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Vidéo de question : Calcul du produit scalaire de deux vecteurs donnés sous forme de composantes Physique

Une force constante de 𝐅 = (1𝐢 + 4𝐣) N agit sur un objet et le fait bouger. Après un certain temps, le déplacement de l’objet de sa position initiale est 𝐝 = (5𝐢 + 2𝐣) m. Calculez 𝐅 ⋅ 𝐝.

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Transcription de vidéo

Une force constante de 𝐅 égale un 𝐢 plus quatre 𝐣 newtons agit sur un objet et le fait bouger. Après un certain temps, le déplacement de l’objet de sa position initiale est 𝐝 égale à cinq 𝐢 plus deux 𝐣 mètres. Calculez 𝐅 scalaire 𝐝.

Nous avons donc un objet, et nous avons une force constante agissant sur cet objet qui entraîne un déplacement. Les vecteurs de force et de déplacement ont été spécifiés pour nous sous forme de composantes. La forme des composants signifie que pour les vecteurs bidimensionnels, ils sont exprimés par leurs composantes 𝑥 et leurs composantes 𝑦. Pour un vecteur général 𝐀, nous pouvons l’écrire comme la norme de sa composante 𝑥, 𝐴 indice 𝑥, multipliée par le vecteur unitaire dans la direction 𝑥, c’est-à-dire 𝐢, plus la norme de sa composante 𝑦, 𝐴 indice 𝑦, multiplié par le vecteur unitaire dans la direction 𝑦, c’est-à-dire 𝐣.

Si nous faisons de même pour un autre vecteur général 𝐁, alors nous pouvons définir le produit scalaire de ces deux vecteurs comme suit. Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit des composantes 𝑥 de ces vecteurs plus le produit de leurs composantes 𝑦. Pour notre vecteur de force 𝐅, la composante 𝑥 est un newton et la composante 𝑦 est quatre newtons. Pour notre vecteur de déplacement 𝐝, la composante 𝑥 est de cinq mètres et la composante 𝑦 est de deux mètres. Nous pouvons dessiner ces vecteurs comme des flèches pour avoir une idée de ce qui se passe.

Imaginons que nous ayons un objet représenté par cette petite tache bleue ici. Le vecteur de force a une unité dans la direction 𝑥 et quatre unités dans la direction 𝑦. Le vecteur de déplacement a cinq unités dans la direction 𝑥 et deux dans la direction 𝑦. Notez que puisque la force et le déplacement ont respectivement des unités différentes, des newtons et des mètres, ces deux flèches ne sont pas en fait à la même échelle. Ce diagramme nous permet simplement de visualiser leurs sens relatifs.

Bon, revenons à la question et calculons le produit scalaire 𝐅 scalaire 𝐝. Nous avons le produit des composantes 𝑥, donc c’est un et cinq, plus le produit des composantes 𝑦, donc c’est quatre et deux. Nous avons donc que 𝐅 scalaire 𝐝 est égal à un multiplié par cinq plus quatre multiplié par deux.

Nous devons également prendre soin des unités ici. Puisque la force a des unités de newtons et que le déplacement a des unités de mètres, alors le produit scalaire 𝐅 scalaire 𝐝 doit avoir des unités de newton mètres. Si nous le voulions, nous pourrions l’écrire de manière équivalente en joules, l’unité d’énergie.

En faisant le calcul, le produit des composantes 𝑥 est cinq et le produit des composantes 𝑦 est huit. La somme de cinq et huit nous donne 13. Et donc nous avons notre réponse à la question : le produit scalaire 𝐅 scalaire 𝐝 est égal à 13 newton mètres, ou de manière équivalente à 13 joules.

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