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Lequel des points suivants se trouve à une distance de cinq racine carrée de deux de
l’origine ? (A) zéro, cinq ; (B) cinq, zéro ; (C) cinq racine carrée de deux, cinq racine carrée
de deux ; ou (D) cinq, cinq.
On nous a donné les coordonnées de quatre points et on nous a demandé de déterminer
lequel de ces points se trouve à une distance de cinq racine carrée de deux unités
de l’origine. Voyons comment déterminer la distance d’un point, ayant pour coordonnées 𝑥, 𝑦, de
l’origine. Nous allons appeler cette distance, 𝑑. On peut dessiner un triangle rectangle, et la distance du point de l’origine est la
longueur de l’hypoténuse de ce triangle. Si nous connaissons les coordonnées de ce point, nous pouvons calculer la valeur de
𝑑 en appliquant le théorème de Pythagore, qui stipule que dans un triangle
rectangle, la somme des carrés des deux côtés les plus courts est égale au carré de
l’hypoténuse.
Maintenant, la longueur du côté horizontal de ce triangle est 𝑥 car il s’agit de la
distance le long de l’axe des abscisses. Et la longueur du côté vertical est 𝑦 ; la distance le long de l’axe des
ordonnées. Donc, si on applique le théorème de Pythagore, on a 𝑑 au carré est égal à 𝑥 au
carré plus 𝑦 au carré. Si on prend la racine carrée des deux membres de cette équation, on a 𝑑 est égal à
la racine carrée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré.
Maintenant, supposons plutôt que le point se trouve dans une autre position. Supposons, par exemple, qu’il se trouve dans le deuxième quadrant, où 𝑥 est négatif
et 𝑦 est positif. Cette fois, la longueur du côté horizontal du triangle est la valeur absolue de
𝑥. Mais lorsqu’on met au carré la valeur absolue de 𝑥, c’est égal à 𝑥 au carré. Ainsi, la formule que nous venons d’écrire sera applicable quel que soit la position
du point d’intérêt ou même s’il se trouve sur l’un des axes du repère.
En fait, cette formule est un cas particulier d’une formule générale pour calculer la
distance entre deux points quelconques. Supposons qu’on a deux points ayant pour coordonnées 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦
deux. Si on dessine un triangle rectangle sous le segment reliant ces deux points, la
longueur du côté horizontal sera la différence entre les abscisses. Soit 𝑥 deux moins 𝑥 un. Et la longueur du côté vertical sera la différence entre les ordonnées. Soit 𝑦 deux moins 𝑦 un. Ensuite, en appliquant le théorème de Pythagore, on a 𝑑 au carré est égal à 𝑥 deux
moins 𝑥 un au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un au carré. Pour cette raison, peu importe l’ordre dans laquelle on soustrait les abscisses et
les ordonnées, car quelle que soit l’ordre avec lequel on soustrait, lorsqu’on met
au carré, on aura le même résultat.
Lorsqu’on prend la racine carrée des deux membres, on a 𝑑 est égal à la racine
carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un au carré. Et voici la formule générale de la distance pour déterminer la distance entre deux
points quelconques sur un repère, que nous devons mémoriser. Maintenant, dans ce problème, nous devons déterminer la distance entre chaque point
et l’origine, dont les coordonnées sont zéro, zéro. Donc, lorsqu’on remplace 𝑥 un et 𝑦 un par zéro et 𝑥, 𝑦 par les coordonnées de
chaque point, on constate que la formule de la distance devient la formule que nous
avons écrite plus tôt. Il suffit donc d’introduire les coordonnées de chaque point dans cette formule pour
voir quel point nous donne une réponse de cinq racine carrée de deux.
Commençons par l’option (A). Et on a la distance entre ce point et l’origine, 𝑑 𝐴, est égale à la racine carrée
de zéro au carré plus cinq au carré. On a la racine carrée de zéro plus 25 ou simplement la racine carrée de 25, qui est
égale à cinq. Donc, le point (A) n’est pas la bonne réponse.
Considérons le point (B). Pour le point (B), la distance est la racine carrée de cinq au carré plus zéro au
carré. Encore une fois, c’est la racine carrée de 25, qui est égale à cinq. En fait, pour chacun de ces points, nous pouvons voir que leur distance de l’origine
est de cinq unités en les traçant sur un repère, car chaque point se trouve sur l’un
des axes du repère.
Ensuite, considérons le point (C). Et cette fois, la distance de l’origine est égale à la racine carrée de cinq racine
carrée de deux au carré plus cinq racine carrée de deux au carré. Rappelons que cinq racine carrée de deux au carré signifie cinq racine carrée de deux
multipliée par cinq racine carrée de deux, qu’on peut écrire comme cinq fois cinq
fois racine carrée de deux fois racine carrée de deux. Soit 25 fois deux, ce qui est égal à 50, donc la distance (C) est la racine carrée de
50 plus 50. Soit la racine carrée de 100, ce qui est égal à 10. Aucun des points jusqu’ici n’est à la bonne distance de l’origine. Vérifions à présent le dernier point.
Pour le point (D), dont les coordonnées sont cinq, cinq, la distance de l’origine est
la racine carrée de cinq au carré plus cinq au carré. On a la racine carrée de 25 plus 25, qui est la racine carrée de 50. Maintenant, nous devons examiner comment simplifier cette racine. Pour simplifier les racines, on recherche des facteurs sous la forme d’un carré
parfait, et bien sûr 50 est égal à 25 multiplié par deux. Ainsi, la racine carrée de 50 est égale à la racine carrée de 25 fois deux. Nous pouvons alors écrire cela comme le produit des racines. On a donc la racine carrée de 25 multipliée par la racine carrée de deux. Et puisque la racine carrée de 25 est cinq, cela devient cinq racine carrée de
deux.
Donc, le point (D) est le point que nous recherchons. C’est le point qui est à cinq racine carrée de deux unités de l’origine. En utilisant un cas particulier de la formule de la distance, nous avons vu que le
point qui est à une distance de cinq racine carrée de deux unités de l’origine est
le point cinq, cinq.
