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Vidéo de question : Déterminer une suite arithmétique connaissant la valeur d’un terme de cette suite Mathématiques

Déterminez la suite arithmétique, définie à partir du rang 1, pour laquelle 𝑎₄₃ = 279 et où 𝑎₁₁ est l’opposé de 𝑎₁₃.

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Transcription de vidéo

Déterminez la suite arithmétique, définie à partir du rang un, pour laquelle 𝑎 indice 43 est égal à 279 et 𝑎 indice 11 est l’opposé de 𝑎 indice 13.

Nous commençons par rappeler qu’une suite arithmétique est une suite telle que la différence entre deux termes consécutifs est constante. On nous dit dans cette question que le 43ème terme de la suite est 279. Le onzième terme de la suite est l’opposé du treizième terme. Cela signifie que la somme de ces deux termes est nulle. Le 11ème terme plus le 13ème terme est égal à zéro.

Le terme général ou 𝑛ième terme d’une suite arithmétique peut être trouvé en utilisant la formule 𝑎 𝑛 égal 𝑎 un plus 𝑛 moins un multiplié par 𝑑, où 𝑎 un est le premier terme de la suite et 𝑑 est la raison. Le 43ème terme peut donc être écrit comme 𝑎 un plus 43 moins un multiplié par 𝑑. Cela se simplifie en 𝑎 un plus 42𝑑 et nous savons que cela équivaut à 279. Nous appellerons celle-là l’équation une.

En utilisant la formule générale, le onzième terme peut être écrit comme 𝑎 un plus 10𝑑. Le 13ème terme est 𝑎 un plus 12𝑑. Cela nous donne une deuxième équation, 𝑎 un plus 10𝑑 plus 𝑎 un plus 12𝑑 égal zéro. En regroupant les termes similaires, nous avons que deux 𝑎 un plus 22𝑑 égal zéro. Nous pouvons alors diviser par deux, ce qui nous donne que 𝑎 un plus 11𝑑 égal zéro. Nous appellerons celle-là l’équation deux.

Et nous avons maintenant un système de deux équations à deux inconnues que nous pouvons résoudre pour trouver les valeurs de 𝑑 et de 𝑎 un. Nous allons soustraire l’équation deux de l’équation une. 𝑎 un moins 𝑎 un est égal à zéro et 42𝑑 moins 11𝑑 est égal à 31𝑑. Le membre de gauche se simplifie en 31𝑑 et ceci est égal à 279. En divisant les deux membres de cette équation par 31 nous obtenons que 𝑑 est égal à neuf. Nous pouvons maintenant remplacer cette valeur de 𝑑 dans l’une de nos équations. Dans ce cas, nous choisirons l’équation deux. Cela nous donne que 𝑎 un plus 11 multiplié par neuf égal zéro. 11 multiplié par neuf est 99. Nous pouvons alors soustraire cela des deux membres de notre équation ce qui conduit à a un égal moins 99. Le premier terme de la suite arithmétique est moins 99 et la raison est neuf.

Nous pouvons donc conclure que la suite arithmétique ayant le 43ème terme 279 et le 11ème terme opposé du 13ème terme est moins 99, moins 90, moins 81, et ainsi de suite.

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