐴𝐶 ; et nous remarquons ici que le segment 𝐴𝐶 est aussi l’hypoténuse d’un triangle rectangle de côtés 97 et 97. Le triangle en rose a exactement la même taille que le triangle en orange. Ce qui signifie que la longueur de 𝐴𝐶 est égale à la longueur de 𝐴 prime 𝐵, soit 97 racine carrée de deux centimètres.

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