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Vidéo de question : Déterminer l’expression d’une fonction en fonction de sa première dérivée et de la valeur de la fonction en un point Mathématiques

Déterminez la fonction 𝑓 vérifiant 𝑓′(𝑥) = (−3𝑥 + 1)/√ (𝑥) et 𝑓(1) = 4.

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Transcription de vidéo

Déterminez la fonction 𝑓 vérifiant 𝑓 prime de 𝑥 est égale à moins trois 𝑥 plus un sur la racine carrée de 𝑥 et 𝑓 de un est égal à quatre.

Pour commencer, réécrivons 𝑓 prime de 𝑥 sous une forme plus facile à utiliser. Tout d’abord, nous pouvons retirer un facteur de un sur la racine carrée de 𝑥. Ensuite, nous pouvons rappeler que la racine carrée de 𝑥 peut s’écrire comme 𝑥 à la puissance un demi. Nous pouvons aller plus loin en rappelant que 𝑥 à la puissance d’un exposant négatif, moins 𝑎, est égal à un sur 𝑥 à la puissance 𝑎.

Nous pouvons donc réécrire notre terme un sur la racine carrée de 𝑥 comme 𝑥 à la puissance moins un demi. Réécrivons cela dans notre équation et multiplions les termes. En regardant notre premier terme, nous pouvons voir que nous avons un 𝑥 à la puissance un multiplié par un 𝑥 à la puissance moins un demi.

Nous pouvons alors rappeler que lors de la multiplication des exposants de la même variable 𝑥, nous pouvons simplement ajouter, ou dans ce cas soustraire, les puissances. Notre terme devient alors moins trois 𝑥 à la puissance un moins un demi, soit, en d’autres termes, moins trois 𝑥 à la puissance un demi. Remettre ce terme dans notre équation nous donne 𝑓 prime de 𝑥 sous une forme plus utile.

Nous sommes maintenant prêts à intégrer 𝑓 prime de 𝑥 pour trouver notre fonction, 𝑓 de 𝑥. Pour commencer, nous augmentons la puissance de notre premier terme d’un demi à trois moitiés. Nous divisons ensuite par la nouvelle puissance. Ensuite, nous augmentons la puissance de notre deuxième terme de un, de moins un demi à un demi. Puis, nous divisons par la nouvelle puissance. Enfin, nous n’oublions pas d’ajouter notre constante d’intégration, 𝐶.

Mettons de l’ordre. Nous pouvons voir que diviser par trois sur deux est la même chose que multiplier par deux sur trois. Nous pouvons alors annuler les trois sur la moitié supérieure et inférieure de cette fraction, pour donner moins deux 𝑥 à la puissance trois sur deux. Nous pouvons également voir que diviser par un demi est la même chose que multiplier par deux.

Nous avons maintenant trouvé une équation pour 𝑓 de 𝑥. Cependant, puisque nous avons trouvé l’intégrale indéfinie, cette équation contient toujours la constante d’intégration, 𝐶. Pour trouver cette constante, nous pouvons utiliser les informations données dans la question, avec 𝑓 de un est égal à quatre.

Réécrivons 𝑓 de un en utilisant l’équation que nous avons trouvée. Ici, nous pouvons voir notre équation pour 𝑓 de un. Puisqu’un élevé à la puissance un est aussi un, nous pouvons effectuer une simplification facile. Nous pouvons maintenant voir que nos moins deux et plus deux s’annulent. Nous pouvons donc voir que 𝐶 est égal à quatre.

Enfin, nous pouvons réécrire 𝑓 de 𝑥 en utilisant la constante que nous venons de trouver. Notre réponse est donc 𝑓 de 𝑥 égale moins deux 𝑥 à la puissance trois sur deux plus deux 𝑥 à la puissance un demi plus quatre. Si vous le souhaitez, vous pouvez réécrire ce terme comme deux fois la racine carrée de 𝑥 pour qu’il corresponde à la forme donnée dans la question.

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