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Vidéo de question : Déterminer l’aire d’une région délimitée par des fonctions quadratique et valeur absolue Mathématiques

Calculez l’aire de la région délimitée par 𝑦 = 2 - |𝑥| et 𝑦 = 𝑥⁴.

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Transcription de vidéo

Calculez l’aire de la région délimitée par 𝑦 est égale à deux moins la valeur absolue de 𝑥 et 𝑦 est égal à 𝑥 à la puissance quatre.

Dans cette question, on nous demande de calculer l’aire d’une région délimitée par les courbes représentatives de deux fonctions données. 𝑦 est égal à deux moins la valeur absolue de 𝑥 et 𝑦 est égal à 𝑥 à la puissance quatre. Chaque fois qu’on nous demande de calculer l’aire d’une région délimitée par les courbes de deux fonctions, il est bien de commencer par représenter ces courbes. Commençons donc par tracer la courbe 𝑦 est égal à deux moins valeur absolue de 𝑥.

Le moyen le plus simple de réaliser ce graphique est de remarquer qu’il s’agit d’une série de transformations sur lla courbe représentative de 𝑦 est égal à valeur absolue de 𝑥. Premièrement, 𝑦 est égal à moins valeur absolue de 𝑥 est une réflexion par rapport à l’axe des abscisses. On peut alors transformer cette courbe en 𝑦 est égal à deux moins valeur absolue de 𝑥 en translatant verticalement la courbe de deux unités. Cela nous donne une courbe qui ressemble un peu à ce qui suit. Et même si ce n’est pas nécessaire, nous pouvons trouver l’intersection avec l’axe des 𝑦 en utilisant 𝑥 est égal à zéro dans la fonction. Et nous pouvons trouver les valeurs des intersections avec l’axe des abscisses en en cherchant les valeurs qui annulent la fonction. Cependant, comme nous le verrons, ce n’est pas nécessaire pour cette question.

Maintenant, nous devons tracer dans le même repère la courbe 𝑦 est égale à 𝑥 à la puissance quatre. Dans ce cas, 𝑦 est égal à 𝑥 à la puissance quatre a une forme très similaire à la courbe 𝑦 est égal à 𝑥 au carré. Nous pouvons maintenant dessiner la région dont on nous demande de trouver l’aire. Nous pouvons voir que cette région est délimitée au-dessus par 𝑦 est égal à deux moins la valeur absolue de 𝑥 et en-dessous par 𝑦 est égal à 𝑥 à la puissance quatre. On rappelle l’une des propriétés de l’intégration qui permet de calculer l’aire de cette région.

Si nous avons deux fonctions 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥, où 𝑓 de 𝑥 est supérieure ou égale à 𝑔 de 𝑥 sur un intervalle fermé 𝑎 𝑏, alors l’aire entre les courbes 𝑦 est égale à 𝑓 de 𝑥 et 𝑦 est égal à 𝑔 de 𝑥 et les droites verticales 𝑥 est égal à 𝑎 et 𝑥 est égal à 𝑏 est donnée par l’intégrale définie de 𝑎 à 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 moins 𝑔 de 𝑥 par rapport à 𝑥. Il convient de souligner que cela n’est valable que si 𝑓 et 𝑔 sont intégrables sur l’intervalle fermé donné. Et nous pouvons montrer que tout cela est bien le cas ici. Premièrement, notre valeur de 𝑎 et notre valeur de 𝑏 seront les abscisses des deux points d’intersection entre les deux courbes. De plus, sur cet intervalle, nous savons que deux moins la valeur absolue de 𝑥 est supérieure ou égale à 𝑥 à la puissance quatre.

Enfin, nous savons que ces deux fonctions sont intégrables sur cet intervalle car elles sont toutes les deux continues sur l’ensemble des réels. Par conséquent, nous pouvons bien utiliser cette propriété pour calculer l’aire. Nous avons juste besoin de déterminer les valeurs de 𝑎 et de 𝑏. Pour trouver les abscisses des points d’intersection des courbes représentatives des deux fonctions, nous allons simplement résoudre l’équation d’égalité des deux expressions. Nous devons résoudre deux moins la valeur absolue de 𝑥 égale 𝑥 à la puissance quatre. Nous ferons cela en réarrangeant d’abord l’équation. Nous obtenons deux moins 𝑥 à la puissance quatre est égal à la valeur absolue de 𝑥.

Et maintenant, nous avons deux possibilités 𝑥 peut être soit positif ou négatif. Si 𝑥 est positif, nous obtenons deux moins 𝑥 à la puissance quatre est égale à 𝑥. Et si 𝑥 est négatif, nous obtenons deux moins 𝑥 à la puissance quatre est égale à moins 𝑥. Et ces deux équations sont des équations polynomiales de degré quatre. Elles sont donc difficiles à résoudre en utilisant des méthodes classiques. Une bonne idée est d’essayer de remplacer par de petites valeurs entières de 𝑥 pour voir si nous pouvons trouver une solution. Commençons par essayer 𝑥 est égal à un. Rappelez-vous que lorsque 𝑥 est positif, nous devons utiliser l’équation de gauche. En utilisant 𝑥 est égal à un, nous obtenons deux moins un à la puissance quatre est égal à un. Puisque cette équation est vraie, 𝑥 est égal à un est une solution à cette équation. Et en particulier, cela signifie qu’il s’agit d’une des abscisses des points d’intersection entre les deux courbes.

Puisque 𝑏 est positif et que 𝑎 est négatif, nous avons montré que 𝑏 est égal à un. Et maintenant, nous pouvons déterminer 𝑎 de deux manières différentes. Premièrement, 𝑦 est égal à 𝑥 à la puissance quatre et 𝑦 est égal à deux moins la valeur absolue de 𝑥 sont symétriques par rapport à l’axe des 𝑦. Ainsi, les points d’intersection seront symétriques par rapport à l’axe des 𝑦. L’intersection se fera donc en 𝑥 égale moins un. Mais nous pouvons également obtenir cela en substituant 𝑥 est égal à moins un dans la deuxième équation. En remplaçant par moins un dans le membre de gauche de notre équation, nous obtenons deux moins moins un à la puissance quatre. En calculant, on obtient un, et nous pouvons voir que cela est égal au côté droit de notre équation lorsque nous utilisons 𝑥 est égal à moins un.

Par conséquent, nous avons montré que l’aire de la région est l’intégrale définie de moins un à un de deux moins la valeur absolue de 𝑥 moins 𝑥 à la puissance quatre par rapport à 𝑥. Maintenant, il existe différentes façons de calculer cette intégrale. Par exemple, l’intégrande peut s’écrire comme une fonction par morceaux. Dans ce cas, nous allons diviser notre intégrale en deux intégrales différentes pour les fonctions 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥. Premièrement, en utilisant les propriétés des intégrales, nous pouvons réécrire ceci comme l’intégrale de moins un à un de deux moins la valeur absolue de 𝑥 par rapport à 𝑥 moins l’intégrale de moins un à un de 𝑥 à la puissance quatre par rapport à 𝑥.

Maintenant, chacune de ces intégrales représente l’aire sous la courbe de la fonction entre moins un et un, bien que dans notre diagramme, nous pouvons voir que les courbes représentatives de ces deux fonctions sont au-dessus de l’axe des 𝑥 sur cet intervalle. Nous pouvons utiliser cette figure pour déterminer que l’aire sous 𝑦 est égale à deux moins la valeur absolue de 𝑥 entre moins un et un. Et pour nous aider à faire cela, redessinons la courbe. Nous voulons déterminer l’aire sous cette courbe entre 𝑥 est égal à moins un et un. Et nous pouvons le faire en divisant la région en deux, en un rectangle et un triangle. On peut alors trouver l’aire du rectangle. Sa largeur est de deux et sa hauteur est un, donc son aire est deux.

Nous devons ensuite trouver l’aire du triangle. Et une façon de le faire est de noter que l’ordonnée à l’origine de la courbe est deux. Donc, la hauteur du triangle est un, et sa base a une longueur de deux. Par conséquent, l’aire de ce triangle est la moitié de sa base fois sa hauteur, un demi fois deux fois un. Et en ajoutant à cette valeur l’aire du rectangle, nous avons calculé l’intégrale définie de moins un à un de deux moins la valeur absolue de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Cependant, nous ne pouvons pas faire la même chose pour la deuxième intégrale. A la place, nous allons utiliser la règle des puissances pour l’intégration. Nous rappelons qu’elle nous dit que nous pouvons calculer cette intégrale en ajoutant un à l’exposant de 𝑥, puis en divisant par ce nouvel exposant. Nous obtenons 𝑥 à la puissance cinq sur cinq calculé aux limites de l’intervalle d’intégration, 𝑥 est égal à moins un et 𝑥 est égal à un.

Nous pouvons maintenant faire le calcul. Premièrement, un demi fois deux fois un est égal à un et deux plus un est égal à trois. Ensuite, nous devons calculer les valeurs de notre primitive 𝑥 à la puissance cinq sur cinq aux limites de l’intégration. Nous obtenons un à la puissance cinq sur cinq moins moins un à la puissance cinq sur cinq. Par conséquent, l’aire de la région est trois moins un à la puissance cinq sur cinq moins moins un à la puissance cinq sur cinq. Et il ne nous reste plus qu’à calculer cette expression. Un à la puissance cinq moins moins un à la puissance cinq vaut deux sur cinq. Nous obtenons donc trois moins deux sur cinq, soit 13 sur cinq.

Et nous pourrions laisser notre réponse comme ceci. Cependant, nous allons écrire ceci comme une fraction mixte, deux et trois cinquièmes. Et puisque cela représente une aire, on pourrait dire qu’il s’agit d’unités carrées. Cependant, ce n’est pas nécessaire. Par conséquent, nous avons pu montrer que l’aire de la région délimitée par 𝑦 est égale à deux moins la valeur absolue de 𝑥 et 𝑦 est égale à 𝑥 à la puissance quatre est deux et trois cinquièmes.

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