Transcription de vidéo
Simplifiez la fonction f de 𝑥 égale deux sur 𝑥 plus deux, fois 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus huit sur deux 𝑥, et déterminez son ensemble de définition.
Généralement, on détermine d’abord l’ensemble de définition d’une fonction rationnelle avant de la simplifier. En faisant cela, on évite de perdre des valeurs potentielles de 𝑥 qui pourraient poser problème plus tard. Mais avant de simplifier f de 𝑥, multiplions les deux fractions. Lorsqu’on multiplie deux fractions, il faut multiplier séparément leurs numérateurs et leurs dénominateurs. Ainsi, f de 𝑥 vaut deux fois le polynôme du second degré 𝑥 carré plus six 𝑥 plus huit, sur deux 𝑥 fois 𝑥 plus deux.
Donc, avant de simplifier, déterminons le domaine de définition de la fonction. Le domaine de définition correspond à l’ensemble des valeurs de 𝑥 possibles pour la fonction, c’est-à-dire les valeurs possibles de 𝑥 pour lesquelles f de 𝑥 est bien définie. Et comme nous avons une fonction rationnelle, nous savons que le dénominateur de cette fonction ne peut pas être égal à zéro. Autrement, il s’agit simplement du quotient de deux fonctions polynomiales. Et le domaine de définition d’une fonction polynomiale est l’ensemble des nombres réels. Le domaine de définition de f de 𝑥 est donc l’ensemble des nombres réels. Mais nous devons exclure toutes les valeurs de 𝑥 qui annulent le dénominateur.
Pour déterminer ces valeurs de 𝑥, nous allons poser le dénominateur égal à zéro et résoudre l’équation. Autrement dit, deux 𝑥 fois 𝑥 plus deux égale zéro. Et bien sûr, comme nous voyons que le produit de deux 𝑥 et 𝑥 plus deux donne zéro, cela n’est possible que si l’une des deux expressions est égale à zéro, c’est-à-dire si deux 𝑥 est égal à zéro ou 𝑥 plus deux est égal à zéro. Eh bien, si deux 𝑥 est égal à zéro, alors 𝑥 lui-même doit être égal à zéro. De même, si nous soustrayons deux des deux côtés de cette équation, nous obtenons 𝑥 égal à moins deux. Ainsi, le domaine de définition est l’ensemble des nombres réels en excluant l’ensemble contenant les éléments zéro et moins deux.
Avec cela en tête, nous pouvons maintenant simplifier l’expression. Et pour simplifier une fonction, il faut chercher des facteurs communs. Remarquons d’abord qu’il y a un facteur commun, deux, au numérateur et au dénominateur de la fraction. Nous divisons donc par deux, ce qui nous donne 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus huit sur 𝑥 fois 𝑥 plus deux. Ensuite, nous n’avons plus de facteurs communs, il faut donc factoriser le numérateur. Le polynôme 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus huit peut en fait s’écrire 𝑥 plus quatre fois 𝑥 plus deux.
Ensuite, nous remarquons que la fraction 𝑥 plus quatre fois 𝑥 plus deux, sur 𝑥 fois 𝑥 plus deux a un facteur commun, qui est 𝑥 plus deux au numérateur et au dénominateur. Comme 𝑥 ne peut pas être égal à moins deux, nous pouvons donc diviser le numérateur et le dénominateur par 𝑥 plus deux. Et il nous reste simplement 𝑥 plus quatre sur 𝑥. La fonction f de 𝑥 se simplifie donc en 𝑥 plus quatre sur 𝑥. Et son domaine de définition est l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble contenant les éléments zéro et moins deux.
