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Vidéo de question : Déterminer tous les points d’inflexion de la courbe d’une fonction polynomiale Mathématiques

Déterminez tous les points d’inflexion de 𝑓 (𝑥) = 𝑥⁴ - 2𝑥² + 5.

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Transcription de vidéo

Déterminez tous les points d’inflexion de la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 à la puissance quatre moins deux 𝑥 au carré plus cinq.

L’énoncé nous donne une fonction 𝑓 de 𝑥 qui est un polynôme, et il veut que nous trouvions tous les points d’inflexion de cette fonction. Et nous rappelons que nous appelons 𝑝 un point d’inflexion de la fonction 𝑓 de 𝑥 si 𝑓 de 𝑥 est continue en 𝑝 et que la concavité de notre fonction 𝑓 de 𝑥 change en 𝑝. Et nous pouvons déduire la concavité d’une fonction en regardant le signe de la dérivée seconde de cette fonction. Donc parce que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est un polynôme, nous pouvons trouver nos points d’inflexion en trouvant où notre dérivée seconde change de signe. Nous devons donc trouver une expression pour notre dérivée seconde de 𝑓 de 𝑥.

Pour ce faire, nous devons dériver deux fois 𝑓 de 𝑥. Puisque 𝑓 de 𝑥 est un polynôme, nous pouvons le dériver terme à terme en utilisant la règle de dérivation de puissance. Nous devons multiplier par l’exposant de 𝑥 puis réduire cet exposant de un. Ceci nous donne que 𝑓 prime de 𝑥 égale quatre 𝑥 au cube moins quatre 𝑥. Maintenant, pour trouver une expression pour 𝑓 double prime de 𝑥, nous devons dériver 𝑓 prime de 𝑥 par rapport à 𝑥. Encore une fois, 𝑓 prime de 𝑥 est un polynôme, nous pouvons donc le dériver terme à terme en utilisant la règle de dérivation de puissance. Cette fois nous obtenons que 𝑓 double prime de 𝑥 est égal à 12𝑥 au carré moins quatre. Nous voulons donc utiliser toutes ces informations pour trouver tous les points d’inflexion de notre fonction 𝑓 de 𝑥.

Tout d’abord, rappelez-vous que notre fonction 𝑓 de 𝑥 doit être continue en tout point d’inflexion 𝑝. Et notre fonction 𝑓 de 𝑥 est un polynôme, et est donc continue en toutes les valeurs réelles de 𝑥. Nous allons donc trouver nos points d’inflexion en regardant simplement où le signe de 𝑓 double prime de 𝑥 change. Il y a plusieurs façons de le faire. Nous allons le faire en traçant une courbe représentative de 𝑓 double prime de 𝑥. Tout d’abord, factorisons notre expression du second degré. Nous allons commencer par factoriser par quatre. Ceci nous donne quatre fois trois 𝑥 au carré moins un. Et maintenant nous pouvons voir que nous avons quatre fois une différence entre deux carrés.

Et rappelez-vous que, nous pouvons factoriser la différence entre deux carrés à savoir 𝑎 carré moins 𝑏 carré comme étant, 𝑎 moins 𝑏 fois 𝑎 plus 𝑏. Donc en factorisant cette différence de deux carrés où 𝑎 égale racine de trois 𝑥 et 𝑏 égale un, nous obtenons que 𝑓 double prime de 𝑥 est égal à quatre fois racine de trois 𝑥 moins un fois racine de trois 𝑥 plus un. Nous pouvons maintenant trouver les racines de notre équation du second degré. On résout en écrivant que chaque facteur est égal à zéro, et obtenons ainsi que 𝑥 est égal à un sur racine de trois ou que 𝑥 est égal à moins un sur racine de trois. Et nous pouvons rationaliser ce dénominateur en multipliant le numérateur et le dénominateur par racine de trois. Nous obtenons que un sur racine de trois est égal à racine de trois sur trois.

Nous avons maintenant toutes les informations dont nous avons besoin pour tracer une courbe représentative de 𝑓 double prime de 𝑥. Premièrement, c’est une fonction du second degré avec deux racines uniques, l’une en 𝑥 égal à racine de trois sur trois et l’autre en 𝑥 égal à racine de moins trois sur trois. Rappelez-vous, 𝑓 double prime de 𝑥 est égal à 12𝑥 au carré moins quatre. Ainsi le terme dominant a un coefficient positif, la courbe aura donc une forme similaire à celle de 𝑦 est égal à 𝑥 au carré. Donc notre courbe de 𝑦 égale 𝑓 double prime de 𝑥 sera une parabole avec un coefficient dominant positif.

Nous voulons maintenant voir où 𝑓 double prime de 𝑥 change de signe. Nous pouvons voir que lorsque 𝑥 est inférieur à moins racine de trois sur trois, 𝑓 double prime de 𝑥 est positif. Et quand 𝑥 est juste un peu plus grand que moins racine de trois sur trois, 𝑓 double prime de 𝑥 est négative. 𝑓 double prime de 𝑥 change donc de signe en 𝑥 est égal à moins racine de trois sur trois. Par conséquent, il s’agit d’un point d’inflexion. Nous pouvons dire quelque chose de similaire lorsque 𝑥 est égal à racine de trois sur trois. Lorsque 𝑥 est supérieur à racine de trois sur trois, notre fonction 𝑓 double prime de 𝑥 est positive. Cependant, lorsque 𝑥 est un peu plus petit que racine de trois sur trois, nous pouvons voir que 𝑓 double prime de 𝑥 est négative . Nous avons donc montré que lorsque 𝑥 est égal à plus ou moins racine de trois sur trois, nous avons des points d’inflexion.

La dernière chose que nous devons faire est de trouver les coordonnées de nos points d’inflexion. Nous allons commencer par remplacer 𝑥 par racine de trois sur trois dans notre expression pour 𝑓 de 𝑥. Ce faisant, nous obtenons racine de trois sur trois à la puissance quatre moins deux fois la racine de trois sur trois au carré plus cinq. En simplifiant cette expression, nous obtenons un neuvième moins deux tiers plus cinq, que nous pouvons calculer pour nous donner 40 divisé par neuf. Nous avons donc montré que la coordonnée 𝑦 de notre point d’inflexion en 𝑥 égal à racine de trois sur trois est 40 divisé par neuf.

Trouvons maintenant la coordonnée 𝑦 de notre autre point d’inflexion. Nous remplaçons 𝑥 par moins racine de trois sur trois dans notre fonction 𝑓 de 𝑥. Nous obtenons la racine négative de trois sur trois à la puissance quatre moins deux fois la racine négative de trois sur trois au carré plus cinq. Et si nous calculons ceci, nous pouvons voir que nous obtenons également 40 divisé par neuf. Par conséquent, nous avons montré que la fonction 𝑓 de 𝑥 égale à 𝑥 à la puissance quatre moins deux 𝑥 au carré plus cinq a deux points d’inflexion de coordonnées racine de trois sur trois, 40 sur neuf pour l’un et racine négative de trois sur trois, 40 sur neuf pour l’autre.

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