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Vidéo de question : Détermination des composantes inconnues d’une force en fonction de son vecteur de position et des composantes du moment autour d’un axe en trois dimensions Mathématiques

Si la force 𝐅 = 𝑚𝐢 + 𝑛𝐣 - 𝐤, agit en un point dont le vecteur position par rapport à l’origine est 𝐫 = 14𝐢 - 𝐣 + 12𝐤 et si les composantes du moment de la force 𝐅 par rapport à l'axe des 𝑥 et l'axe des 𝑦 sont respectivement de 73 et 242 unités de moment, alors déterminez les valeurs de 𝑚 et 𝑛.

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Transcription de vidéo

Si la force 𝐅, égale à 𝑚𝐢 plus 𝑛𝐣 moins 𝐤, agit sur un point dont le vecteur position est 𝐫 égal à 14𝐢 moins 𝐣 plus 12𝐤 et les composantes du moment de la force 𝐅 par rapport à l'axe des 𝑥 et l'axe des 𝑦 sont respectivement de 73 et 242 unités de moment, alors déterminez les valeurs de 𝑚 et 𝑛.

Dans cette question, on nous dit que l’on a un point avec le vecteur position 𝐫 égal à 14𝐢 moins 𝐣 plus 12𝐤. Il y a un vecteur de force 𝐅 égal à 𝑚𝐢 plus 𝑛𝐣 moins 𝐤 agissant sur ce point. Les composantes 𝑥 et 𝑦 de ce vecteur 𝐅 sont représentées par les constantes 𝑚 et 𝑛. Et notre travail dans cette question c’est trouver ces valeurs.

Pour ce faire, l’on a reçu des informations sur le moment de la force 𝐅, c’est-à-dire le moment entraîné par 𝐅. Plus précisément, on nous dit que les composantes 𝑥 et 𝑦 de ce moment sont respectivement de 73 et 242 unités. On rappelle qu’une force agissant à une certaine distance d’un point entraîne un moment autour de ce point. Dans cette question, on a une force qui agit à une certaine distance de l’origine, et cela entraîne un moment.

Un moment peut être représenté par un vecteur, que l’on va appeler généralement 𝐦. Et on peut calculer 𝐦 en trouvant le produit vectoriel des vecteurs 𝐑 et 𝐅, où 𝐅 est le vecteur de force qui entraîne un moment à un point donné et 𝐑 est le vecteur de position du point sur lequel 𝐅 agit. Alors, dans cette question, on nous dit certaines des composantes de 𝐦, en particulier les composantes 𝑥 et 𝑦. La composante 𝑥 est 73 et la composante 𝑦, 242. On peut donc écrire le vecteur moment 𝐦 comme 73𝐢 plus 242𝐣 plus 𝑚 indice 𝑧 𝐤, où 𝑚 indice z est inconnu car on ne nous donne pas sa composante 𝑧.

Ce vecteur moment est égal au produit vectoriel du vecteur position où la force agit par le vecteur force lui-même. Le vecteur de position est désigné par 𝐫 minuscule dans cette question. On peut utiliser cette équation vectorielle pour trouver la solution à la question en utilisant les composantes connues du vecteur moment 𝐦 et du vecteur position 𝐫 pour trouver les composantes inconnues 𝑥 et 𝑦 du vecteur force 𝐅.

Il est important de noter à ce stade que l’on utilise un produit vectoriel et pas seulement une multiplication. Cela signifie qu’il n’est pas possible de faire de 𝐅 le sujet de l’équation. Au lieu de cela, on doit calculer le produit vectoriel. Et on le fait en évaluant le déterminant d’une matrice de taille trois-trois comme indiqué. Les éléments de la première ligne sont les vecteurs unité 𝐢, 𝐣 et 𝐤. Dans la deuxième ligne, on a les composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧, respectivement, du vecteur position 𝐫. Et dans la troisième ligne, on a les composantes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 du vecteur force 𝐅. Observez que l’ordre ici est important. On doit les écrire dans le même ordre dans le déterminant.

Ensuite on peut remplir le déterminant avec les composantes du vecteur 𝐫. Ils sont 14, moins un et 12. De même, les composantes du vecteur 𝐅 sont 𝑚, 𝑛 et moins un. On est maintenant en mesure de calculer le déterminant. Cela se fait en trois parties. Premièrement, on a le vecteur unitaire 𝐢 multiplié par moins un multiplié par moins un moins 𝑛 multiplié par 12. Cela se simplifie en 𝐢 multiplié par un moins 12𝑛. Ensuite, l’on soustrait le vecteur unitaire 𝐣 multiplié par 14 multiplié par moins un moins 𝑚 multiplié par 12. Cela se simplifie en moins 𝐣 multiplié par moins 14 moins 12𝑚, qui à son tour peut être réécrit comme 𝐣 multiplié par 14 plus 12𝑚. Enfin, nous ajoutons le vecteur unitaire 𝐤 multiplié par 14 multiplié par 𝑛 moins 𝑚 multiplié par moins un. Ceci est égal à 𝐤 multiplié par 14𝑛 moins moins 𝑚, ce qui équivaut à 𝐤 multiplié par 14𝑛 plus 𝑚.

On a maintenant une expression pour le déterminant de la matrice de taille trois, trois c’est-à-dire (1- 12n)𝐢 +(12m + 14) 𝐣 + (14 n + m) 𝐤. Comme il s’agit du produit vectoriel du vecteur 𝐫 avec le vecteur 𝐅, il est par définition égal au vecteur 𝐦.

Alors on est en mesure de trouver les valeurs de 𝑚 et 𝑛 en comparant les composantes 𝐢 et 𝐣 dans nos deux équations. En égalant les composantes 𝐢, on a 73 est égal à un moins 12𝑛. On peut soustraire 73 et ajouter 12𝑛 aux deux côtés de cette équation, ce qui nous donne 12𝑛 est égal à moins 72. La division par 12 nous donne 𝑛 est égal à moins six. Ensuite on peut répéter ce processus pour les composantes 𝐣. On a 242 est égal à 14 plus 12𝑚. On résout cette équation en soustrayant d’abord 14 des deux côtés. On peut ensuite diviser par 12 de telle sorte que 𝑚 est égal à 19.

Finalement on peut conclure que les deux composantes inconnues de la force 𝐅 sont 𝑚 égal à 19 et 𝑛 égal à moins six. Et cela signifie que la force sous forme vectorielle 𝐅 est égale à 19𝐢 moins six 𝐣 moins 𝐤.

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